Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898.

Bild:

<< vorherige Seite

nächste Seite >>

[Gleich. 57] § 29. Zweiter Beweis d. Liouville'schen Satzes.

schwindigkeit u nach Verlauf einer unveränderlich gegebenen
Zeit t. Es ist also
56) [Formel 1] .
Da wir nur zwei Variable haben, können wir sowohl deren
Anfangswerthe als auch deren Werthe zur Zeit t durch je
einen Punkt in der Ebene darstellen, dessen Abscisse gleich
der Abscisse, dessen Ordinate aber gleich der Geschwindigkeit
des materiellen Punktes ist. Alle Punkte eines Rechteckes mit
den Seiten d X und d U stellen ein zweifach unendlich kleines
Gebiet der x dar, d. h. sie repräsentiren alle möglichen mate-
riellen Punkte, für welche zu Anfang der Zeit Coordinate und
Geschwindigkeit zwischen
X und X + d X und U und U + d U
lagen. Das diesem Gebiete G entsprechende Gebiet g der x
umfasst die Coordinaten x und die Geschwindigkeiten u, welche
alle diese materiellen Punkte nach Verlauf der constant anzu-
sehenden Zeit t haben. Nach den Gleichungen 56) ist u ein-
fach um die Constante g t grösser als U. Dagegen ist die
Differenz x -- X um so grösser, je grösser U ist. Man sieht
daher leicht, dass das Gebiet g ein schiefwinkeliges Parallelo-
gramm ist, dessen Basis gleich d X und dessen Höhe gleich d U
ist, das also, wie es nach Gleichung 52) sein muss, mit dem
Rechtecke G = d X d U flächengleich ist.

§ 29. Zweiter Beweis des Liouville'schen Satzes.

Wir wollen noch einen zweiten Beweis der Gleichung 52)
oder 55) geben, wobei wir nicht von der Zeit Null direct auf
die Zeit t, sondern zunächst nur von der Zeit t auf eine un-
endlich nahe Zeit t + d t schliessen. Wir wollen aber den
Satz zugleich noch etwas verallgemeinern, indem wir von
unserer independenten Variabeln, die wir demgemäss mit s
bezeichnen, nicht gerade unbedingt voraussetzen, dass es die
Zeit sei; wir wollen dieselbe vielmehr ganz unbestimmt lassen,
obwohl wir zur Veranschaulichung noch immer an die Zeit als
independente Variable denken können. Beliebige dependente
Variable s1, s2 ... sn sollen durch folgende Differentialgleichungen:
57) [Formel 2]

[Gleich. 57] § 29. Zweiter Beweis d. Liouville’schen Satzes.

schwindigkeit u nach Verlauf einer unveränderlich gegebenen
Zeit t. Es ist also
56) [Formel 1] .
Da wir nur zwei Variable haben, können wir sowohl deren
Anfangswerthe als auch deren Werthe zur Zeit t durch je
einen Punkt in der Ebene darstellen, dessen Abscisse gleich
der Abscisse, dessen Ordinate aber gleich der Geschwindigkeit
des materiellen Punktes ist. Alle Punkte eines Rechteckes mit
den Seiten d X und d U stellen ein zweifach unendlich kleines
Gebiet der x dar, d. h. sie repräsentiren alle möglichen mate-
riellen Punkte, für welche zu Anfang der Zeit Coordinate und
Geschwindigkeit zwischen
X und X + d X und U und U + d U
lagen. Das diesem Gebiete G entsprechende Gebiet g der ξ
umfasst die Coordinaten x und die Geschwindigkeiten u, welche
alle diese materiellen Punkte nach Verlauf der constant anzu-
sehenden Zeit t haben. Nach den Gleichungen 56) ist u ein-
fach um die Constante γ t grösser als U. Dagegen ist die
Differenz x — X um so grösser, je grösser U ist. Man sieht
daher leicht, dass das Gebiet g ein schiefwinkeliges Parallelo-
gramm ist, dessen Basis gleich d X und dessen Höhe gleich d U
ist, das also, wie es nach Gleichung 52) sein muss, mit dem
Rechtecke G = d X d U flächengleich ist.

§ 29. Zweiter Beweis des Liouville’schen Satzes.

Wir wollen noch einen zweiten Beweis der Gleichung 52)
oder 55) geben, wobei wir nicht von der Zeit Null direct auf
die Zeit t, sondern zunächst nur von der Zeit t auf eine un-
endlich nahe Zeit t + δ t schliessen. Wir wollen aber den
Satz zugleich noch etwas verallgemeinern, indem wir von
unserer independenten Variabeln, die wir demgemäss mit s
bezeichnen, nicht gerade unbedingt voraussetzen, dass es die
Zeit sei; wir wollen dieselbe vielmehr ganz unbestimmt lassen,
obwohl wir zur Veranschaulichung noch immer an die Zeit als
independente Variable denken können. Beliebige dependente
Variable s1, s2 … sn sollen durch folgende Differentialgleichungen:
57) [Formel 2]

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0095" n="77"/><fw place="top" type="header">[Gleich. 57] § 29. Zweiter Beweis d. Liouville&#x2019;schen Satzes.</fw><lb/>
schwindigkeit <hi rendition="#i">u</hi> nach Verlauf einer unveränderlich gegebenen<lb/>
Zeit <hi rendition="#i">t</hi>. Es ist also<lb/>
56) <hi rendition="#et"><formula/>.</hi><lb/>
Da wir nur zwei Variable haben, können wir sowohl deren<lb/>
Anfangswerthe als auch deren Werthe zur Zeit <hi rendition="#i">t</hi> durch je<lb/>
einen Punkt in der Ebene darstellen, dessen Abscisse gleich<lb/>
der Abscisse, dessen Ordinate aber gleich der Geschwindigkeit<lb/>
des materiellen Punktes ist. Alle Punkte eines Rechteckes mit<lb/>
den Seiten <hi rendition="#i">d X</hi> und <hi rendition="#i">d U</hi> stellen ein zweifach unendlich kleines<lb/>
Gebiet der <hi rendition="#i">x</hi> dar, d. h. sie repräsentiren alle möglichen mate-<lb/>
riellen Punkte, für welche zu Anfang der Zeit Coordinate und<lb/>
Geschwindigkeit zwischen<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">X</hi> und <hi rendition="#i">X</hi> + <hi rendition="#i">d X</hi> und <hi rendition="#i">U</hi> und <hi rendition="#i">U</hi> + <hi rendition="#i">d U</hi></hi><lb/>
lagen. Das diesem Gebiete <hi rendition="#i">G</hi> entsprechende Gebiet <hi rendition="#i">g</hi> der <hi rendition="#i">&#x03BE;</hi><lb/>
umfasst die Coordinaten <hi rendition="#i">x</hi> und die Geschwindigkeiten <hi rendition="#i">u</hi>, welche<lb/>
alle diese materiellen Punkte nach Verlauf der constant anzu-<lb/>
sehenden Zeit <hi rendition="#i">t</hi> haben. Nach den Gleichungen 56) ist <hi rendition="#i">u</hi> ein-<lb/>
fach um die Constante <hi rendition="#i">&#x03B3; t</hi> grösser als <hi rendition="#i">U</hi>. Dagegen ist die<lb/>
Differenz <hi rendition="#i">x</hi> &#x2014; <hi rendition="#i">X</hi> um so grösser, je grösser <hi rendition="#i">U</hi> ist. Man sieht<lb/>
daher leicht, dass das Gebiet <hi rendition="#i">g</hi> ein schiefwinkeliges Parallelo-<lb/>
gramm ist, dessen Basis gleich <hi rendition="#i">d X</hi> und dessen Höhe gleich <hi rendition="#i">d U</hi><lb/>
ist, das also, wie es nach Gleichung 52) sein muss, mit dem<lb/>
Rechtecke <hi rendition="#i">G</hi> = <hi rendition="#i">d X d U</hi> flächengleich ist.</p>
        </div><lb/>
        <div n="2">
          <head>§ 29. <hi rendition="#g">Zweiter Beweis des Liouville&#x2019;schen Satzes</hi>.</head><lb/>
          <p>Wir wollen noch einen zweiten Beweis der Gleichung 52)<lb/>
oder 55) geben, wobei wir nicht von der Zeit Null direct auf<lb/>
die Zeit <hi rendition="#i">t</hi>, sondern zunächst nur von der Zeit <hi rendition="#i">t</hi> auf eine un-<lb/>
endlich nahe Zeit <hi rendition="#i">t</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B4; t</hi> schliessen. Wir wollen aber den<lb/>
Satz zugleich noch etwas verallgemeinern, indem wir von<lb/>
unserer independenten Variabeln, die wir demgemäss mit <hi rendition="#i">s</hi><lb/>
bezeichnen, nicht gerade unbedingt voraussetzen, dass es die<lb/>
Zeit sei; wir wollen dieselbe vielmehr ganz unbestimmt lassen,<lb/>
obwohl wir zur Veranschaulichung noch immer an die Zeit als<lb/>
independente Variable denken können. Beliebige dependente<lb/>
Variable <hi rendition="#i">s</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">s</hi><hi rendition="#sub">2</hi> &#x2026; <hi rendition="#i">s<hi rendition="#sub">n</hi></hi> sollen durch folgende Differentialgleichungen:<lb/>
57) <hi rendition="#et"><formula/></hi><lb/></p>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>

[77/0095] [Gleich. 57] § 29. Zweiter Beweis d. Liouville’schen Satzes. schwindigkeit u nach Verlauf einer unveränderlich gegebenen Zeit t. Es ist also 56) [FORMEL]. Da wir nur zwei Variable haben, können wir sowohl deren Anfangswerthe als auch deren Werthe zur Zeit t durch je einen Punkt in der Ebene darstellen, dessen Abscisse gleich der Abscisse, dessen Ordinate aber gleich der Geschwindigkeit des materiellen Punktes ist. Alle Punkte eines Rechteckes mit den Seiten d X und d U stellen ein zweifach unendlich kleines Gebiet der x dar, d. h. sie repräsentiren alle möglichen mate- riellen Punkte, für welche zu Anfang der Zeit Coordinate und Geschwindigkeit zwischen X und X + d X und U und U + d U lagen. Das diesem Gebiete G entsprechende Gebiet g der ξ umfasst die Coordinaten x und die Geschwindigkeiten u, welche alle diese materiellen Punkte nach Verlauf der constant anzu- sehenden Zeit t haben. Nach den Gleichungen 56) ist u ein- fach um die Constante γ t grösser als U. Dagegen ist die Differenz x — X um so grösser, je grösser U ist. Man sieht daher leicht, dass das Gebiet g ein schiefwinkeliges Parallelo- gramm ist, dessen Basis gleich d X und dessen Höhe gleich d U ist, das also, wie es nach Gleichung 52) sein muss, mit dem Rechtecke G = d X d U flächengleich ist. § 29. Zweiter Beweis des Liouville’schen Satzes. Wir wollen noch einen zweiten Beweis der Gleichung 52) oder 55) geben, wobei wir nicht von der Zeit Null direct auf die Zeit t, sondern zunächst nur von der Zeit t auf eine un- endlich nahe Zeit t + δ t schliessen. Wir wollen aber den Satz zugleich noch etwas verallgemeinern, indem wir von unserer independenten Variabeln, die wir demgemäss mit s bezeichnen, nicht gerade unbedingt voraussetzen, dass es die Zeit sei; wir wollen dieselbe vielmehr ganz unbestimmt lassen, obwohl wir zur Veranschaulichung noch immer an die Zeit als independente Variable denken können. Beliebige dependente Variable s1, s2 … sn sollen durch folgende Differentialgleichungen: 57) [FORMEL]

Suche im Werk

Informationen zum Werk

Titeldaten
Verfügbarkeit Text (TEI-XML-, HTML-, TCF-, E-Book-Fassung): CC BY-SA 4.0.
Nutzungsbedingungen

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ^?

Language Resource Switchboard^?

Resource/URL übermitteln

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.

Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk:	https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie02_1898
URL zu dieser Seite:	https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie02_1898/95
Zitationshilfe:	Boltzmann, Ludwig: Vorlesungen über Gastheorie. Bd. 2. Leipzig, 1898, S. 77. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/boltzmann_gastheorie02_1898/95>, abgerufen am 21.11.2024.

Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer Creative-Commons-Lizenz. Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken. Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.

Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden. Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des § 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.

2007–2024 Deutsches Textarchiv, Berlin-Brandenburgische Akademie der Wissenschaften. Kontakt: redaktion(at)deutschestextarchiv.de.

Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.