Sind auf diese Weise f1 und f2 bestimmt, so lässt sich die Grösse des Bildes, das irgend einem Gegenstande entspricht, leicht finden. Be- zeichnet nämlich b1 den Gegenstand und b2 sein Bild, so verhält sich, wie man aus Fig. 100 ersieht, b1 : b2 = f1 + r : f2 -- r, und daraus ergiebt sich 5)
[Formel 1]
.
Die oben gegebene Fundamentalformel
[Formel 2]
lässt sich auf folgende Weise ableiten. In den Dreiecken a m r und r m c (Fig. 100) verhalten sich die Seiten a r und r c wie die Sinus der gegenüber liegenden Winkel, demnach a r : r c = sin. (180--a) : sin. b = sin. a : sin. b. Ferner verhalten sich die Inhalte dieser beiden Dreiecke, weil sie gleiche Höhen haben, wie ihre Grundlinien, also, da der Inhalt eines Dreiecks gleich dem halben Product zweier Seiten mal dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels ist,
[Formel 3]
. sin.
[Formel 4]
. sin. b, oder a r : r c = a m. m r. sin. a : m r. m c. sin. b. Nun ist, wenn die Strahlen nahe der Axe auf die Kugelfläche auffallen, a m von a h und m c von h c nicht merklich verschieden. Man kann daher obige Proportion auch schrei- ben a r : r c = a h. h r. sin. a : h r. h c. sin. b oder, da a r = f1 + r, r c = f2 -- r, a h = f1 und h c = f2 ist,
[Formel 5]
. Hieraus folgt die oben gegebene Gleichung 1.
Wir haben gesehen, dass, wenn bei c in dem dichteren Medium der leuchtende Punkt läge, sein Bild bei a liegen würde, d. h. dass a und c conjugirte Vereinigungs- punkte sind. Um diesen Fall durch unsere Gleichung auszudrücken muss man natür- lich h c = f1 und a h = f2 setzen. Man erhält dann
[Formel 6]
, welche letztere Gleichung sich von der obigen nur dadurch unterscheidet, dass in ihr r negativ gesetzt ist. Man kann also die für die Brechung an einer Convexfläche ge- fundenen Formeln unmittelbar auf die Brechung an einer Concavfläche anwenden, wenn man nur den Krümmungsradius negativ setzt.
Ebenso lassen sich die in §. 134 und 135 durch Construction erläuterten Ge- setze der Reflexion an Convex- und Concavflächen mittelst der gefundenen Formeln darstellen. Für den Fall der Reflexion ist nämlich offenbar sin. b = -- sin. a, also n = -- 1. Unsere Fundamentalgleichung geht nun in folgende Form über:
[Formel 7]
. In dieser Formel muss man wieder, wenn es sich um die Reflexion an Convexspiegeln handelt, r positiv, bei der Reflexion an Concavspiegeln dagegen r negativ setzen. Ist z. B. f1 = infinity, d. h. liegt der leuchtende Gegenstand in unendlicher Ferne, so wird F2 (die Brennweite) beim Convexspiegel
[Formel 8]
, beim Concavspiegel
[Formel 9]
. Die Brennweite ist also gleich dem halben Radius, und der Vereinigungspunkt liegt
Von dem Lichte.
Sind auf diese Weise f1 und f2 bestimmt, so lässt sich die Grösse des Bildes, das irgend einem Gegenstande entspricht, leicht finden. Be- zeichnet nämlich β1 den Gegenstand und β2 sein Bild, so verhält sich, wie man aus Fig. 100 ersieht, β1 : β2 = f1 + r : f2 — r, und daraus ergiebt sich 5)
[Formel 1]
.
Die oben gegebene Fundamentalformel
[Formel 2]
lässt sich auf folgende Weise ableiten. In den Dreiecken a m r und r m c (Fig. 100) verhalten sich die Seiten a r und r c wie die Sinus der gegenüber liegenden Winkel, demnach a r : r c = sin. (180—α) : sin. β = sin. α : sin. β. Ferner verhalten sich die Inhalte dieser beiden Dreiecke, weil sie gleiche Höhen haben, wie ihre Grundlinien, also, da der Inhalt eines Dreiecks gleich dem halben Product zweier Seiten mal dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels ist,
[Formel 3]
. sin.
[Formel 4]
. sin. β, oder a r : r c = a m. m r. sin. α : m r. m c. sin. β. Nun ist, wenn die Strahlen nahe der Axe auf die Kugelfläche auffallen, a m von a h und m c von h c nicht merklich verschieden. Man kann daher obige Proportion auch schrei- ben a r : r c = a h. h r. sin. α : h r. h c. sin. β oder, da a r = f1 + r, r c = f2 — r, a h = f1 und h c = f2 ist,
[Formel 5]
. Hieraus folgt die oben gegebene Gleichung 1.
Wir haben gesehen, dass, wenn bei c in dem dichteren Medium der leuchtende Punkt läge, sein Bild bei a liegen würde, d. h. dass a und c conjugirte Vereinigungs- punkte sind. Um diesen Fall durch unsere Gleichung auszudrücken muss man natür- lich h c = f1 und a h = f2 setzen. Man erhält dann
[Formel 6]
, welche letztere Gleichung sich von der obigen nur dadurch unterscheidet, dass in ihr r negativ gesetzt ist. Man kann also die für die Brechung an einer Convexfläche ge- fundenen Formeln unmittelbar auf die Brechung an einer Concavfläche anwenden, wenn man nur den Krümmungsradius negativ setzt.
Ebenso lassen sich die in §. 134 und 135 durch Construction erläuterten Ge- setze der Reflexion an Convex- und Concavflächen mittelst der gefundenen Formeln darstellen. Für den Fall der Reflexion ist nämlich offenbar sin. β = — sin. α, also n = — 1. Unsere Fundamentalgleichung geht nun in folgende Form über:
[Formel 7]
. In dieser Formel muss man wieder, wenn es sich um die Reflexion an Convexspiegeln handelt, r positiv, bei der Reflexion an Concavspiegeln dagegen r negativ setzen. Ist z. B. f1 = ∞, d. h. liegt der leuchtende Gegenstand in unendlicher Ferne, so wird F2 (die Brennweite) beim Convexspiegel
[Formel 8]
, beim Concavspiegel
[Formel 9]
. Die Brennweite ist also gleich dem halben Radius, und der Vereinigungspunkt liegt
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[220/0242]
Von dem Lichte.
Sind auf diese Weise f1 und f2 bestimmt, so lässt sich die Grösse des
Bildes, das irgend einem Gegenstande entspricht, leicht finden. Be-
zeichnet nämlich β1 den Gegenstand und β2 sein Bild, so verhält sich,
wie man aus Fig. 100 ersieht, β1 : β2 = f1 + r : f2 — r, und daraus
ergiebt sich
5) [FORMEL].
Die oben gegebene Fundamentalformel [FORMEL] lässt sich auf
folgende Weise ableiten. In den Dreiecken a m r und r m c (Fig. 100) verhalten
sich die Seiten a r und r c wie die Sinus der gegenüber liegenden Winkel, demnach
a r : r c = sin. (180—α) : sin. β = sin. α : sin. β. Ferner verhalten sich die
Inhalte dieser beiden Dreiecke, weil sie gleiche Höhen haben, wie ihre Grundlinien,
also, da der Inhalt eines Dreiecks gleich dem halben Product zweier Seiten mal dem
Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels ist, [FORMEL]. sin. [FORMEL].
sin. β, oder a r : r c = a m. m r. sin. α : m r. m c. sin. β. Nun ist,
wenn die Strahlen nahe der Axe auf die Kugelfläche auffallen, a m von a h und m c
von h c nicht merklich verschieden. Man kann daher obige Proportion auch schrei-
ben a r : r c = a h. h r. sin. α : h r. h c. sin. β oder, da a r = f1 + r, r c =
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[FORMEL].
Hieraus folgt die oben gegebene Gleichung 1.
Wir haben gesehen, dass, wenn bei c in dem dichteren Medium der leuchtende
Punkt läge, sein Bild bei a liegen würde, d. h. dass a und c conjugirte Vereinigungs-
punkte sind. Um diesen Fall durch unsere Gleichung auszudrücken muss man natür-
lich h c = f1 und a h = f2 setzen. Man erhält dann
[FORMEL],
welche letztere Gleichung sich von der obigen nur dadurch unterscheidet, dass in ihr
r negativ gesetzt ist. Man kann also die für die Brechung an einer Convexfläche ge-
fundenen Formeln unmittelbar auf die Brechung an einer Concavfläche anwenden,
wenn man nur den Krümmungsradius negativ setzt.
Ebenso lassen sich die in §. 134 und 135 durch Construction erläuterten Ge-
setze der Reflexion an Convex- und Concavflächen mittelst der gefundenen Formeln
darstellen. Für den Fall der Reflexion ist nämlich offenbar sin. β = — sin. α, also
n = — 1. Unsere Fundamentalgleichung geht nun in folgende Form über:
[FORMEL].
In dieser Formel muss man wieder, wenn es sich um die Reflexion an Convexspiegeln
handelt, r positiv, bei der Reflexion an Concavspiegeln dagegen r negativ setzen. Ist
z. B. f1 = ∞, d. h. liegt der leuchtende Gegenstand in unendlicher Ferne, so wird
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Die Brennweite ist also gleich dem halben Radius, und der Vereinigungspunkt liegt
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Wundt, Wilhelm: Handbuch der medicinischen Physik. Erlangen, 1867, S. 220. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/wundt_medizinische_1867/242>, abgerufen am 05.12.2024.
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