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Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23.

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daher [Formel 1]
Aber [Formel 2] ,
[Formel 3] also 12. [Formel 4]

Endlich ist (Gl. 2)
[Formel 5] ,
und daher, wenn man J'c, a und J'c, b vermittelst der Formel (12) ausdrückt, indem
man das einemal c, a, m für a, b, c und das anderemal c, b, m für a, b, c schreibt,
und bemerkt, dass
[Formel 6] ist, weil man auf der rechten Seite dieser Gleichung m und c mit einander vertauschen
und dann wieder Fm, c für Fc, m setzen darf,
13. [Formel 7]
Diese Gleichung ist besonders bemerkenswerth, weil in ihr nur Abel'sche Integrale
der ersten Gattung vorkommen.

Bezeichnet man den Ausdruck auf der linken Seite dieser Gleichung durch Ha, b,
wo denn
14. Ha, b = Hb, a
ist, so erhält man noch
15. [Formel 8]

Durch die hier entwickelten Formeln wird übrigens auch der Beweis gelie-
fert, dass die (2n2 -- n) Gleichungen (1, 2, 3, 4) unabhängig von einander sind,
d. h. dass keine von ihnen eine Folge der übrigen ist. Dies wird der Fall sein, wenn
sich sämmtliche in denselben vorkommende 4n2 Grössen durch (2n2 + n) andere, will-
kührlich angenommene, ausdrücken lassen.

Nimmt man nun aber die n2 Grössen Ka, b willkührlich, die durch Fa, b, Ha, b
bezeichneten aber so an, dass den Bedingungs-Gleichungen (10, 14) Genüge geschieht,
und drückt dann durch diese Grössen, deren Anzahl (2n2 + n) ist, vermittelst der
Formeln (11, 12, 15) Ja, b, J'a, b, K'a, b aus, und substituirt die so erhaltenen Ausdrücke

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daher [Formel 1]
Aber [Formel 2] ,
[Formel 3] also 12. [Formel 4]

Endlich ist (Gl. 2)
[Formel 5] ,
und daher, wenn man J'c, a und J'c, b vermittelst der Formel (12) ausdrückt, indem
man das einemal c, a, m für a, b, c und das anderemal c, b, m für a, b, c schreibt,
und bemerkt, dass
[Formel 6] ist, weil man auf der rechten Seite dieser Gleichung m und c mit einander vertauschen
und dann wieder Fm, c für Fc, m setzen darf,
13. [Formel 7]
Diese Gleichung ist besonders bemerkenswerth, weil in ihr nur Abel’sche Integrale
der ersten Gattung vorkommen.

Bezeichnet man den Ausdruck auf der linken Seite dieser Gleichung durch Ha, b,
wo denn
14. Ha, b = Hb, a
ist, so erhält man noch
15. [Formel 8]

Durch die hier entwickelten Formeln wird übrigens auch der Beweis gelie-
fert, dass die (2n2 — n) Gleichungen (1, 2, 3, 4) unabhängig von einander sind,
d. h. dass keine von ihnen eine Folge der übrigen ist. Dies wird der Fall sein, wenn
sich sämmtliche in denselben vorkommende 4n2 Grössen durch (2n2 + n) andere, will-
kührlich angenommene, ausdrücken lassen.

Nimmt man nun aber die n2 Grössen Ka, b willkührlich, die durch Fa, b, Ha, b
bezeichneten aber so an, dass den Bedingungs-Gleichungen (10, 14) Genüge geschieht,
und drückt dann durch diese Grössen, deren Anzahl (2n2 + n) ist, vermittelst der
Formeln (11, 12, 15) Ja, b, J'a, b, K'a, b aus, und substituirt die so erhaltenen Ausdrücke

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[21/0026] daher [FORMEL] Aber [FORMEL], [FORMEL] also 12. [FORMEL] Endlich ist (Gl. 2) [FORMEL], und daher, wenn man J'c, a und J'c, b vermittelst der Formel (12) ausdrückt, indem man das einemal c, a, m für a, b, c und das anderemal c, b, m für a, b, c schreibt, und bemerkt, dass [FORMEL] ist, weil man auf der rechten Seite dieser Gleichung m und c mit einander vertauschen und dann wieder Fm, c für Fc, m setzen darf, 13. [FORMEL] Diese Gleichung ist besonders bemerkenswerth, weil in ihr nur Abel’sche Integrale der ersten Gattung vorkommen. Bezeichnet man den Ausdruck auf der linken Seite dieser Gleichung durch Ha, b, wo denn 14. Ha, b = Hb, a ist, so erhält man noch 15. [FORMEL] Durch die hier entwickelten Formeln wird übrigens auch der Beweis gelie- fert, dass die (2n2 — n) Gleichungen (1, 2, 3, 4) unabhängig von einander sind, d. h. dass keine von ihnen eine Folge der übrigen ist. Dies wird der Fall sein, wenn sich sämmtliche in denselben vorkommende 4n2 Grössen durch (2n2 + n) andere, will- kührlich angenommene, ausdrücken lassen. Nimmt man nun aber die n2 Grössen Ka, b willkührlich, die durch Fa, b, Ha, b bezeichneten aber so an, dass den Bedingungs-Gleichungen (10, 14) Genüge geschieht, und drückt dann durch diese Grössen, deren Anzahl (2n2 + n) ist, vermittelst der Formeln (11, 12, 15) Ja, b, J'a, b, K'a, b aus, und substituirt die so erhaltenen Ausdrücke 4*

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Zitationshilfe: Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23, hier S. 21. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/weierstrass_integrale_1849/26>, abgerufen am 18.02.2025.