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Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23.

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so haben diese 2. n2 bestimmten Integrale Ka, b, K'a, b für die Theorie der Abel'schen
Transcendenten eine ganz ähnliche Bedeutung wie die Grössen K, K' für die ellipti-
schen Functionen. So z. B. findet man, wenn man
11. oa = m1 Ka, 1 + m2 Ka, 2 + ... + mn Ka, n
+ (n1 K'a, 1 + n2 K'a, 2 + ... + nn K'a, n) i
setzt, wo m1, n1, m2, n2 . . . . . ganze (positive oder negative) Zahlen bedeuten, für
die Functionen sn, cn, dn die charakteristischen Gleichungen
12. [Formel 1]
in welchen Formeln, wenn a = 1 ist, no = 0 zu setzen ist.

Die Functionen sn, cn, dn stehen übrigens in einem einfachen algebraischen Zu-
sammenhange, vermöge dessen je (n + 1) derselben durch die übrigen ausgedrückt
werden können.

Was nun ferner die Abel'schen Integrale der zweiten Gattung anlangt, so las-
sen sich dieselben durch n neue Functionen der Argumente u1, u2, ... ausdrücken, von
denen ich die ate durch J (u1, u2, ..., un)a bezeichne und auf folgende Weise defi-
nire. Man denke sich x1, x2, ... vermittelst der Gleichung (3) durch u1, u2 . . . .
ausgedrückt und setze
13. [Formel 2] ,*)

*) Anm. In dieser und in einigen folgenden Formeln habe ich mir erlaubt, die allgemein
eingeführte Bezeichnung für ein bestimmtes Integral in einem Sinne zu gebrau-
chen, in welchem sie auch dann noch anwendbar bleibt, wenn die Function unter
dem Integral-Zeichen an einer der Grenzen der Integration oder an beiden un-
endlich wird. Es sei nämlich F (x) eine Function von x, die für alle Werthe
dieser Veränderlichen innerhalb eines gegebenen Intervalls, dessen Grenzen
a, b sind, endlich bleibt, und es lasse sich dieselbe für alle Werthe von x in
der Nähe von a durch eine Reihe von der Form
S A (x -- a)m,
so wie für die Werthe von x in der Nähe von b durch eine Reihe
S B (x -- b)n
darstellen. Sind nun a, b zwei bestimmte Werthe von x innerhalb des gegebenen

so haben diese 2. n2 bestimmten Integrale Ka, b, K'a, b für die Theorie der Abel’schen
Transcendenten eine ganz ähnliche Bedeutung wie die Grössen K, K' für die ellipti-
schen Functionen. So z. B. findet man, wenn man
11. ωa = m1 Ka, 1 + m2 Ka, 2 + … + mn Ka, n
+ (n1 K'a, 1 + n2 K'a, 2 + … + nn K'a, n) i
setzt, wo m1, n1, m2, n2 . . . . . ganze (positive oder negative) Zahlen bedeuten, für
die Functionen sn, cn, dn die charakteristischen Gleichungen
12. [Formel 1]
in welchen Formeln, wenn a = 1 ist, no = 0 zu setzen ist.

Die Functionen sn, cn, dn stehen übrigens in einem einfachen algebraischen Zu-
sammenhange, vermöge dessen je (n + 1) derselben durch die übrigen ausgedrückt
werden können.

Was nun ferner die Abel’schen Integrale der zweiten Gattung anlangt, so las-
sen sich dieselben durch n neue Functionen der Argumente u1, u2, … ausdrücken, von
denen ich die ate durch J (u1, u2, …, un)a bezeichne und auf folgende Weise defi-
nire. Man denke sich x1, x2, … vermittelst der Gleichung (3) durch u1, u2 . . . .
ausgedrückt und setze
13. [Formel 2] ,*)

*) Anm. In dieser und in einigen folgenden Formeln habe ich mir erlaubt, die allgemein
eingeführte Bezeichnung für ein bestimmtes Integral in einem Sinne zu gebrau-
chen, in welchem sie auch dann noch anwendbar bleibt, wenn die Function unter
dem Integral-Zeichen an einer der Grenzen der Integration oder an beiden un-
endlich wird. Es sei nämlich F (x) eine Function von x, die für alle Werthe
dieser Veränderlichen innerhalb eines gegebenen Intervalls, dessen Grenzen
a, b sind, endlich bleibt, und es lasse sich dieselbe für alle Werthe von x in
der Nähe von a durch eine Reihe von der Form
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Zitationshilfe: Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23, hier S. 13. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/weierstrass_integrale_1849/18>, abgerufen am 24.11.2024.