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Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23.

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Die Integrale
[Formel 1] bleiben für alle Werthe von t, s innerhalb der für diese Veränderlichen bezeichneten
Grenzen endlich; sqrtR(c + t), sqrtR(c--s) nähern sich aber, wenn t, s unendlich klein
werden, der Grenze sqrtR (c) = 0. Daraus folgt, dass die Grenze von S' für t = 0,
s = 0 dieselbe ist wie die, welcher sich die Formel
[Formel 2] nähert, wenn s, t unendlich klein werden.

Nach den oben für sqrtR (x) getroffenen Bestimmungen kann man nun, da c -- u
zwischen am und am + 1, c + v zwischen am + 1 und am + 2 liegt, setzen
[Formel 3] [Formel 4] wo F (v) in eine convergirende Reihe entwickelt werden kann, die nur ganze, positive
Potenzen von v enthält, und F (--u) aus F (v) hervorgeht, wenn man -- u für v setzt.
sqrtu und sqrtv sind positiv zu nehmen. Alsdann ist
[Formel 5] Der zweite Theil auf der rechten Seite dieser Gleichung lässt sich, weil F (t) -- F (-- u)
durch t + u dividirbar ist, in eine Reihe von Gliedern entwickeln, welche nur po-
sitive Potenzen von s, s, t enthalten und für t = 0 verschwinden. Eben so findet man
[Formel 6] + eine Reihe von Gliedern, die für
s = 0 verschwinden.

Die Integrale
[Formel 1] bleiben für alle Werthe von t, s innerhalb der für diese Veränderlichen bezeichneten
Grenzen endlich; √R(c + t), √R(c—s) nähern sich aber, wenn t, s unendlich klein
werden, der Grenze √R (c) = 0. Daraus folgt, dass die Grenze von S' für t = 0,
s = 0 dieselbe ist wie die, welcher sich die Formel
[Formel 2] nähert, wenn s, t unendlich klein werden.

Nach den oben für √R (x) getroffenen Bestimmungen kann man nun, da c — u
zwischen aμ und aμ + 1, c + v zwischen aμ + 1 und aμ + 2 liegt, setzen
[Formel 3] [Formel 4] wo F (v) in eine convergirende Reihe entwickelt werden kann, die nur ganze, positive
Potenzen von v enthält, und F (—u) aus F (v) hervorgeht, wenn man — u für v setzt.
√u und √v sind positiv zu nehmen. Alsdann ist
[Formel 5] Der zweite Theil auf der rechten Seite dieser Gleichung lässt sich, weil F (t) — F (— u)
durch t + u dividirbar ist, in eine Reihe von Gliedern entwickeln, welche nur po-
sitive Potenzen von s, σ, t enthalten und für t = 0 verschwinden. Eben so findet man
[Formel 6] + eine Reihe von Gliedern, die für
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[7/0012] Die Integrale [FORMEL] bleiben für alle Werthe von t, s innerhalb der für diese Veränderlichen bezeichneten Grenzen endlich; √R(c + t), √R(c—s) nähern sich aber, wenn t, s unendlich klein werden, der Grenze √R (c) = 0. Daraus folgt, dass die Grenze von S' für t = 0, s = 0 dieselbe ist wie die, welcher sich die Formel [FORMEL] nähert, wenn s, t unendlich klein werden. Nach den oben für √R (x) getroffenen Bestimmungen kann man nun, da c — u zwischen aμ und aμ + 1, c + v zwischen aμ + 1 und aμ + 2 liegt, setzen [FORMEL] [FORMEL] wo F (v) in eine convergirende Reihe entwickelt werden kann, die nur ganze, positive Potenzen von v enthält, und F (—u) aus F (v) hervorgeht, wenn man — u für v setzt. √u und √v sind positiv zu nehmen. Alsdann ist [FORMEL] Der zweite Theil auf der rechten Seite dieser Gleichung lässt sich, weil F (t) — F (— u) durch t + u dividirbar ist, in eine Reihe von Gliedern entwickeln, welche nur po- sitive Potenzen von s, σ, t enthalten und für t = 0 verschwinden. Eben so findet man [FORMEL] + eine Reihe von Gliedern, die für s = 0 verschwinden.

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Zitationshilfe: Weierstraß, Karl: Beitrag zur Theorie der Abel'schen Integrale. In: Jahresbericht über das Königl. Katholische Gymnasium zu Braunsberg 1848/49, S. 1-23, hier S. 7. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/weierstrass_integrale_1849/12>, abgerufen am 23.11.2024.