Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.Archimedis Erstes Buch Jezt wollen wir unserm obigen Versprechen auch ein Genügen thun/ und den 16den (zu- des VI. J- tem 19. und 20. des VII. 34. des XI. 9. und 15. des XII. B. etc. 1. Wann vier (oder auch drey) Dinge gleichverhaltend sind/ so ist das Es seyen a, ea, b, eb, vier gleichverhaltende Dinge (dann durch diese vier Gemerke kön- Es folget aber auch umbgekehrt: Daß 2. Wann das gemachte aus beyden äussersten gleich ist dem kommen- Dann/ weil aeb und eab einander gleich sind/ so sey eines davon/ welches man will/ I. Wann vier Dinge gleichverhaltend sind (wie a gegen ea, also b gegen eb) so sind 1. Umbgekehrt/ wie ea gegen a, also eb gegen b. Dann eab (das Gemächte der äussersten) ist gleich des V. J- tem 9. 10. und 13. des VII. B. 2. Wechselweiß/ wie a gegen b, also ea gegen eb. [Formel 1] 3. Zusammgesetzet/ wie a+ea gegen ea, also b+eb gegen eb. 18. desV. B. [Formel 2] 4. Zerteihlet/ wie a-ea gegen ea, also b-eb gegen eb. 17. desV. B. [Formel 3] 5. Ver-
Archimedis Erſtes Buch Jezt wollen wir unſerm obigen Verſprechen auch ein Genuͤgen thun/ und den 16den (zu- des VI. J- tem 19. uñ 20. des VII. 34. des XI. 9. und 15. des XII. B. ꝛc. 1. Wann vier (oder auch drey) Dinge gleichverhaltend ſind/ ſo iſt das Es ſeyen a, ea, b, eb, vier gleichverhaltende Dinge (dann durch dieſe vier Gemerke koͤn- Es folget aber auch umbgekehrt: Daß 2. Wann das gemachte aus beyden aͤuſſerſten gleich iſt dem kommen- Dann/ weil aeb und eab einander gleich ſind/ ſo ſey eines davon/ welches man will/ I. Wann vier Dinge gleichverhaltend ſind (wie a gegen ea, alſo b gegen eb) ſo ſind 1. Umbgekehrt/ wie ea gegen a, alſo eb gegen b. Dann eab (das Gemaͤchte der aͤuſſerſten) iſt gleich des V. J- tem 9. 10. und 13. des VII. B. 2. Wechſelweiß/ wie a gegen b, alſo ea gegen eb. [Formel 1] 3. Zuſammgeſetzet/ wie a+ea gegen ea, alſo b+eb gegen eb. 18. desV. B. [Formel 2] 4. Zerteihlet/ wie a-ea gegen ea, alſo b-eb gegen eb. 17. desV. B. [Formel 3] 5. Ver-
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Archimedis Erſtes Buch
Jezt wollen wir unſerm obigen Verſprechen auch ein Genuͤgen thun/ und den 16den (zu-
gleich aber auch den 17den) Lehrſatz des VI. Buchs Euclidis auch allgemein machen; aus
demſelben nachmals ferner den groͤſſeſten Teihl ſeines V. ſonſt ſchwaͤhren Buchs uͤberaus kurz/
und leicht/ und gleichſam ſpielend/ auf gleiche allgemeine Art beweiſen. Sagen demnach:
1. Wann vier (oder auch drey) Dinge gleichverhaltend ſind/ ſo iſt das
kom̃ende aus dem eꝛſten in das lezte eben ſo gꝛoß/ als das gemachte aus beyden
mittlern/ oder (ſo nur dreye ſind) als das Vermoͤgen (quadrat) des mittlern.
Es ſeyen a, ea, b, eb, vier gleichverhaltende Dinge (dann durch dieſe vier Gemerke koͤn-
nen jede vier bedeutet werden) ſo iſt das/ was da kommt aus dem erſten/ a, in das lezte/ eb,
(nehmlich aeb) gleich dem gemachten aus beyden mittlern/ ea, und b (nehmlich dem eab)
weil zwiſchen aeb und eab kein anderer Unterſchied iſt/ als einige Verſetzung der Buchſtaben/
wordurch (wie bekant) der Gleichheit nichts benommen wird. Eben alſo ſeynd a, ea, eea,
drey unzertrennnet-gleichverhaltende (continuè proportionalia) Dinge; und iſt das ge-
machte aus beyden aͤuſſerſten/ a und eea (nehmlich eeaa) gleich dem Vormoͤgen des mittlern/
ea, (nehmlich dem eaea) alſo daß die Waarheit obigen Lehrſatzes/ ohne vieles Nachdenken/
klaͤrlich vor Augen liget/ und dieſer einige/ gleichſam greiffliche Beweiß/ an ſtatt 4. anderer
(nehmlich des 16. und 17den im VI. und des 19. und 20ſten im VII. Buch Euclidis) viel
ſchwaͤhrerer dienen und genug ſeyn kan; und zum Uberfluß noch den 34ſten des XI. den 9ten
und 15den des XII. u. a. m. wuͤrklich in ſich begreiffet.
Es folget aber auch umbgekehrt: Daß
2. Wann das gemachte aus beyden aͤuſſerſten gleich iſt dem kommen-
den aus beyden mittlern (oder dem Vermoͤgen des einigen mittleren) ſolche
drey oder vier Dinge gleichverhaltend ſeyen.
Dann/ weil aeb und eab einander gleich ſind/ ſo ſey eines davon/ welches man will/
zum Exempel aeb, das Gemaͤchte derer beyden aͤuſſerſten/ und eab derer beyden mittlern.
So man nun a nimmt fuͤr das erſte/ und eb fuͤr das lezte/ ſo werden die beyde mittlern ſeyn ent-
weder b und ea oder a und eb, oder umbgekehret. Es moͤgen aber dieſe aͤuſſerſte und mittlere
genommen werden/ wie ſie immer wollen/ ſo wird man allezeit finden/ daß/ wann man das an-
dere teihlet durch das erſte/ und das vierdte durch das dritte/ beyderſeits einerley heraus
komme: welches dann ein unfehlbares und fuͤr ſich ſelbſt-bekantes Kennzeichen einrr gleichen
Verhaͤltnis iſt. Hieraus koͤnnen nun leichtlich bewieſen werden dieſe folgende Lehrſaͤtze:
I.
Wann vier Dinge gleichverhaltend ſind (wie a gegen ea, alſo b gegen eb) ſo ſind
ſie auch gleichverhaltend
1. Umbgekehrt/ wie ea gegen a, alſo eb gegen b.
Dann eab (das Gemaͤchte der aͤuſſerſten) iſt gleich
aeb (dem Gemaͤchte der beyden mittlern.)
2. Wechſelweiß/ wie a gegen b, alſo ea gegen eb.
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3. Zuſammgeſetzet/ wie a+ea gegen ea, alſo b+eb gegen eb.
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4. Zerteihlet/ wie a-ea gegen ea, alſo b-eb gegen eb.
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5. Ver-
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Zitationshilfe: | Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 50. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/78>, abgerufen am 28.07.2024. |