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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Archimedes von denen
X+P gegen dem Scheibenteihl GHC ordnen; über dieses noch weiter bemerken/
daß der Scheibenteihl GHC gegen dem kleinern Scheibenteihl X sich verhalte wie
die die Vierung HG gegen der Vierung HA, vermög des 2ten im XII. und 33sten
im VI. So schliesset sich endlich gleichdurchgehend (nach dem 22sten im V.) daß N
gegen X sich verhalte/ wie HA in AG sambt 2/3 der Vierung AG gegen der Vierung
HA. Welchem nach N gegen dem übrigen P sich verhalten wird/ wie das Rechtekk
aus HA in AG sambt 2/3 der Vierung AG gegen dem Rechtekk aus HA in HG
sambt 1/3 der Vierung AG weniger der Vierung HA, Laut der Folge des 19den
im V. Nun ist aber das Rechtekk aus HA in HG (oder/ krafft des 1sten im II. B.
die Vierung HA sambt dem Rechtekk aus HA in AG) sambt 1/3 der Vierung AG,
weniger der Vierung HA, so viel als das Rechtekk aus HA in AG sambt 1/3 der
Vierung AG. Derowegen verhält sich N gegen P wie das Rechtekk aus HA in AG
sambt 2/3 der Vierung AG, gegen HA in AG sambt 1/3 der Vierung AG, d. i. (Kraft
des 1sten im VI. weil beyderseits einerley Höhe ist/ nehmlich AG) wie HA+ 2/3 AG
gegen HA+ 1/3 AG. Welches hat sollen bewiesen werden.

Anmerkung.

Dieses einige ist umb mehrerer Gewißheit willen zu erinnern: Vermög obigen XXVI.
Lehrsatzes/ wann X+P so viel ist als HG in HA sambt 1/3 der Vierung AG, so ist der Schei-
benteihl GHC so viel als die Vierung HG. Derowegen wann ich X+P von dem Scheiben-
teihl GHC (d. i. HG in HA+ 1/3 der Vierung AG von der Vierung HG) abziehe/ muß N
nohtwendig übrig bleiben. Nun ist aber die Vierung HG (Laut des 4ten im II. B.) so viel
als die Vierung HA sambt der Vierung AG und noch 2HA in AG, d. i. (Krafft des 1sten
im II. B.) so viel als HA in HG+HA in AG sambt der Vierung AG. So ich demnach
von dieser Summa abziehe (für X und P zusammen) HA in HG+ 1/3 der Vierung AG, so
bleibt für N übrig HA in AG+ 2/3 der Vierung AG; allerdings wie oben in dem Beweiß ge-
setzet worden.

Zugab.

Und dieses sind also die verwunderliche Erfindungen Archimedis von denen Schnekkenlineen und Schnek-
kenflächen/ dergleichen vor Jhme niemand/ nach Jhm aber wol ein und anderer tiefsinniger Kopf aufzubringen
versuchet hat. Pappus von Alexandria ist deren einer/ aus dessen Collectionibus Mathematicis Rivalt de Flu-
rance zu obigen Lehrsätzen Archimedis noch einen/ als den XXIX. hinzusetzet/ den wir/ seiner sonderlichen Nutz-
barkeit halben/ auch noch mit anhängen wollen. Es verhält sich aber selbiger folgender Gestalt:

Wann auf eine/ im ersten Umblauff beschriebene/ Schnekkenlini eine gerade
aus dem Anfangs-punct gezogen wird; so verhält sich die ganze/ von der Schnek-
ken- und der so genannten ersten Lini begriffene/ Schnekkenfläche/ gegen dem
Stükk welches von dem ersten Teihl der Schnekkenlini und der anfangs-gezo-
genen geraden beschlossen wird/ wie der Würfel der ersten Lini gegen dem Wür-
fel besagter neugezogenen.

[Abbildung]

Solches zu beweisen/ sey gegeben die/ im ersten Umblauff be-
schriebene/ Schnekkenlini bhca, und auf dieselbe aus dem Punct b
gezogen die Lini bc. Soll nun bewiesen werden/ daß die ganze
Schnekkenfläche bhcab gegen dem Stükk bhcb sich verhalte/ wie
der Würsel von der Lini ba gegen dem Würfel der Lini bc.

Zu Erleichterung des Beweises beschreibe man aus b, in der
Weite ba den Ersten/ und in der Weite bc einen kleinen Kreiß/ und
ziehe durch beyde die zwey kreutzende Durchmesser ao und de. Nun
ist die ganze Schnekkenfläche 1/3 der ersten Scheibe/ vermög des
XXIV. Lehrsatzes; und das Stükk bhcb ist auch 1/3 des Schei-
benstükkes bcfgb, welches allerdings wie gemeldter XXIV. Lehr-
satz kan bewiesen werden. Derowegen wie die erste Scheibe sich ver-
hält gegen diesem Scheibenstükk/ so verhält sich die ganze Schnekken-
fläche gegen der Abgeschnittenen. Nun aber ist die Verhältniß der
ersten Scheibe gegen dem kleinen Scheibenstükk zusammen gesetzet
aus der Verhältniß der ersten Scheibe gegen der ganzen kleinen

Scheibe/

Archimedes von denen
X+P gegen dem Scheibenteihl GHC ordnen; uͤber dieſes noch weiter bemerken/
daß der Scheibenteihl GHC gegen dem kleinern Scheibenteihl X ſich verhalte wie
die die Vierung HG gegen der Vierung HA, vermoͤg des 2ten im XII. und 33ſten
im VI. So ſchlieſſet ſich endlich gleichdurchgehend (nach dem 22ſten im V.) daß N
gegen X ſich verhalte/ wie HA in AG ſambt ⅔ der Vierung AG gegen der Vierung
HA. Welchem nach N gegen dem uͤbrigen P ſich verhalten wird/ wie das Rechtekk
aus HA in AG ſambt ⅔ der Vierung AG gegen dem Rechtekk aus HA in HG
ſambt ⅓ der Vierung AG weniger der Vierung HA, Laut der Folge des 19den
im V. Nun iſt aber das Rechtekk aus HA in HG (oder/ krafft des 1ſten im II. B.
die Vierung HA ſambt dem Rechtekk aus HA in AG) ſambt ⅓ der Vierung AG,
weniger der Vierung HA, ſo viel als das Rechtekk aus HA in AG ſambt ⅓ der
Vierung AG. Derowegen verhaͤlt ſich N gegen P wie das Rechtekk aus HA in AG
ſambt ⅔ der Vierung AG, gegen HA in AG ſambt ⅓ der Vierung AG, d. i. (Kraft
des 1ſten im VI. weil beyderſeits einerley Hoͤhe iſt/ nehmlich AG) wie HA+⅔AG
gegen HA+⅓AG. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkung.

Dieſes einige iſt umb mehrerer Gewißheit willen zu erinnern: Vermoͤg obigen XXVI.
Lehrſatzes/ wann X+P ſo viel iſt als HG in HA ſambt ⅓ der Vierung AG, ſo iſt der Schei-
benteihl GHC ſo viel als die Vierung HG. Derowegen wann ich X+P von dem Scheiben-
teihl GHC (d. i. HG in HA+⅓ der Vierung AG von der Vierung HG) abziehe/ muß N
nohtwendig uͤbrig bleiben. Nun iſt aber die Vierung HG (Laut des 4ten im II. B.) ſo viel
als die Vierung HA ſambt der Vierung AG und noch 2HA in AG, d. i. (Krafft des 1ſten
im II. B.) ſo viel als HA in HG+HA in AG ſambt der Vierung AG. So ich demnach
von dieſer Summa abziehe (fuͤr X und P zuſammen) HA in HG+⅓ der Vierung AG, ſo
bleibt fuͤr N uͤbrig HA in AG+⅔ der Vierung AG; allerdings wie oben in dem Beweiß ge-
ſetzet worden.

Zugab.

Und dieſes ſind alſo die verwunderliche Erfindungen Archimedis von denen Schnekkenlineen und Schnek-
kenflaͤchen/ dergleichen vor Jhme niemand/ nach Jhm aber wol ein und anderer tiefſinniger Kopf aufzubringen
verſuchet hat. Pappus von Alexandria iſt deren einer/ aus deſſen Collectionibus Mathematicis Rivalt de Flu-
rance zu obigen Lehrſaͤtzen Archimedis noch einen/ als den XXIX. hinzuſetzet/ den wir/ ſeiner ſonderlichen Nutz-
barkeit halben/ auch noch mit anhaͤngen wollen. Es verhaͤlt ſich aber ſelbiger folgender Geſtalt:

Wann auf eine/ im erſten Umblauff beſchriebene/ Schnekkenlini eine gerade
aus dem Anfangs-punct gezogen wird; ſo verhaͤlt ſich die ganze/ von der Schnek-
ken- und der ſo genannten erſten Lini begriffene/ Schnekkenflaͤche/ gegen dem
Stuͤkk welches von dem erſten Teihl der Schnekkenlini und der anfangs-gezo-
genen geraden beſchloſſen wird/ wie der Wuͤrfel der erſten Lini gegen dem Wuͤr-
fel beſagter neugezogenen.

[Abbildung]

Solches zu beweiſen/ ſey gegeben die/ im erſten Umblauff be-
ſchriebene/ Schnekkenlini bhca, und auf dieſelbe aus dem Punct b
gezogen die Lini bc. Soll nun bewieſen werden/ daß die ganze
Schnekkenflaͤche bhcab gegen dem Stuͤkk bhcb ſich verhalte/ wie
der Wuͤrſel von der Lini ba gegen dem Wuͤrfel der Lini bc.

Zu Erleichterung des Beweiſes beſchreibe man aus b, in der
Weite ba den Erſten/ und in der Weite bc einen kleinen Kreiß/ und
ziehe durch beyde die zwey kreutzende Durchmeſſer ao und de. Nun
iſt die ganze Schnekkenflaͤche ⅓ der erſten Scheibe/ vermoͤg des
XXIV. Lehrſatzes; und das Stuͤkk bhcb iſt auch ⅓ des Schei-
benſtuͤkkes bcfgb, welches allerdings wie gemeldter XXIV. Lehr-
ſatz kan bewieſen werden. Derowegen wie die erſte Scheibe ſich ver-
haͤlt gegen dieſem Scheibenſtuͤkk/ ſo verhaͤlt ſich die ganze Schnekken-
flaͤche gegen der Abgeſchnittenen. Nun aber iſt die Verhaͤltniß der
erſten Scheibe gegen dem kleinen Scheibenſtuͤkk zuſammen geſetzet
aus der Verhaͤltniß der erſten Scheibe gegen der ganzen kleinen

Scheibe/
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[426/0454] Archimedes von denen X+P gegen dem Scheibenteihl GHC ordnen; uͤber dieſes noch weiter bemerken/ daß der Scheibenteihl GHC gegen dem kleinern Scheibenteihl X ſich verhalte wie die die Vierung HG gegen der Vierung HA, vermoͤg des 2ten im XII. und 33ſten im VI. So ſchlieſſet ſich endlich gleichdurchgehend (nach dem 22ſten im V.) daß N gegen X ſich verhalte/ wie HA in AG ſambt ⅔ der Vierung AG gegen der Vierung HA. Welchem nach N gegen dem uͤbrigen P ſich verhalten wird/ wie das Rechtekk aus HA in AG ſambt ⅔ der Vierung AG gegen dem Rechtekk aus HA in HG ſambt ⅓ der Vierung AG weniger der Vierung HA, Laut der Folge des 19den im V. Nun iſt aber das Rechtekk aus HA in HG (oder/ krafft des 1ſten im II. B. die Vierung HA ſambt dem Rechtekk aus HA in AG) ſambt ⅓ der Vierung AG, weniger der Vierung HA, ſo viel als das Rechtekk aus HA in AG ſambt ⅓ der Vierung AG. Derowegen verhaͤlt ſich N gegen P wie das Rechtekk aus HA in AG ſambt ⅔ der Vierung AG, gegen HA in AG ſambt ⅓ der Vierung AG, d. i. (Kraft des 1ſten im VI. weil beyderſeits einerley Hoͤhe iſt/ nehmlich AG) wie HA+⅔AG gegen HA+⅓AG. Welches hat ſollen bewieſen werden. Anmerkung. Dieſes einige iſt umb mehrerer Gewißheit willen zu erinnern: Vermoͤg obigen XXVI. Lehrſatzes/ wann X+P ſo viel iſt als HG in HA ſambt ⅓ der Vierung AG, ſo iſt der Schei- benteihl GHC ſo viel als die Vierung HG. Derowegen wann ich X+P von dem Scheiben- teihl GHC (d. i. HG in HA+⅓ der Vierung AG von der Vierung HG) abziehe/ muß N nohtwendig uͤbrig bleiben. Nun iſt aber die Vierung HG (Laut des 4ten im II. B.) ſo viel als die Vierung HA ſambt der Vierung AG und noch 2HA in AG, d. i. (Krafft des 1ſten im II. B.) ſo viel als HA in HG+HA in AG ſambt der Vierung AG. So ich demnach von dieſer Summa abziehe (fuͤr X und P zuſammen) HA in HG+⅓ der Vierung AG, ſo bleibt fuͤr N uͤbrig HA in AG+⅔ der Vierung AG; allerdings wie oben in dem Beweiß ge- ſetzet worden. Zugab. Und dieſes ſind alſo die verwunderliche Erfindungen Archimedis von denen Schnekkenlineen und Schnek- kenflaͤchen/ dergleichen vor Jhme niemand/ nach Jhm aber wol ein und anderer tiefſinniger Kopf aufzubringen verſuchet hat. Pappus von Alexandria iſt deren einer/ aus deſſen Collectionibus Mathematicis Rivalt de Flu- rance zu obigen Lehrſaͤtzen Archimedis noch einen/ als den XXIX. hinzuſetzet/ den wir/ ſeiner ſonderlichen Nutz- barkeit halben/ auch noch mit anhaͤngen wollen. Es verhaͤlt ſich aber ſelbiger folgender Geſtalt: Wann auf eine/ im erſten Umblauff beſchriebene/ Schnekkenlini eine gerade aus dem Anfangs-punct gezogen wird; ſo verhaͤlt ſich die ganze/ von der Schnek- ken- und der ſo genannten erſten Lini begriffene/ Schnekkenflaͤche/ gegen dem Stuͤkk welches von dem erſten Teihl der Schnekkenlini und der anfangs-gezo- genen geraden beſchloſſen wird/ wie der Wuͤrfel der erſten Lini gegen dem Wuͤr- fel beſagter neugezogenen. [Abbildung] Solches zu beweiſen/ ſey gegeben die/ im erſten Umblauff be- ſchriebene/ Schnekkenlini bhca, und auf dieſelbe aus dem Punct b gezogen die Lini bc. Soll nun bewieſen werden/ daß die ganze Schnekkenflaͤche bhcab gegen dem Stuͤkk bhcb ſich verhalte/ wie der Wuͤrſel von der Lini ba gegen dem Wuͤrfel der Lini bc. Zu Erleichterung des Beweiſes beſchreibe man aus b, in der Weite ba den Erſten/ und in der Weite bc einen kleinen Kreiß/ und ziehe durch beyde die zwey kreutzende Durchmeſſer ao und de. Nun iſt die ganze Schnekkenflaͤche ⅓ der erſten Scheibe/ vermoͤg des XXIV. Lehrſatzes; und das Stuͤkk bhcb iſt auch ⅓ des Schei- benſtuͤkkes bcfgb, welches allerdings wie gemeldter XXIV. Lehr- ſatz kan bewieſen werden. Derowegen wie die erſte Scheibe ſich ver- haͤlt gegen dieſem Scheibenſtuͤkk/ ſo verhaͤlt ſich die ganze Schnekken- flaͤche gegen der Abgeſchnittenen. Nun aber iſt die Verhaͤltniß der erſten Scheibe gegen dem kleinen Scheibenſtuͤkk zuſammen geſetzet aus der Verhaͤltniß der erſten Scheibe gegen der ganzen kleinen Scheibe/

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 426. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/454>, abgerufen am 24.11.2024.