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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Archimedes von denen

ben/ als die Vierung der grössesten Lini (welche ist der Halbmesser des andern
Kreisses) gegen dem aus der grössesten und kleinesten (aus HA und HE) ge-
machten Rechtekk/ sambt 1/3 der Vierung EA, Krafft des XI. Lehrsatzes und
dessen Folge; und daß also die Scheibe O/ (weil obiger Vorbereitung nach ge-
gen derselben die Scheibe AFGI, keine kleinere als eben besagte Verhältnis hat)
kleiner seyn müsse als die umbgeschriebene Figur/ da doch oben das Gegenteihl
erwiesen worden. Kan derowegen (weil sonsten widrige Schlüsse folgen) obbe-
sagte Schnekkenfläche nicht kleiner seyn als die Scheibe O/.

II. Satz. Setzet man dann/ sie sey grösser/ und beschreibt inner halb derselben
abermal eine Figur/ welche von ihr umb ein wenigers übertroffen wird/ als
die Scheibe O/ von eben derselben Fläche übertroffen wird/ aus dem bekannten
[Abbildung] Grund; so wird zu förderst
geschlossen/ daß die einge-
schriebene Figur grösser sey als
die Scheibe O/. Nachmals
aber wird aus obigen Grün-
den erwiesen/ daß alle gleiche
Scheiben-Teihle/ das ist/ die
ganze Scheibe AFGI, gegen
allen ungleichen Scheiben-
Teihlen ohne den grössesten/
d. i. gegen der eingeschriebenen
Figur eine grössere Verhält-
nis habe/ als die Vierung HA
gegen dem Rechtekk aus HA
in HE sambt 1/3 der Vierung
EA, nach der Folge des XI.
Lehrsatzes/ und daß also (weil eben die Scheibe AFGI gegen der Scheibe O/
keine grössere/ sondern eben dieselbe Verhältnis hat) die eingeschriebene Figur
nohtwendig kleiner sey als die Scheibe O/, welches dem obigen Schluß aber-
mal schnurstrakks zu wider ist. Kan derowegen (weil sonsten widrige Schlüsse
folgen) die Schnekkenfläche nicht grösser seyn als die Scheibe o/, sondern muß
(weil sie auch nicht kleiner ist) derselben nohtwendig gleich seyn. W. Z. B. W.

Anmerkung.

Dieweil nun die Schnekkenfläche der Scheibe O/ gleich ist/ die Scheibe O/ aber gegen der
Scheibe AFGI sich verhält wie die Vierungen ihrer Halbmesser/ nach dem 2ten im XII.
B Nehmlich (Laut obiger Vorbereitung) wie das Rechtekk aus HE in HA sambt 1/3 der
Vierung EA, gegen der Vierung HA; so ist offenbar/ daß auch die Schnekkenfläche gegen
der Scheibe AFGI eben dieselbe Verhältnis habe/ Krafft des 7den im V. B. Daß aber
diese Verhältnis eben die sey/ welche da hat 7 gegen 12, erhellet also: Wann für HA 2 ge-
setzet wird/ so ist HE 1 (dann wegen gleichförmiger Bewegung des beschreibenden Puncten
sind die erste/ die andere/ die dritte/ etc. Lineen alle einander gleich) und EA auch 1. So ist
demnach das Rechtekk aus HE in HA so viel als 2, der dritte Teihl der Vierung EA so viel
als 1/3 , und also beydes zusammen 2 1/3 oder . Die Vierung von HA aber ist 4 oder . Ver-
hält sich demnach das Rechtekk aus HE in HA sambt 1/3 der Vierung EA gegen der Vie-
rung HA, wie gegen , d. i. wie 7 gegen 12. Welches hat sollen bewiesen werden.

Folge.

Auf gleiche Weise wird bewiesen/ daß jede Schnekkenfläche/ so
da begriffen ist zwischen einer/ im dritten/ vierdten/ etc. Umblauff

beschrie-

Archimedes von denen

ben/ als die Vierung der groͤſſeſten Lini (welche iſt der Halbmeſſer des andern
Kreiſſes) gegen dem aus der groͤſſeſten und kleineſten (aus HA und HE) ge-
machten Rechtekk/ ſambt ⅓ der Vierung EA, Krafft des XI. Lehrſatzes und
deſſen Folge; und daß alſo die Scheibe O/ (weil obiger Vorbereitung nach ge-
gen derſelben die Scheibe AFGI, keine kleinere als eben beſagte Verhaͤltnis hat)
kleiner ſeyn muͤſſe als die umbgeſchriebene Figur/ da doch oben das Gegenteihl
erwieſen worden. Kan derowegen (weil ſonſten widrige Schluͤſſe folgen) obbe-
ſagte Schnekkenflaͤche nicht kleiner ſeyn als die Scheibe O/.

II. Satz. Setzet man dann/ ſie ſey groͤſſer/ und beſchreibt inner halb derſelben
abermal eine Figur/ welche von ihr umb ein wenigers uͤbertroffen wird/ als
die Scheibe O/ von eben derſelben Flaͤche uͤbertroffen wird/ aus dem bekannten
[Abbildung] Grund; ſo wird zu foͤrderſt
geſchloſſen/ daß die einge-
ſchriebene Figur groͤſſer ſey als
die Scheibe O/. Nachmals
aber wird aus obigen Gruͤn-
den erwieſen/ daß alle gleiche
Scheiben-Teihle/ das iſt/ die
ganze Scheibe AFGI, gegen
allen ungleichen Scheiben-
Teihlen ohne den groͤſſeſten/
d. i. gegen der eingeſchriebenen
Figur eine groͤſſere Verhaͤlt-
nis habe/ als die Vierung HA
gegen dem Rechtekk aus HA
in HE ſambt ⅓ der Vierung
EA, nach der Folge des XI.
Lehrſatzes/ und daß alſo (weil eben die Scheibe AFGI gegen der Scheibe O/
keine groͤſſere/ ſondern eben dieſelbe Verhaͤltnis hat) die eingeſchriebene Figur
nohtwendig kleiner ſey als die Scheibe O/, welches dem obigen Schluß aber-
mal ſchnurſtrakks zu wider iſt. Kan derowegen (weil ſonſten widrige Schluͤſſe
folgen) die Schnekkenflaͤche nicht groͤſſer ſeyn als die Scheibe o/, ſondern muß
(weil ſie auch nicht kleiner iſt) derſelben nohtwendig gleich ſeyn. W. Z. B. W.

Anmerkung.

Dieweil nun die Schnekkenflaͤche der Scheibe O/ gleich iſt/ die Scheibe O/ aber gegen der
Scheibe AFGI ſich verhaͤlt wie die Vierungen ihrer Halbmeſſer/ nach dem 2ten im XII.
B Nehmlich (Laut obiger Vorbereitung) wie das Rechtekk aus HE in HA ſambt ⅓ der
Vierung EA, gegen der Vierung HA; ſo iſt offenbar/ daß auch die Schnekkenflaͤche gegen
der Scheibe AFGI eben dieſelbe Verhaͤltnis habe/ Krafft des 7den im V. B. Daß aber
dieſe Verhaͤltnis eben die ſey/ welche da hat 7 gegen 12, erhellet alſo: Wann fuͤr HA 2 ge-
ſetzet wird/ ſo iſt HE 1 (dann wegen gleichfoͤrmiger Bewegung des beſchreibenden Puncten
ſind die erſte/ die andere/ die dritte/ ꝛc. Lineen alle einander gleich) und EA auch 1. So iſt
demnach das Rechtekk aus HE in HA ſo viel als 2, der dritte Teihl der Vierung EA ſo viel
als ⅓, und alſo beydes zuſammen 2⅓ oder . Die Vierung von HA aber iſt 4 oder . Ver-
haͤlt ſich demnach das Rechtekk aus HE in HA ſambt ⅓ der Vierung EA gegen der Vie-
rung HA, wie gegen , d. i. wie 7 gegen 12. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Folge.

Auf gleiche Weiſe wird bewieſen/ daß jede Schnekkenflaͤche/ ſo
da begriffen iſt zwiſchen einer/ im dritten/ vierdten/ ꝛc. Umblauff

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[420/0448] Archimedes von denen ben/ als die Vierung der groͤſſeſten Lini (welche iſt der Halbmeſſer des andern Kreiſſes) gegen dem aus der groͤſſeſten und kleineſten (aus HA und HE) ge- machten Rechtekk/ ſambt ⅓ der Vierung EA, Krafft des XI. Lehrſatzes und deſſen Folge; und daß alſo die Scheibe O/ (weil obiger Vorbereitung nach ge- gen derſelben die Scheibe AFGI, keine kleinere als eben beſagte Verhaͤltnis hat) kleiner ſeyn muͤſſe als die umbgeſchriebene Figur/ da doch oben das Gegenteihl erwieſen worden. Kan derowegen (weil ſonſten widrige Schluͤſſe folgen) obbe- ſagte Schnekkenflaͤche nicht kleiner ſeyn als die Scheibe O/. II. Satz. Setzet man dann/ ſie ſey groͤſſer/ und beſchreibt inner halb derſelben abermal eine Figur/ welche von ihr umb ein wenigers uͤbertroffen wird/ als die Scheibe O/ von eben derſelben Flaͤche uͤbertroffen wird/ aus dem bekannten [Abbildung] Grund; ſo wird zu foͤrderſt geſchloſſen/ daß die einge- ſchriebene Figur groͤſſer ſey als die Scheibe O/. Nachmals aber wird aus obigen Gruͤn- den erwieſen/ daß alle gleiche Scheiben-Teihle/ das iſt/ die ganze Scheibe AFGI, gegen allen ungleichen Scheiben- Teihlen ohne den groͤſſeſten/ d. i. gegen der eingeſchriebenen Figur eine groͤſſere Verhaͤlt- nis habe/ als die Vierung HA gegen dem Rechtekk aus HA in HE ſambt ⅓ der Vierung EA, nach der Folge des XI. Lehrſatzes/ und daß alſo (weil eben die Scheibe AFGI gegen der Scheibe O/ keine groͤſſere/ ſondern eben dieſelbe Verhaͤltnis hat) die eingeſchriebene Figur nohtwendig kleiner ſey als die Scheibe O/, welches dem obigen Schluß aber- mal ſchnurſtrakks zu wider iſt. Kan derowegen (weil ſonſten widrige Schluͤſſe folgen) die Schnekkenflaͤche nicht groͤſſer ſeyn als die Scheibe o/, ſondern muß (weil ſie auch nicht kleiner iſt) derſelben nohtwendig gleich ſeyn. W. Z. B. W. Anmerkung. Dieweil nun die Schnekkenflaͤche der Scheibe O/ gleich iſt/ die Scheibe O/ aber gegen der Scheibe AFGI ſich verhaͤlt wie die Vierungen ihrer Halbmeſſer/ nach dem 2ten im XII. B Nehmlich (Laut obiger Vorbereitung) wie das Rechtekk aus HE in HA ſambt ⅓ der Vierung EA, gegen der Vierung HA; ſo iſt offenbar/ daß auch die Schnekkenflaͤche gegen der Scheibe AFGI eben dieſelbe Verhaͤltnis habe/ Krafft des 7den im V. B. Daß aber dieſe Verhaͤltnis eben die ſey/ welche da hat 7 gegen 12, erhellet alſo: Wann fuͤr HA 2 ge- ſetzet wird/ ſo iſt HE 1 (dann wegen gleichfoͤrmiger Bewegung des beſchreibenden Puncten ſind die erſte/ die andere/ die dritte/ ꝛc. Lineen alle einander gleich) und EA auch 1. So iſt demnach das Rechtekk aus HE in HA ſo viel als 2, der dritte Teihl der Vierung EA ſo viel als ⅓, und alſo beydes zuſammen 2⅓ oder [FORMEL]. Die Vierung von HA aber iſt 4 oder [FORMEL]. Ver- haͤlt ſich demnach das Rechtekk aus HE in HA ſambt ⅓ der Vierung EA gegen der Vie- rung HA, wie [FORMEL] gegen [FORMEL], d. i. wie 7 gegen 12. Welches hat ſollen bewieſen werden. Folge. Auf gleiche Weiſe wird bewieſen/ daß jede Schnekkenflaͤche/ ſo da begriffen iſt zwiſchen einer/ im dritten/ vierdten/ ꝛc. Umblauff beſchrie-

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Zitationshilfe:	Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 420. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/448>, abgerufen am 22.11.2024.

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