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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Archimedes von denen
XC und CL, zerschneidet/ und zwar nach geraden Winkeln/ so kan abermal
eine Lini IN gezogen werden/ die da gleich sey der Lini CM, und gerad auf K
zu streiche/ (vermög nächstvorhergehender 1. Anmerkung) den Kreiß aber
in B durchschneide/ wann sie biß in K verlängert wird. So nun dieses gesche-
hen/ wird KN wieder die begehrte Lini seyn/ und EB gegen IC sich verhalten
wie F gegen G, &c. Alles von Wort zu Wort/ wie in vorhergehenden
Beweiß.

Anmerkungen.

Nur die einige Gleichheit beyder Rechtekke aus KI in CL und KE in IL wird hier ein
wenig anderst/ als in vorhergehender 2. Anmerkung erwiesen: Nehmlich die beyde Dreyekke
KIL und CIE sind (Krafft des 15. und 29sten im I.) gleichwinklicht/ und verhält sich
demnach (Laut des 4ten im VI. und 16den im V.) IE gegen KI wie IC gegen IL; und
zusammgesetzet/ KE gegen KI wie CL gegen IL. Derowegen das Rechtekk aus KE in
IL ist gleich dem Rechtekk aus KI in CL, nach dem 16den des VI. B. W. Z. B. W.

2. Jm Beschluß des Beweises muß es an statt des vorigen heissen: Dieweil dann also
das ganze XI gegen dem ganzen KE sich verhält/ wie das weggenommene XC gegen dem
weggenommenen KB, so verhält sich auch das übrige IC gegen dem übrigen EB wie XC ge-
gen KB, &c. wie oben.

Der X. Lehrsatz/
Und
Sie Sritte Betrachtung.

Wann etliche einander gleichübertreffende Lineen in beliebiger
Anzahl gesetzet werden/ also daß der Ubertreffungs-Rest gleich
sey der kleinesten unter denenselben; und wiederumb eben so viel
andere gegeben werden/ die aber alle der grössesten unter den vori-
gen gleich seyen: so werden alle Vierungen dieser gleichen Lineen/
sambt der Vierung der grössesten unter denen ungleichen/ und noch
einem Rechtekk/ so da gemachet wird aus der allerkleinesten und
einer anderen Lini/ welche gleich ist allen obigen gleichübertreffen-
den Lineen miteinander/ (diese alle zusammen werden) dreymal so
groß seyn als alle Vierungen derer gleichübertreffenden Lineen.

1. Anmerkung.

Unserer bißher oft gebrauchter Buchstaben-Rechnung nach ist die Sache gar leicht/ und
zwar allgemein/ also zu beweisen: Man setze für das kleineste unter denen einander gleichüber-
treffend en/ zum Exempel/ b; so werden seyn die gleichübertreffende/ oder
die ungleichen/ b, 2b, 3b, 4b, 5b, &c.
die gleichen/ 5b, 5b, 5b, 5b, 5b.

Nun ist jede Vierung dieser lezten gleichen so viel als 25bb, und machen dahero alle zusammen
125bb: darzu noch genommen die Vierung des grössesten unter denen ungleichen/ nehmlich
auch 25bb, thut 150bb: endlich zu diesem ferner gesetzet das jenige/ was da kommt aus b in
b+2b+3b+4b+5b, nehmlich 15bb, kommen in allem 165bb. Die Vierungen
aber aller ungleichen/ oder einander gleichübertreffenden/ sind bb+4bb+9bb+16bb
+25bb, d. i. zusammen 55bb. Nun sind 165 just dreymal so viel als 55, und ligt also die
allgemeine Waarheit des Lehrsatzes für Augen. Wir wollen aber dannoch jezt besehen/ wel-
cher gestalt Archimedes denselben von seinen Lineen absonderlich beweise.

Archi-

Archimedes von denen
XC und CL, zerſchneidet/ und zwar nach geraden Winkeln/ ſo kan abermal
eine Lini IN gezogen werden/ die da gleich ſey der Lini CM, und gerad auf K
zu ſtreiche/ (vermoͤg naͤchſtvorhergehender 1. Anmerkung) den Kreiß aber
in B durchſchneide/ wann ſie biß in K verlaͤngert wird. So nun dieſes geſche-
hen/ wird KN wieder die begehrte Lini ſeyn/ und EB gegen IC ſich verhalten
wie F gegen G, &c. Alles von Wort zu Wort/ wie in vorhergehenden
Beweiß.

Anmerkungen.

Nur die einige Gleichheit beyder Rechtekke aus KI in CL und KE in IL wird hier ein
wenig anderſt/ als in vorhergehender 2. Anmerkung erwieſen: Nehmlich die beyde Dreyekke
KIL und CIE ſind (Krafft des 15. und 29ſten im I.) gleichwinklicht/ und verhaͤlt ſich
demnach (Laut des 4ten im VI. und 16den im V.) IE gegen KI wie IC gegen IL; und
zuſammgeſetzet/ KE gegen KI wie CL gegen IL. Derowegen das Rechtekk aus KE in
IL iſt gleich dem Rechtekk aus KI in CL, nach dem 16den des VI. B. W. Z. B. W.

2. Jm Beſchluß des Beweiſes muß es an ſtatt des vorigen heiſſen: Dieweil dann alſo
das ganze XI gegen dem ganzen KE ſich verhaͤlt/ wie das weggenommene XC gegen dem
weggenommenen KB, ſo verhaͤlt ſich auch das uͤbrige IC gegen dem uͤbrigen EB wie XC ge-
gen KB, &c. wie oben.

Der X. Lehrſatz/
Und
Sie Sritte Betrachtung.

Wann etliche einander gleichuͤbertreffende Lineen in beliebiger
Anzahl geſetzet werden/ alſo daß der Ubertreffungs-Reſt gleich
ſey der kleineſten unter denenſelben; und wiederumb eben ſo viel
andere gegeben werden/ die aber alle der groͤſſeſten unter den vori-
gen gleich ſeyen: ſo werden alle Vierungen dieſer gleichen Lineen/
ſambt der Vierung der groͤſſeſten unter denen ungleichen/ und noch
einem Rechtekk/ ſo da gemachet wird aus der allerkleineſten und
einer anderen Lini/ welche gleich iſt allen obigen gleichuͤbertreffen-
den Lineen miteinander/ (dieſe alle zuſammen werden) dreymal ſo
groß ſeyn als alle Vierungen derer gleichuͤbertreffenden Lineen.

1. Anmerkung.

Unſerer bißher oft gebrauchter Buchſtaben-Rechnung nach iſt die Sache gar leicht/ und
zwar allgemein/ alſo zu beweiſen: Man ſetze fuͤr das kleineſte unter denen einander gleichuͤber-
treffend en/ zum Exempel/ b; ſo werden ſeyn die gleichuͤbertreffende/ oder
die ungleichen/ b, 2b, 3b, 4b, 5b, &c.
die gleichen/ 5b, 5b, 5b, 5b, 5b.

Nun iſt jede Vierung dieſer lezten gleichen ſo viel als 25bb, und machen dahero alle zuſammen
125bb: darzu noch genommen die Vierung des groͤſſeſten unter denen ungleichen/ nehmlich
auch 25bb, thut 150bb: endlich zu dieſem ferner geſetzet das jenige/ was da kommt aus b in
b+2b+3b+4b+5b, nehmlich 15bb, kommen in allem 165bb. Die Vierungen
aber aller ungleichen/ oder einander gleichuͤbertreffenden/ ſind bb+4bb+9bb+16bb
+25bb, d. i. zuſammen 55bb. Nun ſind 165 juſt dreymal ſo viel als 55, und ligt alſo die
allgemeine Waarheit des Lehrſatzes fuͤr Augen. Wir wollen aber dannoch jezt beſehen/ wel-
cher geſtalt Archimedes denſelben von ſeinen Lineen abſonderlich beweiſe.

Archi-
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[396/0424] Archimedes von denen XC und CL, zerſchneidet/ und zwar nach geraden Winkeln/ ſo kan abermal eine Lini IN gezogen werden/ die da gleich ſey der Lini CM, und gerad auf K zu ſtreiche/ (vermoͤg naͤchſtvorhergehender 1. Anmerkung) den Kreiß aber in B durchſchneide/ wann ſie biß in K verlaͤngert wird. So nun dieſes geſche- hen/ wird KN wieder die begehrte Lini ſeyn/ und EB gegen IC ſich verhalten wie F gegen G, &c. Alles von Wort zu Wort/ wie in vorhergehenden Beweiß. Anmerkungen. Nur die einige Gleichheit beyder Rechtekke aus KI in CL und KE in IL wird hier ein wenig anderſt/ als in vorhergehender 2. Anmerkung erwieſen: Nehmlich die beyde Dreyekke KIL und CIE ſind (Krafft des 15. und 29ſten im I.) gleichwinklicht/ und verhaͤlt ſich demnach (Laut des 4ten im VI. und 16den im V.) IE gegen KI wie IC gegen IL; und zuſammgeſetzet/ KE gegen KI wie CL gegen IL. Derowegen das Rechtekk aus KE in IL iſt gleich dem Rechtekk aus KI in CL, nach dem 16den des VI. B. W. Z. B. W. 2. Jm Beſchluß des Beweiſes muß es an ſtatt des vorigen heiſſen: Dieweil dann alſo das ganze XI gegen dem ganzen KE ſich verhaͤlt/ wie das weggenommene XC gegen dem weggenommenen KB, ſo verhaͤlt ſich auch das uͤbrige IC gegen dem uͤbrigen EB wie XC ge- gen KB, &c. wie oben. Der X. Lehrſatz/ Und Sie Sritte Betrachtung. Wann etliche einander gleichuͤbertreffende Lineen in beliebiger Anzahl geſetzet werden/ alſo daß der Ubertreffungs-Reſt gleich ſey der kleineſten unter denenſelben; und wiederumb eben ſo viel andere gegeben werden/ die aber alle der groͤſſeſten unter den vori- gen gleich ſeyen: ſo werden alle Vierungen dieſer gleichen Lineen/ ſambt der Vierung der groͤſſeſten unter denen ungleichen/ und noch einem Rechtekk/ ſo da gemachet wird aus der allerkleineſten und einer anderen Lini/ welche gleich iſt allen obigen gleichuͤbertreffen- den Lineen miteinander/ (dieſe alle zuſammen werden) dreymal ſo groß ſeyn als alle Vierungen derer gleichuͤbertreffenden Lineen. 1. Anmerkung. Unſerer bißher oft gebrauchter Buchſtaben-Rechnung nach iſt die Sache gar leicht/ und zwar allgemein/ alſo zu beweiſen: Man ſetze fuͤr das kleineſte unter denen einander gleichuͤber- treffend en/ zum Exempel/ b; ſo werden ſeyn die gleichuͤbertreffende/ oder die ungleichen/ b, 2b, 3b, 4b, 5b, &c. die gleichen/ 5b, 5b, 5b, 5b, 5b. Nun iſt jede Vierung dieſer lezten gleichen ſo viel als 25bb, und machen dahero alle zuſammen 125bb: darzu noch genommen die Vierung des groͤſſeſten unter denen ungleichen/ nehmlich auch 25bb, thut 150bb: endlich zu dieſem ferner geſetzet das jenige/ was da kommt aus b in b+2b+3b+4b+5b, nehmlich 15bb, kommen in allem 165bb. Die Vierungen aber aller ungleichen/ oder einander gleichuͤbertreffenden/ ſind bb+4bb+9bb+16bb +25bb, d. i. zuſammen 55bb. Nun ſind 165 juſt dreymal ſo viel als 55, und ligt alſo die allgemeine Waarheit des Lehrſatzes fuͤr Augen. Wir wollen aber dannoch jezt beſehen/ wel- cher geſtalt Archimedes denſelben von ſeinen Lineen abſonderlich beweiſe. Archi-

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 396. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/424>, abgerufen am 25.11.2024.