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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Archimedes von denen Kegel- und

gleichen/ sambt der vorigen weggenommenen grössesten/ (d.i. sambt einer Flä-
che XN) das ist/ Krafft des 2. die ganze grosse Rund-Säule gegen der umb-
geschriebenen Figur/ eine kleinere Verhältnis habe/ als XN gegen 2/3 XO+
1/2 ON, oder als DF gegen HR, das ist (vermög des zweyten Schlusses im
I. Satz) als eben dieselbe Rund-Säule gegen dem Kegel Z. Welchem nach
schließlichen die umbgeschriebene Figur grösser seyn müste als der Kegel Z, da
sie doch im 1. Schluß kleiner zu seyn erwiesen worden. Kan dannenhero (weil
abermal etwas ungereimtes folget) der Abschnitt ABC nicht kleiner seyn als
der Kegel Z; sondern muß nohtwendig (weil er auch nicht grösser ist/ als zu-
vor erwiesen) demselben gleich seyn. Welches hat sollen bewiesen werden.

Anmerkung.

Ein einiges ist hier noch zu erläutern/ und zwar vermittelst folgenden Satzes:

Wann ein ganzes gegen seinem weggenommenen Teihl eine grössere
kleinere Ver-
hältnis hat als ein anderes ganzes gegen seinem auch abgenommenen Teihl/
so hat umbgekehrt das erste ganze gegen seinem übrigen Teihl eine

kleinere
grössere

Verhältnis als das andere ganze gegen seinem übrigen.

Jede zwey solche nach Belieben geteihlte ganze können wir nennen ea+a und ib+b.
So wir nun setzen/ daß ea grösser sey als a und ib grösser als b, so hat ea+a gegen a eine
grössere Verhältnis als ib+b gegen ib: dahero auch umbgekehrt/ ea+a gegen ea eine
kleinere als ib+b gegen b, &c.

Dieweil nun oben in des I. Satzes Beschluß/ zwey ganze sind/ nehmlich alle gleiche Flä-
chen XN und die ganze Lini XN, d.i. XO+ON. Und aber jenes ganze gegen seinem
abgenommenen Teihl (nehmlich allen ungleichen Flächen auf NO sambt ihren Rest-Vierun-
gen) eine kleinere Verhältnis hat/ als dieses ganze gegen seinem abgenommenen Teihl (nehm-
lich 1/3 XO sambt 1/2 ON;) so muß umbgekehrt jenes ganze gegen seinem übrigen Teihl (nehm-
lich gegen allen übrigen Winkelhaaken) eine grössere Verhältnis haben als dieses ganze gegen
seinem übrigen Teihl (nehmlich gegen 2/3 XO+1/2 ON.)

Und weil im II. Satz jenes ganze gegen seinem abgenommenen Teihl (nehmlich gegen al-
len ungleichen Flächen auf NO, ohne die grösseste XN) Laut des III. Lehrsatzes/ eine
grössere Verhältnis hat/ als dieses ganze gegen seinem abgenommenen Teihl/ 1/3 XO+1/2 ON;
so muß abermal umbgewendet/ jenes ganze gegen seinem übrigen Teihl (nehmlich allen übri-
gen Winkelhaken sambt der übrigen ganzen grössesten Fläche XN) eine kleinere Verhältnis
haben/ als dieses ganze gegen seinem übrigen Teihl/ (nehmlich 2/3 XO+1/2 ON.)

Der XXXII. Lehrsatz.

Wann auch gleich der Abschnitt einer Afterkugel nicht senk-
recht auf die Achse noch durch den Mittelpunct geschihet/ so ver-
hält sich doch der kleinere Teihl gegen einem Kegelstükk/ welches
mit bemeldtem Teihl einerley Grundfläche und Achse hat/ wie die
aus der halben Achse der Afterkugel und der Achse des grössern
Teihls zusammgesetzte Lini/ gegen der Achse des grössern Teihls.

Beweiß.

Archimedes von denen Kegel- und

gleichen/ ſambt der vorigen weggenommenen groͤſſeſten/ (d.i. ſambt einer Flaͤ-
che XN) das iſt/ Krafft des 2. die ganze groſſe Rund-Saͤule gegen der umb-
geſchriebenen Figur/ eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als XN gegen ⅔ XO+
½ ON, oder als DF gegen HR, das iſt (vermoͤg des zweyten Schluſſes im
I. Satz) als eben dieſelbe Rund-Saͤule gegen dem Kegel Z. Welchem nach
ſchließlichen die umbgeſchriebene Figur groͤſſer ſeyn muͤſte als der Kegel Z, da
ſie doch im 1. Schluß kleiner zu ſeyn erwieſen worden. Kan dannenhero (weil
abermal etwas ungereimtes folget) der Abſchnitt ABC nicht kleiner ſeyn als
der Kegel Z; ſondern muß nohtwendig (weil er auch nicht groͤſſer iſt/ als zu-
vor erwieſen) demſelben gleich ſeyn. Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkung.

Ein einiges iſt hier noch zu erlaͤutern/ und zwar vermittelſt folgenden Satzes:

Wann ein ganzes gegen ſeinem weggenommenen Teihl eine groͤſſere
kleinere Ver-
haͤltnis hat als ein anderes ganzes gegen ſeinem auch abgenommenen Teihl/
ſo hat umbgekehrt das erſte ganze gegen ſeinem uͤbrigen Teihl eine

kleinere
groͤſſere

Verhaͤltnis als das andere ganze gegen ſeinem uͤbrigen.

Jede zwey ſolche nach Belieben geteihlte ganze koͤnnen wir nennen ea+a und ib+b.
So wir nun ſetzen/ daß ea groͤſſer ſey als a und ib groͤſſer als b, ſo hat ea+a gegen a eine
groͤſſere Verhaͤltnis als ib+b gegen ib: dahero auch umbgekehrt/ ea+a gegen ea eine
kleinere als ib+b gegen b, &c.

Dieweil nun oben in des I. Satzes Beſchluß/ zwey ganze ſind/ nehmlich alle gleiche Flaͤ-
chen XN und die ganze Lini XN, d.i. XO+ON. Und aber jenes ganze gegen ſeinem
abgenommenen Teihl (nehmlich allen ungleichen Flaͤchen auf NO ſambt ihren Reſt-Vierun-
gen) eine kleinere Verhaͤltnis hat/ als dieſes ganze gegen ſeinem abgenommenen Teihl (nehm-
lich ⅓ XO ſambt ½ ON;) ſo muß umbgekehrt jenes ganze gegen ſeinem uͤbrigen Teihl (nehm-
lich gegen allen uͤbrigen Winkelhaaken) eine groͤſſere Verhaͤltnis haben als dieſes ganze gegen
ſeinem uͤbrigen Teihl (nehmlich gegen ⅔ XO+½ ON.)

Und weil im II. Satz jenes ganze gegen ſeinem abgenommenen Teihl (nehmlich gegen al-
len ungleichen Flaͤchen auf NO, ohne die groͤſſeſte XN) Laut des III. Lehrſatzes/ eine
groͤſſere Verhaͤltnis hat/ als dieſes ganze gegen ſeinem abgenommenen Teihl/ ⅓ XO+½ ON;
ſo muß abermal umbgewendet/ jenes ganze gegen ſeinem uͤbrigen Teihl (nehmlich allen uͤbri-
gen Winkelhaken ſambt der uͤbrigen ganzen groͤſſeſten Flaͤche XN) eine kleinere Verhaͤltnis
haben/ als dieſes ganze gegen ſeinem uͤbrigen Teihl/ (nehmlich ⅔ XO+½ ON.)

Der XXXII. Lehrſatz.

Wann auch gleich der Abſchnitt einer Afterkugel nicht ſenk-
recht auf die Achſe noch durch den Mittelpunct geſchihet/ ſo ver-
haͤlt ſich doch der kleinere Teihl gegen einem Kegelſtuͤkk/ welches
mit bemeldtem Teihl einerley Grundflaͤche und Achſe hat/ wie die
aus der halben Achſe der Afterkugel und der Achſe des groͤſſern
Teihls zuſammgeſetzte Lini/ gegen der Achſe des groͤſſern Teihls.

Beweiß.

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[372/0400] Archimedes von denen Kegel- und gleichen/ ſambt der vorigen weggenommenen groͤſſeſten/ (d.i. ſambt einer Flaͤ- che XN) das iſt/ Krafft des 2. die ganze groſſe Rund-Saͤule gegen der umb- geſchriebenen Figur/ eine kleinere Verhaͤltnis habe/ als XN gegen ⅔ XO+ ½ ON, oder als DF gegen HR, das iſt (vermoͤg des zweyten Schluſſes im I. Satz) als eben dieſelbe Rund-Saͤule gegen dem Kegel Z. Welchem nach ſchließlichen die umbgeſchriebene Figur groͤſſer ſeyn muͤſte als der Kegel Z, da ſie doch im 1. Schluß kleiner zu ſeyn erwieſen worden. Kan dannenhero (weil abermal etwas ungereimtes folget) der Abſchnitt ABC nicht kleiner ſeyn als der Kegel Z; ſondern muß nohtwendig (weil er auch nicht groͤſſer iſt/ als zu- vor erwieſen) demſelben gleich ſeyn. Welches hat ſollen bewieſen werden. Anmerkung. Ein einiges iſt hier noch zu erlaͤutern/ und zwar vermittelſt folgenden Satzes: Wann ein ganzes gegen ſeinem weggenommenen Teihl eine groͤſſere kleinere Ver- haͤltnis hat als ein anderes ganzes gegen ſeinem auch abgenommenen Teihl/ ſo hat umbgekehrt das erſte ganze gegen ſeinem uͤbrigen Teihl eine kleinere groͤſſere Verhaͤltnis als das andere ganze gegen ſeinem uͤbrigen. Jede zwey ſolche nach Belieben geteihlte ganze koͤnnen wir nennen ea+a und ib+b. So wir nun ſetzen/ daß ea groͤſſer ſey als a und ib groͤſſer als b, ſo hat ea+a gegen a eine groͤſſere Verhaͤltnis als ib+b gegen ib: dahero auch umbgekehrt/ ea+a gegen ea eine kleinere als ib+b gegen b, &c. Dieweil nun oben in des I. Satzes Beſchluß/ zwey ganze ſind/ nehmlich alle gleiche Flaͤ- chen XN und die ganze Lini XN, d.i. XO+ON. Und aber jenes ganze gegen ſeinem abgenommenen Teihl (nehmlich allen ungleichen Flaͤchen auf NO ſambt ihren Reſt-Vierun- gen) eine kleinere Verhaͤltnis hat/ als dieſes ganze gegen ſeinem abgenommenen Teihl (nehm- lich ⅓ XO ſambt ½ ON;) ſo muß umbgekehrt jenes ganze gegen ſeinem uͤbrigen Teihl (nehm- lich gegen allen uͤbrigen Winkelhaaken) eine groͤſſere Verhaͤltnis haben als dieſes ganze gegen ſeinem uͤbrigen Teihl (nehmlich gegen ⅔ XO+½ ON.) Und weil im II. Satz jenes ganze gegen ſeinem abgenommenen Teihl (nehmlich gegen al- len ungleichen Flaͤchen auf NO, ohne die groͤſſeſte XN) Laut des III. Lehrſatzes/ eine groͤſſere Verhaͤltnis hat/ als dieſes ganze gegen ſeinem abgenommenen Teihl/ ⅓ XO+½ ON; ſo muß abermal umbgewendet/ jenes ganze gegen ſeinem uͤbrigen Teihl (nehmlich allen uͤbri- gen Winkelhaken ſambt der uͤbrigen ganzen groͤſſeſten Flaͤche XN) eine kleinere Verhaͤltnis haben/ als dieſes ganze gegen ſeinem uͤbrigen Teihl/ (nehmlich ⅔ XO+½ ON.) Der XXXII. Lehrſatz. Wann auch gleich der Abſchnitt einer Afterkugel nicht ſenk- recht auf die Achſe noch durch den Mittelpunct geſchihet/ ſo ver- haͤlt ſich doch der kleinere Teihl gegen einem Kegelſtuͤkk/ welches mit bemeldtem Teihl einerley Grundflaͤche und Achſe hat/ wie die aus der halben Achſe der Afterkugel und der Achſe des groͤſſern Teihls zuſammgeſetzte Lini/ gegen der Achſe des groͤſſern Teihls. Beweiß.

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Zitationshilfe:	Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 372. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/400>, abgerufen am 27.11.2024.

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