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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Archimedes von denen Kegel- und

Der XXVI. Lehrsatz.

Wann von einem rechtwinklichten (parabolischen) Afterkegel
zwey Stükke nach Belieben abgeschnitten werden/ so verhalten sie
sich gegen einander wie die Vierungen ihrer Achsen oder Durch-
messer.

Beweiß.

Es seyen/ zum Exempel/ von einem Parabolischen Afterkegel zwey Stükke
abgeschnitten/ deren Achsen oder Durchmesser seyen K und L. Wann nun K
dem L gleich ist/ so sind auch ihre Vierungen gleich/ und ist auch ein Abschnitt dem
andern gleich/ d.i. beyderseits einerley Verhältnis. Wann aber K und L nicht
[Abbildung] gleich ist/ so schneide man von der Achse des
Afterkegels/ durch eine senkrechte Fläche/ ab
BH gleich dem L, und BD gleich dem K; so
werden/ vermög des vorhergehenden XXV.
Lehrsatzes/ die senkrechte Abschnitte EBF und
ABC, jeden zweyen andern Abschnitten/ deren
Achsen L und K sind/ gleich seyn. So man nun
in beyden vorigen Abschnitten Kegel beschrei-
bet/ deren Spitze B, die Grundscheiben aber
AC und EF sind/ so ist die Verhältnis des Ke-
gels ABC gegen dem Kegel EBF zusammge-
setzet aus der Verhältnis der Vierung AD gegen der Vierung HE, und der
Verhältnis BD gegen BH, Laut des obigen XI. Lehrsatzes und des 2ten
im XII. d.i. (Krafft der I. Betr. 7. Folge in V) aus der Verhältnis BD
gegen BH und der Verhältnis wieder des BD gegen BH; also daß der Kegel
ABC gegen dem Kegel EBF eine gedoppelte Verhältnis hat des BD gegen BH.
Eben aber solche gedoppelte Verhältnis hat die Vierung BD gegen der Vierung
BH, Laut des 20sten im VI. B. Verhält sich demnach der Kegel ABC gegen
dem Kegel EBF, d.i. Krafft des XXIII. Lehrsatzes und des 15den im V. B.
ein Abschnitt des Afterkegels gegen dem andern (deren Achsen BD und BH oder
K und L sind) wie die Vierung BD gegen der Vierung BH, d.i. wie die Vie-
rung K gegen der Vierung L: Welches hat sollen bewiesen werden.

Anmerkung.

Hieraus fliesset/ weil alle Parabolische Afterkegel einander ähnlich sind/ Laut obiger 5.
Worterklärung/ daß auch unterschiedlicher Parabolischer Afterkegel Abschnitte/ wann sie
gleiche Achsen oder Durchmesser haben/ einander gleich seyen; wann aber die Achsen ungleich
sind/ sich also gegen einander verhalten/ wie die Vierungen eben deroselben Achsen oder
Durchmesser.

Der XXVII. Lehrsatz.

Eines jeden stumpfwinklichten (Hyperbolischen) Afterkegels
Abschnitt/ so von einer/ auf die Achse senkrechten/ Fläche abge-
schnitten worden/ verhält sich gegen dem jenigen Kegel/ welcher
mit besagtem Abschnitt einerley Grundfläche und Achse hat/ wie

die

Archimedes von denen Kegel- und

Der XXVI. Lehrſatz.

Wann von einem rechtwinklichten (paraboliſchen) Afterkegel
zwey Stuͤkke nach Belieben abgeſchnitten werden/ ſo verhalten ſie
ſich gegen einander wie die Vierungen ihrer Achſen oder Durch-
meſſer.

Beweiß.

Es ſeyen/ zum Exempel/ von einem Paraboliſchen Afterkegel zwey Stuͤkke
abgeſchnitten/ deren Achſen oder Durchmeſſer ſeyen K und L. Wann nun K
dem L gleich iſt/ ſo ſind auch ihre Vierungen gleich/ und iſt auch ein Abſchnitt dem
andern gleich/ d.i. beyderſeits einerley Verhaͤltnis. Wann aber K und L nicht
[Abbildung] gleich iſt/ ſo ſchneide man von der Achſe des
Afterkegels/ durch eine ſenkrechte Flaͤche/ ab
BH gleich dem L, und BD gleich dem K; ſo
werden/ vermoͤg des vorhergehenden XXV.
Lehrſatzes/ die ſenkrechte Abſchnitte EBF und
ABC, jeden zweyen andern Abſchnitten/ deren
Achſen L und K ſind/ gleich ſeyn. So man nun
in beyden vorigen Abſchnitten Kegel beſchrei-
bet/ deren Spitze B, die Grundſcheiben aber
AC und EF ſind/ ſo iſt die Verhaͤltnis des Ke-
gels ABC gegen dem Kegel EBF zuſammge-
ſetzet aus der Verhaͤltnis der Vierung AD gegen der Vierung HE, und der
Verhaͤltnis BD gegen BH, Laut des obigen XI. Lehrſatzes und des 2ten
im XII. d.i. (Krafft der I. Betr. 7. Folge in V) aus der Verhaͤltnis BD
gegen BH und der Verhaͤltnis wieder des BD gegen BH; alſo daß der Kegel
ABC gegen dem Kegel EBF eine gedoppelte Verhaͤltnis hat des BD gegen BH.
Eben aber ſolche gedoppelte Verhaͤltnis hat die Vierung BD gegen der Vierung
BH, Laut des 20ſten im VI. B. Verhaͤlt ſich demnach der Kegel ABC gegen
dem Kegel EBF, d.i. Krafft des XXIII. Lehrſatzes und des 15den im V. B.
ein Abſchnitt des Afterkegels gegen dem andern (deren Achſen BD und BH oder
K und L ſind) wie die Vierung BD gegen der Vierung BH, d.i. wie die Vie-
rung K gegen der Vierung L: Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkung.

Hieraus flieſſet/ weil alle Paraboliſche Afterkegel einander aͤhnlich ſind/ Laut obiger 5.
Worterklaͤrung/ daß auch unterſchiedlicher Paraboliſcher Afterkegel Abſchnitte/ wann ſie
gleiche Achſen oder Durchmeſſer haben/ einander gleich ſeyen; wann aber die Achſen ungleich
ſind/ ſich alſo gegen einander verhalten/ wie die Vierungen eben deroſelben Achſen oder
Durchmeſſer.

Der XXVII. Lehrſatz.

Eines jeden ſtumpfwinklichten (Hyperboliſchen) Afterkegels
Abſchnitt/ ſo von einer/ auf die Achſe ſenkrechten/ Flaͤche abge-
ſchnitten worden/ verhaͤlt ſich gegen dem jenigen Kegel/ welcher
mit beſagtem Abſchnitt einerley Grundflaͤche und Achſe hat/ wie

die

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[362/0390] Archimedes von denen Kegel- und Der XXVI. Lehrſatz. Wann von einem rechtwinklichten (paraboliſchen) Afterkegel zwey Stuͤkke nach Belieben abgeſchnitten werden/ ſo verhalten ſie ſich gegen einander wie die Vierungen ihrer Achſen oder Durch- meſſer. Beweiß. Es ſeyen/ zum Exempel/ von einem Paraboliſchen Afterkegel zwey Stuͤkke abgeſchnitten/ deren Achſen oder Durchmeſſer ſeyen K und L. Wann nun K dem L gleich iſt/ ſo ſind auch ihre Vierungen gleich/ und iſt auch ein Abſchnitt dem andern gleich/ d.i. beyderſeits einerley Verhaͤltnis. Wann aber K und L nicht [Abbildung] gleich iſt/ ſo ſchneide man von der Achſe des Afterkegels/ durch eine ſenkrechte Flaͤche/ ab BH gleich dem L, und BD gleich dem K; ſo werden/ vermoͤg des vorhergehenden XXV. Lehrſatzes/ die ſenkrechte Abſchnitte EBF und ABC, jeden zweyen andern Abſchnitten/ deren Achſen L und K ſind/ gleich ſeyn. So man nun in beyden vorigen Abſchnitten Kegel beſchrei- bet/ deren Spitze B, die Grundſcheiben aber AC und EF ſind/ ſo iſt die Verhaͤltnis des Ke- gels ABC gegen dem Kegel EBF zuſammge- ſetzet aus der Verhaͤltnis der Vierung AD gegen der Vierung HE, und der Verhaͤltnis BD gegen BH, Laut des obigen XI. Lehrſatzes und des 2ten im XII. d.i. (Krafft der I. Betr. 7. Folge in V) aus der Verhaͤltnis BD gegen BH und der Verhaͤltnis wieder des BD gegen BH; alſo daß der Kegel ABC gegen dem Kegel EBF eine gedoppelte Verhaͤltnis hat des BD gegen BH. Eben aber ſolche gedoppelte Verhaͤltnis hat die Vierung BD gegen der Vierung BH, Laut des 20ſten im VI. B. Verhaͤlt ſich demnach der Kegel ABC gegen dem Kegel EBF, d.i. Krafft des XXIII. Lehrſatzes und des 15den im V. B. ein Abſchnitt des Afterkegels gegen dem andern (deren Achſen BD und BH oder K und L ſind) wie die Vierung BD gegen der Vierung BH, d.i. wie die Vie- rung K gegen der Vierung L: Welches hat ſollen bewieſen werden. Anmerkung. Hieraus flieſſet/ weil alle Paraboliſche Afterkegel einander aͤhnlich ſind/ Laut obiger 5. Worterklaͤrung/ daß auch unterſchiedlicher Paraboliſcher Afterkegel Abſchnitte/ wann ſie gleiche Achſen oder Durchmeſſer haben/ einander gleich ſeyen; wann aber die Achſen ungleich ſind/ ſich alſo gegen einander verhalten/ wie die Vierungen eben deroſelben Achſen oder Durchmeſſer. Der XXVII. Lehrſatz. Eines jeden ſtumpfwinklichten (Hyperboliſchen) Afterkegels Abſchnitt/ ſo von einer/ auf die Achſe ſenkrechten/ Flaͤche abge- ſchnitten worden/ verhaͤlt ſich gegen dem jenigen Kegel/ welcher mit beſagtem Abſchnitt einerley Grundflaͤche und Achſe hat/ wie die

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Zitationshilfe:	Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 362. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/390>, abgerufen am 26.11.2024.

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