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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Archimedis Anderes Buch von derer Flächen
zehen BD und fünf BE; so verhalte sich eine andere genommene Lini GH
gegen AD:

[Abbildung]

Soll nun bewiesen werden/ daß beyde neu-angenommene Lineen FG und
GH zusammen/ d.i. die Lini FH zwey Fünfteihl von AB sey. Schliessen
demnach also:

I. Dieweilen AB, BC, BD, BE vier gleichverhaltende Lineen sind/
so werden auch ihre Reste/ mit welchem eine die andere übertrifft/ nehmlich
AC, CD und DE eben dieselbe Verhältnis gegen einander haben/ Krafft
folgender 2. Anmerkung. Verhält sich demnach/ wie AB gegen BC, also
AC gegen CD, und zusammgesetzet/ wie AB+BC gegen BC, also AC
sambt CD (d.i. AD) gegen CD; Es verhält sich aber auch ferner wie BC
gegen BD, also CD gegen DE: Derowegen auch gleichdurchgehend/ wie
AB+BC gegen BD, also AD gegen DE, nach dem 22sten des V. B. und
folgends/ Laut des 15den/ wie zwey AB sambt zwey BC gegen zwey BD,
also AD gegen DE. Auf gleiche Weise folget (weil wie BC gegen BD, also
AC gegen CD sich verhält/ und ferner wie BD gegen BE, also CD gegen
DE) daß/ wie BC sambt BD gegen BE, also AD gegen DE sich verhalte;
Woraus dann endlich folget/ daß auch/ wie BC sambt BD sich verhält ge-
gen BE, also zwey AB sambt zwey BC gegen zwey BD sich verhalte/ Krafft
des 11ten im V. und ferner/ nach dem 12ten des V. wie BC sambt BD ge-
gen BE (d. i. wie AD gegen DE) also zwey AB, drey BC und BD zusam-
men/ gegen zwey BD sambt BE.

II. Nun aber ist zwey AB sambt drey BC und BD weniger als zwey AB
sambt vier BC und vier BD und zwey BE; und derowegen hat diese leztere
Summ gegen zwey BD sambt BE eine grössere Verhältnis als jene/ d. i. als
AD gegen DE, vermög des 8ten im V. und folgends/ wie sich gemeldte letzere
Summ gegen zwey BD sambt BE verhält/ so muß AD sich verhalten gegen
einer kleinern als DE, welche wir indessen DO nennen wollen: also daß auch
umbgekehrt/ wie DO gegen AD, also 2BD sambt BE gegen besagter letzern
Summ von 2AB+4BC+4BD+2BE, sich verhalten muß; und zu-
sammgesetzet/ wie OA gegen AD, also 2AB+4BC+6BD+3BE
gegen 2AB+4BC+4BD+2BE.

III. Es ist aber ferner (Krafft obigen Satzes) verwirret/ wie AD ge-
gen GH, also 5AB+10BC+10BD+5BE gegen 2AB+4BC+
6BD+3BE. Derowegen ist auch gleichdurchgehend/ wie OA gegen GH,
also 5AB+10BC+10BD+5BE gegen 2AB+4BC+4BD+2BE,
vermög des 23sten im V. B. Nun verhalten sich diese beyde letztere gegen
einander wie 5 gegen 2. Derowegen verhält sich auch OA gegen GH wie
5 gegen 2.

IV. Wiederumb/ weil oben im II. Schluß erwiesen worden/ daß OD
gegen AD sich verhalte wie 2BD+BE gegen 2AB+4BC+4BD+2BE;
und ferner wie AD gegen DE, also verwirret/ 2AB+3BC+BD gegen
2BD+BE, vermög des I. Schlusses: so wird sich auch gleichdurchgehend

OD ge-

Archimedis Anderes Buch von derer Flaͤchen
zehen BD und fuͤnf BE; ſo verhalte ſich eine andere genommene Lini GH
gegen AD:

[Abbildung]

Soll nun bewieſen werden/ daß beyde neu-angenommene Lineen FG und
GH zuſammen/ d.i. die Lini FH zwey Fuͤnfteihl von AB ſey. Schlieſſen
demnach alſo:

I. Dieweilen AB, BC, BD, BE vier gleichverhaltende Lineen ſind/
ſo werden auch ihre Reſte/ mit welchem eine die andere uͤbertrifft/ nehmlich
AC, CD und DE eben dieſelbe Verhaͤltnis gegen einander haben/ Krafft
folgender 2. Anmerkung. Verhaͤlt ſich demnach/ wie AB gegen BC, alſo
AC gegen CD, und zuſammgeſetzet/ wie AB+BC gegen BC, alſo AC
ſambt CD (d.i. AD) gegen CD; Es verhaͤlt ſich aber auch ferner wie BC
gegen BD, alſo CD gegen DE: Derowegen auch gleichdurchgehend/ wie
AB+BC gegen BD, alſo AD gegen DE, nach dem 22ſten des V. B. und
folgends/ Laut des 15den/ wie zwey AB ſambt zwey BC gegen zwey BD,
alſo AD gegen DE. Auf gleiche Weiſe folget (weil wie BC gegen BD, alſo
AC gegen CD ſich verhaͤlt/ und ferner wie BD gegen BE, alſo CD gegen
DE) daß/ wie BC ſambt BD gegen BE, alſo AD gegen DE ſich verhalte;
Woraus dann endlich folget/ daß auch/ wie BC ſambt BD ſich verhaͤlt ge-
gen BE, alſo zwey AB ſambt zwey BC gegen zwey BD ſich verhalte/ Krafft
des 11ten im V. und ferner/ nach dem 12ten des V. wie BC ſambt BD ge-
gen BE (d. i. wie AD gegen DE) alſo zwey AB, drey BC und BD zuſam-
men/ gegen zwey BD ſambt BE.

II. Nun aber iſt zwey AB ſambt drey BC und BD weniger als zwey AB
ſambt vier BC und vier BD und zwey BE; und derowegen hat dieſe leztere
Summ gegen zwey BD ſambt BE eine groͤſſere Verhaͤltnis als jene/ d. i. als
AD gegen DE, vermoͤg des 8ten im V. und folgends/ wie ſich gemeldte letzere
Summ gegen zwey BD ſambt BE verhaͤlt/ ſo muß AD ſich verhalten gegen
einer kleinern als DE, welche wir indeſſen DO nennen wollen: alſo daß auch
umbgekehrt/ wie DO gegen AD, alſo 2BD ſambt BE gegen beſagter letzern
Summ von 2AB+4BC+4BD+2BE, ſich verhalten muß; und zu-
ſammgeſetzet/ wie OA gegen AD, alſo 2AB+4BC+6BD+3BE
gegen 2AB+4BC+4BD+2BE.

III. Es iſt aber ferner (Krafft obigen Satzes) verwirret/ wie AD ge-
gen GH, alſo 5AB+10BC+10BD+5BE gegen 2AB+4BC+
6BD+3BE. Derowegen iſt auch gleichdurchgehend/ wie OA gegen GH,
alſo 5AB+10BC+10BD+5BE gegen 2AB+4BC+4BD+2BE,
vermoͤg des 23ſten im V. B. Nun verhalten ſich dieſe beyde letztere gegen
einander wie 5 gegen 2. Derowegen verhaͤlt ſich auch OA gegen GH wie
5 gegen 2.

IV. Wiederumb/ weil oben im II. Schluß erwieſen worden/ daß OD
gegen AD ſich verhalte wie 2BD+BE gegen 2AB+4BC+4BD+2BE;
und ferner wie AD gegen DE, alſo verwirret/ 2AB+3BC+BD gegen
2BD+BE, vermoͤg des I. Schluſſes: ſo wird ſich auch gleichdurchgehend

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[274/0302] Archimedis Anderes Buch von derer Flaͤchen zehen BD und fuͤnf BE; ſo verhalte ſich eine andere genommene Lini GH gegen AD: [Abbildung] Soll nun bewieſen werden/ daß beyde neu-angenommene Lineen FG und GH zuſammen/ d.i. die Lini FH zwey Fuͤnfteihl von AB ſey. Schlieſſen demnach alſo: I. Dieweilen AB, BC, BD, BE vier gleichverhaltende Lineen ſind/ ſo werden auch ihre Reſte/ mit welchem eine die andere uͤbertrifft/ nehmlich AC, CD und DE eben dieſelbe Verhaͤltnis gegen einander haben/ Krafft folgender 2. Anmerkung. Verhaͤlt ſich demnach/ wie AB gegen BC, alſo AC gegen CD, und zuſammgeſetzet/ wie AB+BC gegen BC, alſo AC ſambt CD (d.i. AD) gegen CD; Es verhaͤlt ſich aber auch ferner wie BC gegen BD, alſo CD gegen DE: Derowegen auch gleichdurchgehend/ wie AB+BC gegen BD, alſo AD gegen DE, nach dem 22ſten des V. B. und folgends/ Laut des 15den/ wie zwey AB ſambt zwey BC gegen zwey BD, alſo AD gegen DE. Auf gleiche Weiſe folget (weil wie BC gegen BD, alſo AC gegen CD ſich verhaͤlt/ und ferner wie BD gegen BE, alſo CD gegen DE) daß/ wie BC ſambt BD gegen BE, alſo AD gegen DE ſich verhalte; Woraus dann endlich folget/ daß auch/ wie BC ſambt BD ſich verhaͤlt ge- gen BE, alſo zwey AB ſambt zwey BC gegen zwey BD ſich verhalte/ Krafft des 11ten im V. und ferner/ nach dem 12ten des V. wie BC ſambt BD ge- gen BE (d. i. wie AD gegen DE) alſo zwey AB, drey BC und BD zuſam- men/ gegen zwey BD ſambt BE. II. Nun aber iſt zwey AB ſambt drey BC und BD weniger als zwey AB ſambt vier BC und vier BD und zwey BE; und derowegen hat dieſe leztere Summ gegen zwey BD ſambt BE eine groͤſſere Verhaͤltnis als jene/ d. i. als AD gegen DE, vermoͤg des 8ten im V. und folgends/ wie ſich gemeldte letzere Summ gegen zwey BD ſambt BE verhaͤlt/ ſo muß AD ſich verhalten gegen einer kleinern als DE, welche wir indeſſen DO nennen wollen: alſo daß auch umbgekehrt/ wie DO gegen AD, alſo 2BD ſambt BE gegen beſagter letzern Summ von 2AB+4BC+4BD+2BE, ſich verhalten muß; und zu- ſammgeſetzet/ wie OA gegen AD, alſo 2AB+4BC+6BD+3BE gegen 2AB+4BC+4BD+2BE. III. Es iſt aber ferner (Krafft obigen Satzes) verwirret/ wie AD ge- gen GH, alſo 5AB+10BC+10BD+5BE gegen 2AB+4BC+ 6BD+3BE. Derowegen iſt auch gleichdurchgehend/ wie OA gegen GH, alſo 5AB+10BC+10BD+5BE gegen 2AB+4BC+4BD+2BE, vermoͤg des 23ſten im V. B. Nun verhalten ſich dieſe beyde letztere gegen einander wie 5 gegen 2. Derowegen verhaͤlt ſich auch OA gegen GH wie 5 gegen 2. IV. Wiederumb/ weil oben im II. Schluß erwieſen worden/ daß OD gegen AD ſich verhalte wie 2BD+BE gegen 2AB+4BC+4BD+2BE; und ferner wie AD gegen DE, alſo verwirret/ 2AB+3BC+BD gegen 2BD+BE, vermoͤg des I. Schluſſes: ſo wird ſich auch gleichdurchgehend OD ge-

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 274. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/302>, abgerufen am 22.11.2024.