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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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sage ich/ wann ed gezogen wird/ daß dieselbe ganz ausserhalb der Rundung falle/ das ist/ dieselbe
in d ber ühre/ und umbgewendet/ etc.

[Abbildung]

Dann es sey in eben derselben Lini ed, oder in ihrer Verlängerung
nach Belieben genommen der Punct f, und durch f gezogen eine gleich-
lauffende mit cd, welche besagten Durchmesser ig betreffe in h, die
Rundung aber in k (dann wann sie die Rundung nicht beträffe/ müste
f nohtwendig und augenscheinlich ausser derselben seyn.) Darnach
werde umb ig, als eine Achse/ und vermittelst des Mitmessers ib, in
Gedanken beschrieben eine andere ablange Rundung gl, und aus c und
h auf eben dieselbe Achse ordentlich-gezogen cl, hm, welche die krumme
Lini in l und m betreffen: Letzlichen ziehe man el (welche/ Krafft obigen
Beweises/ die Rundung in l berühren/ und/ verlängert/ der verlänger-
ten hm in n begegnen/ wird.

Dieweil nun die Vierung dc gegen dem Rechtekk gci sich ver-
hält wie die Vierung lc gegen eben demselben Rechtekk gci (nehmlich
beyderseits wie der Mitmesser ib gegen dem Durchmesser oder der
Achse ig, vermög obiger XII. Betr. und des 20sten im VI.) so
müssen (Krafft des 9ten im V.) die Vierungen dc und lc, und also
auch die Lineen dc, lc, einander gleich seyn. Auf gleiche Weise wird
bewiesen/ daß kh und hm einander gleich seyen. Nun aber/ weil cd
gegen hf sich verhält wie cl gegen hn (beyderseits nehmlich wie ec
gegen eh, vermög des 4ten im VI.) so werden auch (Laut des 14den im V.) hf und hn
gleich seyn. Es ist aber hn grösser als hm, weil eln eine Berührende ist; derowegen muß auch
hf grösser als hk, und folgendsder/ in der Lini edf nach Belieben genommene/ Punct f, das ist/
die ganze Lini edf, ausser der Rundung seyn/ oder (welches gleich viel ist) dieselbe im Punct d be-
rühren. Und weil/ ausser edf, keine andere gerade Lini die Rundung in besagtem Punct berühren
kan/ vermög obiger XV. Betrachtung; so ist auch umbgekehrt offenbar: Wann ed die Run-
dung gd in d berühret/ und dem Durchmesser gi in e begegnet/ auch auf bemeldten Durchmesser/
dc ordentlich-gezogen wird; daß alsdann das Rechtekk cae der Vierung ag gleich sey.

Folge.

Aus besagtem ist klar/ wie man aus einem jeden gegebenen Punct eine gerade Lini ziehen
solle/ welche eine ablange Rundung berühre.

Dann wann der Punct in der krummen Lini selbsten gegeben ist/ als in d, so ist schon oben (in
der Folge der Andern Aufgab) gewiesen worden/ welcher gestalt durch besagten Punct eine Be-
rührende solle gezogen werden. Jedoch kan solches/ nach gegenwärtiger Betrachtung auch also
verrichtet werden: Aus d ziehe man auf den Durchmesser gi ordentlich die Lini dc, nach der
XIV. Betr. 2ter Folge; mache so dann das Rechtekk cae gleich der Vierung des Halbmessers
ag, und ziehe ed.

Wann aber der Punct ausser der Rundung/ als in e, gegeben ist/ so ziehe man aus dem Mit-
telpunct a (welchen man findet nach Anleitung der XIV. Betr. 2ter Folge) die Lini ea, welche die
Rundung durchschneidet in e; machet so dann der Vierung ag gleich das Rechtekk eac, und zie-
het aus c auf ag ordentlich die Lini cd, nehmlich gleichlauffend mit der jenigen/ welche die Run-
dung in g berührete/ nach der XIII. Betr. 4ter Folge; So man nun endlich ed ziehet/ wird
solche (Krafft obigen Beweises) die begehrte Berührende seyn.

Daß aber aus einem/ innerhalb der Rundung gegebenen Punct keine Berührende könne ge-
zogen werden/ ist handgreiflich und für Augen.

Und also sind kürzlich/ durch einen leichten und meist-natürlichen Weg/
ohne einiger Cörper Durchschnitt oder Betrachtung/ die meisten und fürnehm-
sten Eigenschafften derer jenigen krummen Lineen bewiesen/ welche die Alten
Kegelschnitte (Coni-sectiones) oder Kegel-Lineen genennet haben. Was noch
übrig/ und sonderlich in folgenden Büchern nöhtig/ ist/ werden wir aus diesen
Gründen bey jeder fürfallender Gelegenheit leichtlich herleiten können. Wol-
len aber den gönstigen Leser dieses einige noch erinnern/ daß ins künftig/ in An-
ziehung dieser Betrachtungen und ihrer anhängenden Folgen/ diese ganze Vor-
rede mit dem einigen Buchstaben V solle bedeutet werden.

Archi-

ſage ich/ wann ed gezogen wird/ daß dieſelbe ganz auſſerhalb der Rundung falle/ das iſt/ dieſelbe
in d ber uͤhre/ und umbgewendet/ ꝛc.

[Abbildung]

Dann es ſey in eben derſelben Lini ed, oder in ihrer Verlaͤngerung
nach Belieben genommen der Punct f, und durch f gezogen eine gleich-
lauffende mit cd, welche beſagten Durchmeſſer ig betreffe in h, die
Rundung aber in k (dann wann ſie die Rundung nicht betraͤffe/ muͤſte
f nohtwendig und augenſcheinlich auſſer derſelben ſeyn.) Darnach
werde umb ig, als eine Achſe/ und vermittelſt des Mitmeſſers ib, in
Gedanken beſchrieben eine andere ablange Rundung gl, und aus c und
h auf eben dieſelbe Achſe ordentlich-gezogen cl, hm, welche die krumme
Lini in l und m betreffen: Letzlichen ziehe man el (welche/ Krafft obigen
Beweiſes/ die Rundung in l beruͤhren/ und/ verlaͤngert/ der verlaͤnger-
ten hm in n begegnen/ wird.

Dieweil nun die Vierung dc gegen dem Rechtekk gci ſich ver-
haͤlt wie die Vierung lc gegen eben demſelben Rechtekk gci (nehmlich
beyderſeits wie der Mitmeſſer ib gegen dem Durchmeſſer oder der
Achſe ig, vermoͤg obiger XII. Betr. und des 20ſten im VI.) ſo
muͤſſen (Krafft des 9ten im V.) die Vierungen dc und lc, und alſo
auch die Lineen dc, lc, einander gleich ſeyn. Auf gleiche Weiſe wird
bewieſen/ daß kh und hm einander gleich ſeyen. Nun aber/ weil cd
gegen hf ſich verhaͤlt wie cl gegen hn (beyderſeits nehmlich wie ec
gegen eh, vermoͤg des 4ten im VI.) ſo werden auch (Laut des 14den im V.) hf und hn
gleich ſeyn. Es iſt aber hn groͤſſer als hm, weil eln eine Beruͤhrende iſt; derowegen muß auch
hf groͤſſer als hk, und folgendsder/ in der Lini edf nach Belieben genommene/ Punct f, das iſt/
die ganze Lini edf, auſſer der Rundung ſeyn/ oder (welches gleich viel iſt) dieſelbe im Punct d be-
ruͤhren. Und weil/ auſſer edf, keine andere gerade Lini die Rundung in beſagtem Punct beruͤhren
kan/ vermoͤg obiger XV. Betrachtung; ſo iſt auch umbgekehrt offenbar: Wann ed die Run-
dung gd in d beruͤhret/ und dem Durchmeſſer gi in e begegnet/ auch auf bemeldten Durchmeſſer/
dc ordentlich-gezogen wird; daß alsdann das Rechtekk cae der Vierung ag gleich ſey.

Folge.

Aus beſagtem iſt klar/ wie man aus einem jeden gegebenen Punct eine gerade Lini ziehen
ſolle/ welche eine ablange Rundung beruͤhre.

Dann wann der Punct in der krummen Lini ſelbſten gegeben iſt/ als in d, ſo iſt ſchon oben (in
der Folge der Andern Aufgab) gewieſen worden/ welcher geſtalt durch beſagten Punct eine Be-
ruͤhrende ſolle gezogen werden. Jedoch kan ſolches/ nach gegenwaͤrtiger Betrachtung auch alſo
verrichtet werden: Aus d ziehe man auf den Durchmeſſer gi ordentlich die Lini dc, nach der
XIV. Betr. 2ter Folge; mache ſo dann das Rechtekk cae gleich der Vierung des Halbmeſſers
ag, und ziehe ed.

Wann aber der Punct auſſer der Rundung/ als in e, gegeben iſt/ ſo ziehe man aus dem Mit-
telpunct a (welchen man findet nach Anleitung der XIV. Betr. 2ter Folge) die Lini ea, welche die
Rundung durchſchneidet in e; machet ſo dann der Vierung ag gleich das Rechtekk eac, und zie-
het aus c auf ag ordentlich die Lini cd, nehmlich gleichlauffend mit der jenigen/ welche die Run-
dung in g beruͤhrete/ nach der XIII. Betr. 4ter Folge; So man nun endlich ed ziehet/ wird
ſolche (Krafft obigen Beweiſes) die begehrte Beruͤhrende ſeyn.

Daß aber aus einem/ innerhalb der Rundung gegebenen Punct keine Beruͤhrende koͤnne ge-
zogen werden/ iſt handgreiflich und fuͤr Augen.

Und alſo ſind kuͤrzlich/ durch einen leichten und meiſt-natuͤrlichen Weg/
ohne einiger Coͤrper Durchſchnitt oder Betrachtung/ die meiſten und fuͤrnehm-
ſten Eigenſchafften derer jenigen krummen Lineen bewieſen/ welche die Alten
Kegelſchnitte (Coni-ſectiones) oder Kegel-Lineen genennet haben. Was noch
uͤbrig/ und ſonderlich in folgenden Buͤchern noͤhtig/ iſt/ werden wir aus dieſen
Gruͤnden bey jeder fuͤrfallender Gelegenheit leichtlich herleiten koͤnnen. Wol-
len aber den goͤnſtigen Leſer dieſes einige noch erinnern/ daß ins kuͤnftig/ in An-
ziehung dieſer Betrachtungen und ihrer anhaͤngenden Folgen/ dieſe ganze Vor-
rede mit dem einigen Buchſtaben V ſolle bedeutet werden.

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[226/0254] ſage ich/ wann ed gezogen wird/ daß dieſelbe ganz auſſerhalb der Rundung falle/ das iſt/ dieſelbe in d ber uͤhre/ und umbgewendet/ ꝛc. [Abbildung] Dann es ſey in eben derſelben Lini ed, oder in ihrer Verlaͤngerung nach Belieben genommen der Punct f, und durch f gezogen eine gleich- lauffende mit cd, welche beſagten Durchmeſſer ig betreffe in h, die Rundung aber in k (dann wann ſie die Rundung nicht betraͤffe/ muͤſte f nohtwendig und augenſcheinlich auſſer derſelben ſeyn.) Darnach werde umb ig, als eine Achſe/ und vermittelſt des Mitmeſſers ib, in Gedanken beſchrieben eine andere ablange Rundung gl, und aus c und h auf eben dieſelbe Achſe ordentlich-gezogen cl, hm, welche die krumme Lini in l und m betreffen: Letzlichen ziehe man el (welche/ Krafft obigen Beweiſes/ die Rundung in l beruͤhren/ und/ verlaͤngert/ der verlaͤnger- ten hm in n begegnen/ wird. Dieweil nun die Vierung dc gegen dem Rechtekk gci ſich ver- haͤlt wie die Vierung lc gegen eben demſelben Rechtekk gci (nehmlich beyderſeits wie der Mitmeſſer ib gegen dem Durchmeſſer oder der Achſe ig, vermoͤg obiger XII. Betr. und des 20ſten im VI.) ſo muͤſſen (Krafft des 9ten im V.) die Vierungen dc und lc, und alſo auch die Lineen dc, lc, einander gleich ſeyn. Auf gleiche Weiſe wird bewieſen/ daß kh und hm einander gleich ſeyen. Nun aber/ weil cd gegen hf ſich verhaͤlt wie cl gegen hn (beyderſeits nehmlich wie ec gegen eh, vermoͤg des 4ten im VI.) ſo werden auch (Laut des 14den im V.) hf und hn gleich ſeyn. Es iſt aber hn groͤſſer als hm, weil eln eine Beruͤhrende iſt; derowegen muß auch hf groͤſſer als hk, und folgendsder/ in der Lini edf nach Belieben genommene/ Punct f, das iſt/ die ganze Lini edf, auſſer der Rundung ſeyn/ oder (welches gleich viel iſt) dieſelbe im Punct d be- ruͤhren. Und weil/ auſſer edf, keine andere gerade Lini die Rundung in beſagtem Punct beruͤhren kan/ vermoͤg obiger XV. Betrachtung; ſo iſt auch umbgekehrt offenbar: Wann ed die Run- dung gd in d beruͤhret/ und dem Durchmeſſer gi in e begegnet/ auch auf bemeldten Durchmeſſer/ dc ordentlich-gezogen wird; daß alsdann das Rechtekk cae der Vierung ag gleich ſey. Folge. Aus beſagtem iſt klar/ wie man aus einem jeden gegebenen Punct eine gerade Lini ziehen ſolle/ welche eine ablange Rundung beruͤhre. Dann wann der Punct in der krummen Lini ſelbſten gegeben iſt/ als in d, ſo iſt ſchon oben (in der Folge der Andern Aufgab) gewieſen worden/ welcher geſtalt durch beſagten Punct eine Be- ruͤhrende ſolle gezogen werden. Jedoch kan ſolches/ nach gegenwaͤrtiger Betrachtung auch alſo verrichtet werden: Aus d ziehe man auf den Durchmeſſer gi ordentlich die Lini dc, nach der XIV. Betr. 2ter Folge; mache ſo dann das Rechtekk cae gleich der Vierung des Halbmeſſers ag, und ziehe ed. Wann aber der Punct auſſer der Rundung/ als in e, gegeben iſt/ ſo ziehe man aus dem Mit- telpunct a (welchen man findet nach Anleitung der XIV. Betr. 2ter Folge) die Lini ea, welche die Rundung durchſchneidet in e; machet ſo dann der Vierung ag gleich das Rechtekk eac, und zie- het aus c auf ag ordentlich die Lini cd, nehmlich gleichlauffend mit der jenigen/ welche die Run- dung in g beruͤhrete/ nach der XIII. Betr. 4ter Folge; So man nun endlich ed ziehet/ wird ſolche (Krafft obigen Beweiſes) die begehrte Beruͤhrende ſeyn. Daß aber aus einem/ innerhalb der Rundung gegebenen Punct keine Beruͤhrende koͤnne ge- zogen werden/ iſt handgreiflich und fuͤr Augen. Und alſo ſind kuͤrzlich/ durch einen leichten und meiſt-natuͤrlichen Weg/ ohne einiger Coͤrper Durchſchnitt oder Betrachtung/ die meiſten und fuͤrnehm- ſten Eigenſchafften derer jenigen krummen Lineen bewieſen/ welche die Alten Kegelſchnitte (Coni-ſectiones) oder Kegel-Lineen genennet haben. Was noch uͤbrig/ und ſonderlich in folgenden Buͤchern noͤhtig/ iſt/ werden wir aus dieſen Gruͤnden bey jeder fuͤrfallender Gelegenheit leichtlich herleiten koͤnnen. Wol- len aber den goͤnſtigen Leſer dieſes einige noch erinnern/ daß ins kuͤnftig/ in An- ziehung dieſer Betrachtungen und ihrer anhaͤngenden Folgen/ dieſe ganze Vor- rede mit dem einigen Buchſtaben V ſolle bedeutet werden. Archi-

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 226. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/254>, abgerufen am 27.11.2024.