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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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beyden/ vom Mittelpunct auf die Berührende und Ordentlich-gezogene
reichender/ Teihlen solches andern Durchmessers/ gleich der Vierung des
halben andern Durchmessers.

Beweiß.

Es werde eine Hyperbel kc (deren unberührende Lineen sind ad, af) in einem beliebi-
gen Punct c berühret von einer geraden Lini fcq, welche auf den/ nach Belieben gezogenen/
[Abbildung] andern Durchmesser ab stosse in q: So sag ich
nun/ wann aus c auf eben diesen Durchmesser or-
dentlich-gezogen werde die Lini cb, und aus a ei-
ne mit cb gleichlauffende akh, welche die Be-
rührende fcq in i, die Hyperbel aber in k durch-
schneidet/ und endlich durch k eine gleichlauffende
mit ab, nehmlich dkg (also daß/ vermög der
VII. Betr. akh des andern Durchmessers ab
Creutzmesser wird/ und die Grösse des halben an-
dern Durchmessers ist dk oder kg;) daß alsdann
das Rechtekk baq gleich sey der Vierung von
dk oder kg.

Dann/ so man durch c, mit dem andem
Durchmesser ab gleichlauffend/ und also auf den
eingefangenen Durchmesser akh ordentlich/ ziehet die Lini tcm, welche die Hyperbel in c,
den Durchmesser ah in h, und die Unberührende af in m betreffe; so verhält sich (Krafft
vorhergehender X. Betrachtung und des 20sten im VI.) die Vierung ha gegen der Vie-
rung ka, oder (Laut des 4ten und 22sten im VI.) die Vierung hm gegen der Vie-
rung kg, das ist (Krafft der VI. Betrachtung 1. Folge) gegen dem Rechtekk tmc,
wie ha oder cb gegen ia, das ist (vermög des 4ten im VI.) wie bq gegen aq: Dero-
wegen wird auch zerteihlet/ die Vierung von hc oder ba gegen der Vierung kg sich verhal-
ten/ wie ba gegen aq, und müssen also (Krafft des 20sten im VI. B.) die drey Lineen
ba, kg, und aq fortgesetzt-gleichverhaltend/ und folgends (nach dem 17den des VI.) das
Rechtekk aus ba in aq, und die Vierung von kg einander gleich seyn. Welches hat sollen
bewiesen werden.

Folge beyder vorhergehender Betrachtungen.

Aus besagtem ist leichtlich zu ersehen/ welcher gestalt aus einem jeden gegebenen Punct
eine Lini solle gezogen werden/ welche die gegebene Hyperbel berühre.

Dann/ wann der gegebene Punct in der Hyperbolischen Lini selbsten ist/ wie k, und man
(nach der IX. Betrachtung 1ster Folge) die unberührende Lineen gefunden/ und auf eine
deroselben die Lini kp, gleichlauffend mit der andern/ ziehet/ und endlich pg machet gleich
ap, so berühret die Lini gkd (Krafft obiger VI. Betr.) die Hyperbel in k, weil/ wie gp
dem pa, also (nach dem 2ten des VI.) gk dem kd gleich ist.

Gleicher weise/ wann der gegebene Punct in einer von denen unberührenden Lineen/ als
in g, ist/ und man ag halbteihlet in p, aus p ferner eine/ mit der andern Unberührenden gleich-
lauffende/ Lini pk, und endlich gkd ziehet/ so wird eben diese die begehrte Berührende seyn.

Es sey darnach ein Punct gegeben innerhalb des/ von beyden Unberührenden begriffenen/
Winkels/ als in i. So man nun aus dem Mittelpunct (welchen man nach der V. Betrach-
tung 7den Folge finden kan) durch i einen Durchmesser aih ziehet/ welcher die krumme
Lini in k betreffe, so dann zu ai und und ak die dritte gleichverhaltende ah findet/ durch h fer-
ner eine Lini hc ordentlich-ziehet/ welche die krumme Lini in c betrifft/ so wird die aus i durch
c gezogene/ icf, die begehrte Berührende seyn/ Krafft obiger zehenden Betrachtung.

Endlich sey der gegebene Punct in einem Neben-Winkel (angulo deinceps) des/ von
beyden Unberührenden begriffenen/ Winkels/ als in q. So man nun aus q durch den Mittel-
punct a ziehet einen andern Durchmesser qab, wie auch desselben Creutzenden Quehrmesser
akh (welcher nehmlich jede/ innerhalb der Hyperbel mit qab gleichlauffende Lini halbteih-
let) so dann auch die Berührende/ und auf einer Unberührenden geendigte/ kg oder kd; end-
lich der Vierung von kg oder kd gleich machet das Rechtekk qab, und durch b die Lini bc,
auf den andern Durchmesser ordentlich/ das ist/ mit ak gleichlauffend/ ziehet/ welche also die

krum-

beyden/ vom Mittelpunct auf die Beruͤhrende und Ordentlich-gezogene
reichender/ Teihlen ſolches andern Durchmeſſers/ gleich der Vierung des
halben andern Durchmeſſers.

Beweiß.

Es werde eine Hyperbel kc (deren unberuͤhrende Lineen ſind ad, af) in einem beliebi-
gen Punct c beruͤhret von einer geraden Lini fcq, welche auf den/ nach Belieben gezogenen/
[Abbildung] andern Durchmeſſer ab ſtoſſe in q: So ſag ich
nun/ wann aus c auf eben dieſen Durchmeſſer or-
dentlich-gezogen werde die Lini cb, und aus a ei-
ne mit cb gleichlauffende akh, welche die Be-
ruͤhrende fcq in i, die Hyperbel aber in k durch-
ſchneidet/ und endlich durch k eine gleichlauffende
mit ab, nehmlich dkg (alſo daß/ vermoͤg der
VII. Betr. akh des andern Durchmeſſers ab
Creutzmeſſer wird/ und die Groͤſſe des halben an-
dern Durchmeſſers iſt dk oder kg;) daß alsdann
das Rechtekk baq gleich ſey der Vierung von
dk oder kg.

Dann/ ſo man durch c, mit dem andem
Durchmeſſer ab gleichlauffend/ und alſo auf den
eingefangenen Durchmeſſer akh ordentlich/ ziehet die Lini tcm, welche die Hyperbel in c,
den Durchmeſſer ah in h, und die Unberuͤhrende af in m betreffe; ſo verhaͤlt ſich (Krafft
vorhergehender X. Betrachtung und des 20ſten im VI.) die Vierung ha gegen der Vie-
rung ka, oder (Laut des 4ten und 22ſten im VI.) die Vierung hm gegen der Vie-
rung kg, das iſt (Krafft der VI. Betrachtung 1. Folge) gegen dem Rechtekk tmc,
wie ha oder cb gegen ia, das iſt (vermoͤg des 4ten im VI.) wie bq gegen aq: Dero-
wegen wird auch zerteihlet/ die Vierung von hc oder ba gegen der Vierung kg ſich verhal-
ten/ wie ba gegen aq, und muͤſſen alſo (Krafft des 20ſten im VI. B.) die drey Lineen
ba, kg, und aq fortgeſetzt-gleichverhaltend/ und folgends (nach dem 17den des VI.) das
Rechtekk aus ba in aq, und die Vierung von kg einander gleich ſeyn. Welches hat ſollen
bewieſen werden.

Folge beyder vorhergehender Betrachtungen.

Aus beſagtem iſt leichtlich zu erſehen/ welcher geſtalt aus einem jeden gegebenen Punct
eine Lini ſolle gezogen werden/ welche die gegebene Hyperbel beruͤhre.

Dann/ wann der gegebene Punct in der Hyperboliſchen Lini ſelbſten iſt/ wie k, und man
(nach der IX. Betrachtung 1ſter Folge) die unberuͤhrende Lineen gefunden/ und auf eine
deroſelben die Lini kp, gleichlauffend mit der andern/ ziehet/ und endlich pg machet gleich
ap, ſo beruͤhret die Lini gkd (Krafft obiger VI. Betr.) die Hyperbel in k, weil/ wie gp
dem pa, alſo (nach dem 2ten des VI.) gk dem kd gleich iſt.

Gleicher weiſe/ wann der gegebene Punct in einer von denen unberuͤhrenden Lineen/ als
in g, iſt/ und man ag halbteihlet in p, aus p ferner eine/ mit der andern Unberuͤhrenden gleich-
lauffende/ Lini pk, und endlich gkd ziehet/ ſo wird eben dieſe die begehrte Beruͤhrende ſeyn.

Es ſey darnach ein Punct gegeben innerhalb des/ von beyden Unberuͤhrenden begriffenen/
Winkels/ als in i. So man nun aus dem Mittelpunct (welchen man nach der V. Betrach-
tung 7den Folge finden kan) durch i einen Durchmeſſer aih ziehet/ welcher die krumme
Lini in k betreffe, ſo dann zu ai und und ak die dritte gleichverhaltende ah findet/ durch h fer-
ner eine Lini hc ordentlich-ziehet/ welche die krumme Lini in c betrifft/ ſo wird die aus i durch
c gezogene/ icf, die begehrte Beruͤhrende ſeyn/ Krafft obiger zehenden Betrachtung.

Endlich ſey der gegebene Punct in einem Neben-Winkel (angulo deinceps) des/ von
beyden Unberuͤhrenden begriffenen/ Winkels/ als in q. So man nun aus q durch den Mittel-
punct a ziehet einen andern Durchmeſſer qab, wie auch deſſelben Creutzenden Quehrmeſſer
akh (welcher nehmlich jede/ innerhalb der Hyperbel mit qab gleichlauffende Lini halbteih-
let) ſo dann auch die Beruͤhrende/ und auf einer Unberuͤhrenden geendigte/ kg oder kd; end-
lich der Vierung von kg oder kd gleich machet das Rechtekk qab, und durch b die Lini bc,
auf den andern Durchmeſſer ordentlich/ das iſt/ mit ak gleichlauffend/ ziehet/ welche alſo die

krum-
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[214/0242] beyden/ vom Mittelpunct auf die Beruͤhrende und Ordentlich-gezogene reichender/ Teihlen ſolches andern Durchmeſſers/ gleich der Vierung des halben andern Durchmeſſers. Beweiß. Es werde eine Hyperbel kc (deren unberuͤhrende Lineen ſind ad, af) in einem beliebi- gen Punct c beruͤhret von einer geraden Lini fcq, welche auf den/ nach Belieben gezogenen/ [Abbildung] andern Durchmeſſer ab ſtoſſe in q: So ſag ich nun/ wann aus c auf eben dieſen Durchmeſſer or- dentlich-gezogen werde die Lini cb, und aus a ei- ne mit cb gleichlauffende akh, welche die Be- ruͤhrende fcq in i, die Hyperbel aber in k durch- ſchneidet/ und endlich durch k eine gleichlauffende mit ab, nehmlich dkg (alſo daß/ vermoͤg der VII. Betr. akh des andern Durchmeſſers ab Creutzmeſſer wird/ und die Groͤſſe des halben an- dern Durchmeſſers iſt dk oder kg;) daß alsdann das Rechtekk baq gleich ſey der Vierung von dk oder kg. Dann/ ſo man durch c, mit dem andem Durchmeſſer ab gleichlauffend/ und alſo auf den eingefangenen Durchmeſſer akh ordentlich/ ziehet die Lini tcm, welche die Hyperbel in c, den Durchmeſſer ah in h, und die Unberuͤhrende af in m betreffe; ſo verhaͤlt ſich (Krafft vorhergehender X. Betrachtung und des 20ſten im VI.) die Vierung ha gegen der Vie- rung ka, oder (Laut des 4ten und 22ſten im VI.) die Vierung hm gegen der Vie- rung kg, das iſt (Krafft der VI. Betrachtung 1. Folge) gegen dem Rechtekk tmc, wie ha oder cb gegen ia, das iſt (vermoͤg des 4ten im VI.) wie bq gegen aq: Dero- wegen wird auch zerteihlet/ die Vierung von hc oder ba gegen der Vierung kg ſich verhal- ten/ wie ba gegen aq, und muͤſſen alſo (Krafft des 20ſten im VI. B.) die drey Lineen ba, kg, und aq fortgeſetzt-gleichverhaltend/ und folgends (nach dem 17den des VI.) das Rechtekk aus ba in aq, und die Vierung von kg einander gleich ſeyn. Welches hat ſollen bewieſen werden. Folge beyder vorhergehender Betrachtungen. Aus beſagtem iſt leichtlich zu erſehen/ welcher geſtalt aus einem jeden gegebenen Punct eine Lini ſolle gezogen werden/ welche die gegebene Hyperbel beruͤhre. Dann/ wann der gegebene Punct in der Hyperboliſchen Lini ſelbſten iſt/ wie k, und man (nach der IX. Betrachtung 1ſter Folge) die unberuͤhrende Lineen gefunden/ und auf eine deroſelben die Lini kp, gleichlauffend mit der andern/ ziehet/ und endlich pg machet gleich ap, ſo beruͤhret die Lini gkd (Krafft obiger VI. Betr.) die Hyperbel in k, weil/ wie gp dem pa, alſo (nach dem 2ten des VI.) gk dem kd gleich iſt. Gleicher weiſe/ wann der gegebene Punct in einer von denen unberuͤhrenden Lineen/ als in g, iſt/ und man ag halbteihlet in p, aus p ferner eine/ mit der andern Unberuͤhrenden gleich- lauffende/ Lini pk, und endlich gkd ziehet/ ſo wird eben dieſe die begehrte Beruͤhrende ſeyn. Es ſey darnach ein Punct gegeben innerhalb des/ von beyden Unberuͤhrenden begriffenen/ Winkels/ als in i. So man nun aus dem Mittelpunct (welchen man nach der V. Betrach- tung 7den Folge finden kan) durch i einen Durchmeſſer aih ziehet/ welcher die krumme Lini in k betreffe, ſo dann zu ai und und ak die dritte gleichverhaltende ah findet/ durch h fer- ner eine Lini hc ordentlich-ziehet/ welche die krumme Lini in c betrifft/ ſo wird die aus i durch c gezogene/ icf, die begehrte Beruͤhrende ſeyn/ Krafft obiger zehenden Betrachtung. Endlich ſey der gegebene Punct in einem Neben-Winkel (angulo deinceps) des/ von beyden Unberuͤhrenden begriffenen/ Winkels/ als in q. So man nun aus q durch den Mittel- punct a ziehet einen andern Durchmeſſer qab, wie auch deſſelben Creutzenden Quehrmeſſer akh (welcher nehmlich jede/ innerhalb der Hyperbel mit qab gleichlauffende Lini halbteih- let) ſo dann auch die Beruͤhrende/ und auf einer Unberuͤhrenden geendigte/ kg oder kd; end- lich der Vierung von kg oder kd gleich machet das Rechtekk qab, und durch b die Lini bc, auf den andern Durchmeſſer ordentlich/ das iſt/ mit ak gleichlauffend/ ziehet/ welche alſo die krum-

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 214. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/242>, abgerufen am 27.11.2024.