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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Scheiben-Messung.
der Anmerkung obiger 3. Aufgab. So man nun den Jnnhalt des Kegels AEC (weil nicht allein die Höhe/
sondern auch der Halbmesser seiner Grundscheibe AF bekannt ist) durch Beyhülf derer vorigen Aufgaben auch
berechnet/ und von dem vorigen abziehet/ muß der Jnnhalt des Kugelstükkes AFCBA nohtwendig überblei-
ben. Dieser ferner von dem (nach der 5. Aufgab gefundenen) Jnnhalt der ganzen Kugel abgezogen/ ma-
chet auch bekannt die Cörperliche Grösse des grössern Kugelstükkes.

Eine andere Auflösung ohne die bekante Fläche des Kugelstükkes.

Finde zu förderst den Jnnhalt der Grundscheibe des Kugelstükkes AFC aus dem bekannten/ oder nach vo-
riger Aufgab gefundenen/ Halbmesser AF, nach Anleitung der 1. und 3. Aufgab. Suche nachmals eine
Lini/ welche gegen der Höhe des fürhabenden Kugelstükkes sich eben so verhält/ wie der Kugel Halbmesser sambt
der Höhe des andern Kugelstükkes gegen eben dieser Höhe des andern Kugelstükkes. Alsdann vervielfältige den
Jnnhalt der Grundscheibe mit dem dritten Teihl solcher gefundenen Lini/ so wird der Jnnhalt des fürhabenden
Kugelstükkes heraus kommen. Den Beweiß kan der verständige Leser aus dem II. Lehrsatz des II. B. von
der Kugel und Rund-Säule und unserer Anmerkung bey der vorhergehenden 3. Aufgab/ selbsten ohne einige
Mühe herhohlen und verfertigen.

Folge.

Aus der ersten Auflösung erhellet/ daß eines jedwedern Kugelteihles/ dessen Spitze den Mittelpunct berüh-
ret/ oder (wie wir es Anfangs genennet) jedwedern keglichten Kugelstükkes (als AECBA) wie auch des
übrigen einwarts-hohlen/ AECDA. Cörperlicher Jnnhalt eben so gefunden werde/ wie der Jnnhalt einer
ganzen Kugel/ nehmlich durch Vervielfältigung ihrer äussern Kugelfläche mit dem dritten Teihl des Halbmessers.

Die 8. Aufgab.

Aus der bekanten Höhe oder Seite einer aufrechten Rund-Säule und dem Durchmes-
ser ihrer Grundscheibe/ deroselben äussere Fläche/ ohne die Grund und Dekkelscheibe/
wissend machen.

Auflösung.

Suche zwischen der bekannten Seite und dem Durchmesser eine mittlere gleichverhaltende; und erfor-
sche so dann (nach obiger 1. und 3. Aufgab) den Jnnhalt der Scheibe/ deren Halbmesser solche mitt-
lere gleichverhaltende ist; so wirst du (vermög des XIII. im I. B. von der Kugel und Rund-Säule)
die äussere Fläche der Rund-Säule ohne die Grund- und Dekkelscheibe/ gefunden haben.

Folge.

So man nun vermittelst des bekannten Durchmessers auch die Grundscheibe ausrechnet/ und deroselben
Jnnhalt zweymal zu der vorigen Summa setzet/ kommt die ganze äussere Fläche der Rundsäule vollkommen heraus.

Die 9. Aufgab.

Aus der bekanten Seiten eines gleichseitigen Kegels/ und dem Halbmesser seiner
Grundscheibe/ dessen äussere Fläche/ ohne die Grundscheibe/ erlernen.

Auflösung.

Diese ist der vorigen ganz ähnlich/ nur daß hier von dem Halbmesser/ dort aber von dem ganzen Durchmesser
geredet wird. Nehmlich zwischen der bekannten Seite und dem gegebenen Halbmesser muß man die mittlere
gleichverhaltende suchen/ und deroselben (als eines Halbmessers) ihre Scheibenfläche ausrechnen/ so ist dem
Begehren ein Genügen geschehen; vermög des XIV. Lehrsatzes im I. B. von der Kugel und Rundsäule.

Anderst.

Finde zu förderst den Jnnhalt der Grundscheibe aus dem gegebenen Halbmesser/ nach obiger 1. und 3.
Aufgab. Darnach mache/ wie der Halbmesser gegen der bekannten Seiten/ also der Grundscheiben Jnnhalt
gegen einem vierdten/ so wird dieses vierdte der begehrte Jnnhalt der Kegelfläche seyn. Der Grund ist klärlich
genug enthalten in dem XV. Lehrsatz des I. B. von der Kugel und Rund-Säule.

Die 10. Aufgab.

Wann die Kegelflache dergestalt gefunden worden/ alsdann ferner/ vermittelst des-
selben/ des Kegels Cörperlichen Jnnhalt ausrechnen.

Auflösung.

Die gemeine Art/ eines Kegels Jnnhalt zu finden/ haben wir oben in der Anmerkung der 3. Aufgab be-
rühret. Hier wollen wir einen andern Weg weisen/ der aus unsers Archimedis Erfindungen herrühret/ nehm-
lich diesen: Wann/ zum Exempel/ des Kegels ABC seine Seite BC sambt dem
Halbmesser DC bekannt/ und aus diesen (vermög vorhergehender Aufgab)
die Kegelfläche gefunden ist/ so suche zu förderst (nach Anleitung des 47sten im
I. B. Euclidis) aus denen beyden bekannten Lineen BC und DC die Höhe BD.
Folgends mache/ wie BC gegen DC, also BD gegen einer vierdten/ zum Exempel
DE. Vervielfältige endlich die gefundene Kegelfläche mit dem dritten Teihl der
gefundenen Lini DE; so wird das begehrte vollbracht seyn.

Beweiß.

Die ganze Sache beruhet auf dem/ was Archimedes im XVII. Lehrsatz des
I. B. von der Kugel und Rund-Säule bewiesen; daß nehmlich ein Kegel/ dessen
[Abbildung] Grundscheibe gleich ist der Fläche des gegebenen Kegels ABC, seine Höhe aber gleich der Lini DE, welche aus
dem Mittelpunct D auf die Seite BC senkrecht fället (und dessen Jnnhalt also/ vermög des gemeinen Wegs
durch Vervielfältigung der gegebenen Kegelfläche ABC mit dem dritten Teihl von DE, erforschet wird) gleich

sey dem

Scheiben-Meſſung.
der Anmerkung obiger 3. Aufgab. So man nun den Jnnhalt des Kegels AEC (weil nicht allein die Hoͤhe/
ſondern auch der Halbmeſſer ſeiner Grundſcheibe AF bekannt iſt) durch Beyhuͤlf derer vorigen Aufgaben auch
berechnet/ und von dem vorigen abziehet/ muß der Jnnhalt des Kugelſtuͤkkes AFCBA nohtwendig uͤberblei-
ben. Dieſer ferner von dem (nach der 5. Aufgab gefundenen) Jnnhalt der ganzen Kugel abgezogen/ ma-
chet auch bekannt die Coͤrperliche Groͤſſe des groͤſſern Kugelſtuͤkkes.

Eine andere Aufloͤſung ohne die bekante Flaͤche des Kugelſtuͤkkes.

Finde zu foͤrderſt den Jnnhalt der Grundſcheibe des Kugelſtuͤkkes AFC aus dem bekannten/ oder nach vo-
riger Aufgab gefundenen/ Halbmeſſer AF, nach Anleitung der 1. und 3. Aufgab. Suche nachmals eine
Lini/ welche gegen der Hoͤhe des fuͤrhabenden Kugelſtuͤkkes ſich eben ſo verhaͤlt/ wie der Kugel Halbmeſſer ſambt
der Hoͤhe des andern Kugelſtuͤkkes gegen eben dieſer Hoͤhe des andern Kugelſtuͤkkes. Alsdann vervielfaͤltige den
Jnnhalt der Grundſcheibe mit dem dritten Teihl ſolcher gefundenen Lini/ ſo wird der Jnnhalt des fuͤrhabenden
Kugelſtuͤkkes heraus kommen. Den Beweiß kan der verſtaͤndige Leſer aus dem II. Lehrſatz des II. B. von
der Kugel und Rund-Saͤule und unſerer Anmerkung bey der vorhergehenden 3. Aufgab/ ſelbſten ohne einige
Muͤhe herhohlen und verfertigen.

Folge.

Aus der erſten Aufloͤſung erhellet/ daß eines jedwedern Kugelteihles/ deſſen Spitze den Mittelpunct beruͤh-
ret/ oder (wie wir es Anfangs genennet) jedwedern keglichten Kugelſtuͤkkes (als AECBA) wie auch des
uͤbrigen einwarts-hohlen/ AECDA. Coͤrperlicher Jnnhalt eben ſo gefunden werde/ wie der Jnnhalt einer
ganzen Kugel/ nehmlich durch Vervielfaͤltigung ihrer aͤuſſern Kugelflaͤche mit dem dritten Teihl des Halbmeſſers.

Die 8. Aufgab.

Aus der bekanten Hoͤhe oder Seite einer aufrechten Rund-Saͤule und dem Durchmeſ-
ſer ihrer Grundſcheibe/ deroſelben aͤuſſere Flaͤche/ ohne die Grund und Dekkelſcheibe/
wiſſend machen.

Aufloͤſung.

Suche zwiſchen der bekannten Seite und dem Durchmeſſer eine mittlere gleichverhaltende; und erfor-
ſche ſo dann (nach obiger 1. und 3. Aufgab) den Jnnhalt der Scheibe/ deren Halbmeſſer ſolche mitt-
lere gleichverhaltende iſt; ſo wirſt du (vermoͤg des XIII. im I. B. von der Kugel und Rund-Saͤule)
die aͤuſſere Flaͤche der Rund-Saͤule ohne die Grund- und Dekkelſcheibe/ gefunden haben.

Folge.

So man nun vermittelſt des bekannten Durchmeſſers auch die Grundſcheibe ausrechnet/ und deroſelben
Jnnhalt zweymal zu der vorigen Sum̃a ſetzet/ kom̃t die ganze aͤuſſere Flaͤche der Rundſaͤule vollkom̃en heraus.

Die 9. Aufgab.

Aus der bekanten Seiten eines gleichſeitigen Kegels/ und dem Halbmeſſer ſeiner
Grundſcheibe/ deſſen aͤuſſere Flaͤche/ ohne die Grundſcheibe/ erlernen.

Aufloͤſung.

Dieſe iſt der vorigen ganz aͤhnlich/ nur daß hier von dem Halbmeſſer/ dort aber von dem ganzen Durchmeſſer
geredet wird. Nehmlich zwiſchen der bekannten Seite und dem gegebenen Halbmeſſer muß man die mittlere
gleichverhaltende ſuchen/ und deroſelben (als eines Halbmeſſers) ihre Scheibenflaͤche ausrechnen/ ſo iſt dem
Begehren ein Genuͤgen geſchehen; vermoͤg des XIV. Lehrſatzes im I. B. von der Kugel und Rundſaͤule.

Anderſt.

Finde zu foͤrderſt den Jnnhalt der Grundſcheibe aus dem gegebenen Halbmeſſer/ nach obiger 1. und 3.
Aufgab. Darnach mache/ wie der Halbmeſſer gegen der bekannten Seiten/ alſo der Grundſcheiben Jnnhalt
gegen einem vierdten/ ſo wird dieſes vierdte der begehrte Jnnhalt der Kegelflaͤche ſeyn. Der Grund iſt klaͤrlich
genug enthalten in dem XV. Lehrſatz des I. B. von der Kugel und Rund-Saͤule.

Die 10. Aufgab.

Wann die Kegelflache dergeſtalt gefunden worden/ alsdann ferner/ vermittelſt deſ-
ſelben/ des Kegels Coͤrperlichen Jnnhalt ausrechnen.

Aufloͤſung.

Die gemeine Art/ eines Kegels Jnnhalt zu finden/ haben wir oben in der Anmerkung der 3. Aufgab be-
ruͤhret. Hier wollen wir einen andern Weg weiſen/ der aus unſers Archimedis Erfindungen herruͤhret/ nehm-
lich dieſen: Wann/ zum Exempel/ des Kegels ABC ſeine Seite BC ſambt dem
Halbmeſſer DC bekannt/ und aus dieſen (vermoͤg vorhergehender Aufgab)
die Kegelflaͤche gefunden iſt/ ſo ſuche zu foͤrderſt (nach Anleitung des 47ſten im
I. B. Euclidis) aus denen beyden bekannten Lineen BC und DC die Hoͤhe BD.
Folgends mache/ wie BC gegen DC, alſo BD gegen einer vierdten/ zum Exempel
DE. Vervielfaͤltige endlich die gefundene Kegelflaͤche mit dem dritten Teihl der
gefundenen Lini DE; ſo wird das begehrte vollbracht ſeyn.

Beweiß.

Die ganze Sache beruhet auf dem/ was Archimedes im XVII. Lehrſatz des
I. B. von der Kugel und Rund-Saͤule bewieſen; daß nehmlich ein Kegel/ deſſen
[Abbildung] Grundſcheibe gleich iſt der Flaͤche des gegebenen Kegels ABC, ſeine Hoͤhe aber gleich der Lini DE, welche aus
dem Mittelpunct D auf die Seite BC ſenkrecht faͤllet (und deſſen Jnnhalt alſo/ vermoͤg des gemeinen Wegs
durch Vervielfaͤltigung der gegebenen Kegelflaͤche ABC mit dem dritten Teihl von DE, erforſchet wird) gleich

ſey dem
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[191/0219] Scheiben-Meſſung. der Anmerkung obiger 3. Aufgab. So man nun den Jnnhalt des Kegels AEC (weil nicht allein die Hoͤhe/ ſondern auch der Halbmeſſer ſeiner Grundſcheibe AF bekannt iſt) durch Beyhuͤlf derer vorigen Aufgaben auch berechnet/ und von dem vorigen abziehet/ muß der Jnnhalt des Kugelſtuͤkkes AFCBA nohtwendig uͤberblei- ben. Dieſer ferner von dem (nach der 5. Aufgab gefundenen) Jnnhalt der ganzen Kugel abgezogen/ ma- chet auch bekannt die Coͤrperliche Groͤſſe des groͤſſern Kugelſtuͤkkes. Eine andere Aufloͤſung ohne die bekante Flaͤche des Kugelſtuͤkkes. Finde zu foͤrderſt den Jnnhalt der Grundſcheibe des Kugelſtuͤkkes AFC aus dem bekannten/ oder nach vo- riger Aufgab gefundenen/ Halbmeſſer AF, nach Anleitung der 1. und 3. Aufgab. Suche nachmals eine Lini/ welche gegen der Hoͤhe des fuͤrhabenden Kugelſtuͤkkes ſich eben ſo verhaͤlt/ wie der Kugel Halbmeſſer ſambt der Hoͤhe des andern Kugelſtuͤkkes gegen eben dieſer Hoͤhe des andern Kugelſtuͤkkes. Alsdann vervielfaͤltige den Jnnhalt der Grundſcheibe mit dem dritten Teihl ſolcher gefundenen Lini/ ſo wird der Jnnhalt des fuͤrhabenden Kugelſtuͤkkes heraus kommen. Den Beweiß kan der verſtaͤndige Leſer aus dem II. Lehrſatz des II. B. von der Kugel und Rund-Saͤule und unſerer Anmerkung bey der vorhergehenden 3. Aufgab/ ſelbſten ohne einige Muͤhe herhohlen und verfertigen. Folge. Aus der erſten Aufloͤſung erhellet/ daß eines jedwedern Kugelteihles/ deſſen Spitze den Mittelpunct beruͤh- ret/ oder (wie wir es Anfangs genennet) jedwedern keglichten Kugelſtuͤkkes (als AECBA) wie auch des uͤbrigen einwarts-hohlen/ AECDA. Coͤrperlicher Jnnhalt eben ſo gefunden werde/ wie der Jnnhalt einer ganzen Kugel/ nehmlich durch Vervielfaͤltigung ihrer aͤuſſern Kugelflaͤche mit dem dritten Teihl des Halbmeſſers. Die 8. Aufgab. Aus der bekanten Hoͤhe oder Seite einer aufrechten Rund-Saͤule und dem Durchmeſ- ſer ihrer Grundſcheibe/ deroſelben aͤuſſere Flaͤche/ ohne die Grund und Dekkelſcheibe/ wiſſend machen. Aufloͤſung. Suche zwiſchen der bekannten Seite und dem Durchmeſſer eine mittlere gleichverhaltende; und erfor- ſche ſo dann (nach obiger 1. und 3. Aufgab) den Jnnhalt der Scheibe/ deren Halbmeſſer ſolche mitt- lere gleichverhaltende iſt; ſo wirſt du (vermoͤg des XIII. im I. B. von der Kugel und Rund-Saͤule) die aͤuſſere Flaͤche der Rund-Saͤule ohne die Grund- und Dekkelſcheibe/ gefunden haben. Folge. So man nun vermittelſt des bekannten Durchmeſſers auch die Grundſcheibe ausrechnet/ und deroſelben Jnnhalt zweymal zu der vorigen Sum̃a ſetzet/ kom̃t die ganze aͤuſſere Flaͤche der Rundſaͤule vollkom̃en heraus. Die 9. Aufgab. Aus der bekanten Seiten eines gleichſeitigen Kegels/ und dem Halbmeſſer ſeiner Grundſcheibe/ deſſen aͤuſſere Flaͤche/ ohne die Grundſcheibe/ erlernen. Aufloͤſung. Dieſe iſt der vorigen ganz aͤhnlich/ nur daß hier von dem Halbmeſſer/ dort aber von dem ganzen Durchmeſſer geredet wird. Nehmlich zwiſchen der bekannten Seite und dem gegebenen Halbmeſſer muß man die mittlere gleichverhaltende ſuchen/ und deroſelben (als eines Halbmeſſers) ihre Scheibenflaͤche ausrechnen/ ſo iſt dem Begehren ein Genuͤgen geſchehen; vermoͤg des XIV. Lehrſatzes im I. B. von der Kugel und Rundſaͤule. Anderſt. Finde zu foͤrderſt den Jnnhalt der Grundſcheibe aus dem gegebenen Halbmeſſer/ nach obiger 1. und 3. Aufgab. Darnach mache/ wie der Halbmeſſer gegen der bekannten Seiten/ alſo der Grundſcheiben Jnnhalt gegen einem vierdten/ ſo wird dieſes vierdte der begehrte Jnnhalt der Kegelflaͤche ſeyn. Der Grund iſt klaͤrlich genug enthalten in dem XV. Lehrſatz des I. B. von der Kugel und Rund-Saͤule. Die 10. Aufgab. Wann die Kegelflache dergeſtalt gefunden worden/ alsdann ferner/ vermittelſt deſ- ſelben/ des Kegels Coͤrperlichen Jnnhalt ausrechnen. Aufloͤſung. Die gemeine Art/ eines Kegels Jnnhalt zu finden/ haben wir oben in der Anmerkung der 3. Aufgab be- ruͤhret. Hier wollen wir einen andern Weg weiſen/ der aus unſers Archimedis Erfindungen herruͤhret/ nehm- lich dieſen: Wann/ zum Exempel/ des Kegels ABC ſeine Seite BC ſambt dem Halbmeſſer DC bekannt/ und aus dieſen (vermoͤg vorhergehender Aufgab) die Kegelflaͤche gefunden iſt/ ſo ſuche zu foͤrderſt (nach Anleitung des 47ſten im I. B. Euclidis) aus denen beyden bekannten Lineen BC und DC die Hoͤhe BD. Folgends mache/ wie BC gegen DC, alſo BD gegen einer vierdten/ zum Exempel DE. Vervielfaͤltige endlich die gefundene Kegelflaͤche mit dem dritten Teihl der gefundenen Lini DE; ſo wird das begehrte vollbracht ſeyn. Beweiß. Die ganze Sache beruhet auf dem/ was Archimedes im XVII. Lehrſatz des I. B. von der Kugel und Rund-Saͤule bewieſen; daß nehmlich ein Kegel/ deſſen [Abbildung] Grundſcheibe gleich iſt der Flaͤche des gegebenen Kegels ABC, ſeine Hoͤhe aber gleich der Lini DE, welche aus dem Mittelpunct D auf die Seite BC ſenkrecht faͤllet (und deſſen Jnnhalt alſo/ vermoͤg des gemeinen Wegs durch Vervielfaͤltigung der gegebenen Kegelflaͤche ABC mit dem dritten Teihl von DE, erforſchet wird) gleich ſey dem

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 191. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/219>, abgerufen am 25.11.2024.