Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.Archimedis Anderes Buch Teihlung von der gleichen geschehe/ das gemachte aus den ungleichen Teihlen immer kleinerund kleiner werde; also daß der obige Satz in diesen wieder allgemeinen könte verwandelt werden: Wann ein Ganzes in zwey gleiche/ und wiederumb etlich mal in zwey [Abbildung]
Zu mehrer Erläuterung des Satzes (keines weges aber zum Beweiß desselben/ [Formel 1] 5. Zum fünsten machet Archimedes am End seines Beweises den Schluß: Weil die [Abbildung]
Wann aus dreyen Lineen (AB, C und D) die Vierung der Dessen Beweiß ohngefehr dieser ist: Weil die Verhältnis der Vierung AB tung
Archimedis Anderes Buch Teihlung von der gleichen geſchehe/ das gemachte aus den ungleichen Teihlen immer kleinerund kleiner werde; alſo daß der obige Satz in dieſen wieder allgemeinen koͤnte verwandelt werden: Wann ein Ganzes in zwey gleiche/ und wiederumb etlich mal in zwey [Abbildung]
Zu mehrer Erlaͤuterung des Satzes (keines weges aber zum Beweiß deſſelben/ [Formel 1] 5. Zum fuͤnſten machet Archimedes am End ſeines Beweiſes den Schluß: Weil die [Abbildung]
Wann aus dreyen Lineen (AB, C und D) die Vierung der Deſſen Beweiß ohngefehr dieſer iſt: Weil die Verhaͤltnis der Vierung AB tung
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Zum fuͤnſten machet <hi rendition="#fr">Archimedes</hi> am End ſeines Beweiſes den Schluß: Weil die<lb/> Vierung <hi rendition="#aq">HF</hi> gegen der Vierung <hi rendition="#aq">KF</hi> eine groͤſſere Verhaͤltnis hat/ als <hi rendition="#aq">KF</hi> gegen <hi rendition="#aq">FG,</hi> ſo habe<lb/> auch <hi rendition="#aq">HF</hi> gegen <hi rendition="#aq">FG</hi> eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als <hi rendition="#aq">KF</hi> gegen <hi rendition="#aq">FG</hi> anderthalbmal genommen.<lb/> Welchen Schluß <hi rendition="#fr">Eutokius</hi> gruͤndet auf folgendem Lehenſatz:</p><lb/> <figure/> <p><hi rendition="#fr">Wann aus dreyen Lineen</hi> (<hi rendition="#aq">AB, C</hi> und <hi rendition="#aq">D</hi>) <hi rendition="#fr">die Vierung der<lb/> erſten</hi> (<hi rendition="#aq">AB</hi>) <hi rendition="#fr">gegen der Vierung der andern</hi> (<hi rendition="#aq">C</hi>) <hi rendition="#fr">eine groͤſſere<lb/> Verhaͤltnis hat/ als die andere</hi> (<hi rendition="#aq">C</hi>) <hi rendition="#fr">gegen der dritten</hi> (<hi rendition="#aq">D;</hi>)<lb/><hi rendition="#fr">ſo hat die erſte</hi> (<hi rendition="#aq">AB</hi>) <hi rendition="#fr">gegen der dritten</hi> (<hi rendition="#aq">D</hi>) <hi rendition="#fr">auch eine groͤſſere<lb/> als die anderthalbige Verhaͤltnis der jenigen/ welche da hat die<lb/> andere gegen der dritten</hi> (<hi rendition="#aq">C</hi> gegen <hi rendition="#aq">D.</hi>)</p><lb/> <p>Deſſen Beweiß ohngefehr dieſer iſt: Weil die Verhaͤltnis der Vierung <hi rendition="#aq">AB</hi><lb/> gegen der Vierung <hi rendition="#aq">C</hi> (das iſt/ die Gedoppelte des <hi rendition="#aq">AB</hi> gegen <hi rendition="#aq">C</hi>) groͤſſer iſt als<lb/> die Verhaͤltnis <hi rendition="#aq">C</hi> gegen <hi rendition="#aq">D</hi> (das iſt/ als die gedoppelte des <hi rendition="#aq">C</hi> gegen einer zwiſchen<lb/><hi rendition="#aq">C</hi> und <hi rendition="#aq">D</hi> mittlern gleichverhaltenden/ <hi rendition="#aq">E</hi>) ſo muß auch die einfache <hi rendition="#aq">AB</hi> gegen <hi rendition="#aq">C</hi><lb/> groͤſſer ſeyn als die einfache <hi rendition="#aq">C</hi> gegen <hi rendition="#aq">E</hi> oder <hi rendition="#aq">E</hi> gegen <hi rendition="#aq">D.</hi> Folgends muß die jeni-<lb/> ge Lini/ welche gegen <hi rendition="#aq">C</hi> eben die Verhaͤltnis hat/ welche da hat <hi rendition="#aq">C</hi> gegen <hi rendition="#aq">E,</hi> klei-<lb/> ner ſeyn als <hi rendition="#aq">AB,</hi> zum Exempel <hi rendition="#aq">BF,</hi> und derowegen auch <hi rendition="#aq">AB</hi> gegen der lezten <hi rendition="#aq">D</hi> eine groͤſſere<lb/> Verhaͤltnis haben/ als <hi rendition="#aq">BF</hi> gegen eben derſelben leztern/ <hi rendition="#aq">D.</hi> Nun aber hat <hi rendition="#aq">BF</hi> gegen <hi rendition="#aq">D</hi> eine<lb/> anderthalbige Verhaͤltnis der jenigen/ welche da hat <hi rendition="#aq">C</hi> gegen <hi rendition="#aq">D</hi> (dann ſie beſtehet aus dreyen<lb/> ſolchen Verhaͤltniſſen/ deren die Verhaͤltnis <hi rendition="#aq">C</hi> gegen <hi rendition="#aq">D</hi> zwey in ſich begreiffet) <hi rendition="#fr">nach Anlei-</hi><lb/> <fw place="bottom" type="catch"><hi rendition="#fr">tung</hi></fw><lb/></p> </div> </div> </div> </div> </body> </text> </TEI> [146/0174]
Archimedis Anderes Buch
Teihlung von der gleichen geſchehe/ das gemachte aus den ungleichen Teihlen immer kleiner
und kleiner werde; alſo daß der obige Satz in dieſen wieder allgemeinen koͤnte verwandelt
werden:
Wann ein Ganzes in zwey gleiche/ und wiederumb etlich mal in zwey
ungleiche Teihle geteihlet wird/ ſo iſt das gemachte aus zweyen ungleichen
Teihlen/ welche der Gleichteihlung naͤher ſind/ allezeit groͤſſer als ein an-
deres/ welches aus zweyen/ von der Halbteihlung entfernetern Teihlen
gemachet wird.
[Abbildung]
Zu mehrer Erlaͤuterung des Satzes (keines weges aber zum Beweiß deſſelben/
dann der muß allgemein werden) wollen wir/ an ſtatt eines jeden andern ganzen/
eine Lini fuͤrſtellen/ welche da ſey bey 1 halbgeteihlet; und heiſſe der halbe Teihl/ zum
Exempel/ A. Bey 2 ſey die naͤchſte ungleiche Teihlung/ und heiſſe der Uberreſt des
groͤſſeſten Teihls uͤber die Helſte/ B; ſo iſt der groͤſſeſte Teihl a+b, der kleinere aber
a-b. Bey 3 ſey eine fernere ungleiche Teihlung/ und heiſſe der Reſt des groͤſſeſten
Teihls uͤber den groͤſſeſten der vorigen Teihlung/ C; ſo wird der groͤſſeſte Teihl die-
ſer leztern Teihlung ſeyn a+b+c, der kleineſte aber a-b-c. Soll nun be-
wieſen werden/ daß das gemachte aus den erſten ungleichen Teihlen (aus a+b
in a-b) groͤſſer ſey/ als das was kommt aus den beyden leztern/ von der Halb-
teihlung entfernetern/ nehmlich aus a+b+c in a-b-c. Solches nun ſicht-
lich zu machen/ ſo iſt aus dem vorhergehenden bekannt/ daß a+b in a-b bringe
aa-bb. Wann ich aber
[FORMEL]
5. Zum fuͤnſten machet Archimedes am End ſeines Beweiſes den Schluß: Weil die
Vierung HF gegen der Vierung KF eine groͤſſere Verhaͤltnis hat/ als KF gegen FG, ſo habe
auch HF gegen FG eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als KF gegen FG anderthalbmal genommen.
Welchen Schluß Eutokius gruͤndet auf folgendem Lehenſatz:
[Abbildung]
Wann aus dreyen Lineen (AB, C und D) die Vierung der
erſten (AB) gegen der Vierung der andern (C) eine groͤſſere
Verhaͤltnis hat/ als die andere (C) gegen der dritten (D;)
ſo hat die erſte (AB) gegen der dritten (D) auch eine groͤſſere
als die anderthalbige Verhaͤltnis der jenigen/ welche da hat die
andere gegen der dritten (C gegen D.)
Deſſen Beweiß ohngefehr dieſer iſt: Weil die Verhaͤltnis der Vierung AB
gegen der Vierung C (das iſt/ die Gedoppelte des AB gegen C) groͤſſer iſt als
die Verhaͤltnis C gegen D (das iſt/ als die gedoppelte des C gegen einer zwiſchen
C und D mittlern gleichverhaltenden/ E) ſo muß auch die einfache AB gegen C
groͤſſer ſeyn als die einfache C gegen E oder E gegen D. Folgends muß die jeni-
ge Lini/ welche gegen C eben die Verhaͤltnis hat/ welche da hat C gegen E, klei-
ner ſeyn als AB, zum Exempel BF, und derowegen auch AB gegen der lezten D eine groͤſſere
Verhaͤltnis haben/ als BF gegen eben derſelben leztern/ D. Nun aber hat BF gegen D eine
anderthalbige Verhaͤltnis der jenigen/ welche da hat C gegen D (dann ſie beſtehet aus dreyen
ſolchen Verhaͤltniſſen/ deren die Verhaͤltnis C gegen D zwey in ſich begreiffet) nach Anlei-
tung
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Zitationshilfe: | Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 146. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/174>, abgerufen am 16.07.2024. |