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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Archimedis Anderes Buch
Teihlung von der gleichen geschehe/ das gemachte aus den ungleichen Teihlen immer kleiner
und kleiner werde; also daß der obige Satz in diesen wieder allgemeinen könte verwandelt
werden:

Wann ein Ganzes in zwey gleiche/ und wiederumb etlich mal in zwey
ungleiche Teihle geteihlet wird/ so ist das gemachte aus zweyen ungleichen
Teihlen/ welche der Gleichteihlung näher sind/ allezeit grösser als ein an-
deres/ welches aus zweyen/ von der Halbteihlung entfernetern Teihlen
gemachet wird.

[Abbildung]

Zu mehrer Erläuterung des Satzes (keines weges aber zum Beweiß desselben/
dann der muß allgemein werden) wollen wir/ an statt eines jeden andern ganzen/
eine Lini fürstellen/ welche da sey bey 1 halbgeteihlet; und heisse der halbe Teihl/ zum
Exempel/ A. Bey 2 sey die nächste ungleiche Teihlung/ und heisse der Uberrest des
grössesten Teihls über die Helste/ B; so ist der grösseste Teihl a+b, der kleinere aber
a-b. Bey 3 sey eine fernere ungleiche Teihlung/ und heisse der Rest des grössesten
Teihls über den grössesten der vorigen Teihlung/ C; so wird der grösseste Teihl die-
ser leztern Teihlung seyn a+b+c, der kleineste aber a-b-c. Soll nun be-
wiesen werden/ daß das gemachte aus den ersten ungleichen Teihlen (aus a+b
in a-b) grösser sey/ als das was kommt aus den beyden leztern/ von der Halb-
teihlung entfernetern/ nehmlich aus a+b+c in a-b-c. Solches nun sicht-
lich zu machen/ so ist aus dem vorhergehenden bekannt/ daß a+b in a-b bringe
aa-bb. Wann ich aber

[Formel 1]

5. Zum fünsten machet Archimedes am End seines Beweises den Schluß: Weil die
Vierung HF gegen der Vierung KF eine grössere Verhältnis hat/ als KF gegen FG, so habe
auch HF gegen FG eine grössere Verhältnis/ als KF gegen FG anderthalbmal genommen.
Welchen Schluß Eutokius gründet auf folgendem Lehensatz:

[Abbildung]

Wann aus dreyen Lineen (AB, C und D) die Vierung der
ersten (AB) gegen der Vierung der andern (C) eine grössere
Verhältnis hat/ als die andere (C) gegen der dritten (D;)
so hat die erste (AB) gegen der dritten (D) auch eine grössere
als die anderthalbige Verhältnis der jenigen/ welche da hat die
andere gegen der dritten (C gegen D.)

Dessen Beweiß ohngefehr dieser ist: Weil die Verhältnis der Vierung AB
gegen der Vierung C (das ist/ die Gedoppelte des AB gegen C) grösser ist als
die Verhältnis C gegen D (das ist/ als die gedoppelte des C gegen einer zwischen
C und D mittlern gleichverhaltenden/ E) so muß auch die einfache AB gegen C
grösser seyn als die einfache C gegen E oder E gegen D. Folgends muß die jeni-
ge Lini/ welche gegen C eben die Verhältnis hat/ welche da hat C gegen E, klei-
ner seyn als AB, zum Exempel BF, und derowegen auch AB gegen der lezten D eine grössere
Verhältnis haben/ als BF gegen eben derselben leztern/ D. Nun aber hat BF gegen D eine
anderthalbige Verhältnis der jenigen/ welche da hat C gegen D (dann sie bestehet aus dreyen
solchen Verhältnissen/ deren die Verhältnis C gegen D zwey in sich begreiffet) nach Anlei-

tung

Archimedis Anderes Buch
Teihlung von der gleichen geſchehe/ das gemachte aus den ungleichen Teihlen immer kleiner
und kleiner werde; alſo daß der obige Satz in dieſen wieder allgemeinen koͤnte verwandelt
werden:

Wann ein Ganzes in zwey gleiche/ und wiederumb etlich mal in zwey
ungleiche Teihle geteihlet wird/ ſo iſt das gemachte aus zweyen ungleichen
Teihlen/ welche der Gleichteihlung naͤher ſind/ allezeit groͤſſer als ein an-
deres/ welches aus zweyen/ von der Halbteihlung entfernetern Teihlen
gemachet wird.

[Abbildung]

Zu mehrer Erlaͤuterung des Satzes (keines weges aber zum Beweiß deſſelben/
dann der muß allgemein werden) wollen wir/ an ſtatt eines jeden andern ganzen/
eine Lini fuͤrſtellen/ welche da ſey bey 1 halbgeteihlet; und heiſſe der halbe Teihl/ zum
Exempel/ A. Bey 2 ſey die naͤchſte ungleiche Teihlung/ und heiſſe der Uberreſt des
groͤſſeſten Teihls uͤber die Helſte/ B; ſo iſt der groͤſſeſte Teihl a+b, der kleinere aber
a-b. Bey 3 ſey eine fernere ungleiche Teihlung/ und heiſſe der Reſt des groͤſſeſten
Teihls uͤber den groͤſſeſten der vorigen Teihlung/ C; ſo wird der groͤſſeſte Teihl die-
ſer leztern Teihlung ſeyn a+b+c, der kleineſte aber a-b-c. Soll nun be-
wieſen werden/ daß das gemachte aus den erſten ungleichen Teihlen (aus a+b
in a-b) groͤſſer ſey/ als das was kommt aus den beyden leztern/ von der Halb-
teihlung entfernetern/ nehmlich aus a+b+c in a-b-c. Solches nun ſicht-
lich zu machen/ ſo iſt aus dem vorhergehenden bekannt/ daß a+b in a-b bringe
aa-bb. Wann ich aber

[Formel 1]

5. Zum fuͤnſten machet Archimedes am End ſeines Beweiſes den Schluß: Weil die
Vierung HF gegen der Vierung KF eine groͤſſere Verhaͤltnis hat/ als KF gegen FG, ſo habe
auch HF gegen FG eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als KF gegen FG anderthalbmal genommen.
Welchen Schluß Eutokius gruͤndet auf folgendem Lehenſatz:

[Abbildung]

Wann aus dreyen Lineen (AB, C und D) die Vierung der
erſten (AB) gegen der Vierung der andern (C) eine groͤſſere
Verhaͤltnis hat/ als die andere (C) gegen der dritten (D;)
ſo hat die erſte (AB) gegen der dritten (D) auch eine groͤſſere
als die anderthalbige Verhaͤltnis der jenigen/ welche da hat die
andere gegen der dritten (C gegen D.)

Deſſen Beweiß ohngefehr dieſer iſt: Weil die Verhaͤltnis der Vierung AB
gegen der Vierung C (das iſt/ die Gedoppelte des AB gegen C) groͤſſer iſt als
die Verhaͤltnis C gegen D (das iſt/ als die gedoppelte des C gegen einer zwiſchen
C und D mittlern gleichverhaltenden/ E) ſo muß auch die einfache AB gegen C
groͤſſer ſeyn als die einfache C gegen E oder E gegen D. Folgends muß die jeni-
ge Lini/ welche gegen C eben die Verhaͤltnis hat/ welche da hat C gegen E, klei-
ner ſeyn als AB, zum Exempel BF, und derowegen auch AB gegen der lezten D eine groͤſſere
Verhaͤltnis haben/ als BF gegen eben derſelben leztern/ D. Nun aber hat BF gegen D eine
anderthalbige Verhaͤltnis der jenigen/ welche da hat C gegen D (dann ſie beſtehet aus dreyen
ſolchen Verhaͤltniſſen/ deren die Verhaͤltnis C gegen D zwey in ſich begreiffet) nach Anlei-

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[146/0174] Archimedis Anderes Buch Teihlung von der gleichen geſchehe/ das gemachte aus den ungleichen Teihlen immer kleiner und kleiner werde; alſo daß der obige Satz in dieſen wieder allgemeinen koͤnte verwandelt werden: Wann ein Ganzes in zwey gleiche/ und wiederumb etlich mal in zwey ungleiche Teihle geteihlet wird/ ſo iſt das gemachte aus zweyen ungleichen Teihlen/ welche der Gleichteihlung naͤher ſind/ allezeit groͤſſer als ein an- deres/ welches aus zweyen/ von der Halbteihlung entfernetern Teihlen gemachet wird. [Abbildung] Zu mehrer Erlaͤuterung des Satzes (keines weges aber zum Beweiß deſſelben/ dann der muß allgemein werden) wollen wir/ an ſtatt eines jeden andern ganzen/ eine Lini fuͤrſtellen/ welche da ſey bey 1 halbgeteihlet; und heiſſe der halbe Teihl/ zum Exempel/ A. Bey 2 ſey die naͤchſte ungleiche Teihlung/ und heiſſe der Uberreſt des groͤſſeſten Teihls uͤber die Helſte/ B; ſo iſt der groͤſſeſte Teihl a+b, der kleinere aber a-b. Bey 3 ſey eine fernere ungleiche Teihlung/ und heiſſe der Reſt des groͤſſeſten Teihls uͤber den groͤſſeſten der vorigen Teihlung/ C; ſo wird der groͤſſeſte Teihl die- ſer leztern Teihlung ſeyn a+b+c, der kleineſte aber a-b-c. Soll nun be- wieſen werden/ daß das gemachte aus den erſten ungleichen Teihlen (aus a+b in a-b) groͤſſer ſey/ als das was kommt aus den beyden leztern/ von der Halb- teihlung entfernetern/ nehmlich aus a+b+c in a-b-c. Solches nun ſicht- lich zu machen/ ſo iſt aus dem vorhergehenden bekannt/ daß a+b in a-b bringe aa-bb. Wann ich aber [FORMEL] 5. Zum fuͤnſten machet Archimedes am End ſeines Beweiſes den Schluß: Weil die Vierung HF gegen der Vierung KF eine groͤſſere Verhaͤltnis hat/ als KF gegen FG, ſo habe auch HF gegen FG eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als KF gegen FG anderthalbmal genommen. Welchen Schluß Eutokius gruͤndet auf folgendem Lehenſatz: [Abbildung] Wann aus dreyen Lineen (AB, C und D) die Vierung der erſten (AB) gegen der Vierung der andern (C) eine groͤſſere Verhaͤltnis hat/ als die andere (C) gegen der dritten (D;) ſo hat die erſte (AB) gegen der dritten (D) auch eine groͤſſere als die anderthalbige Verhaͤltnis der jenigen/ welche da hat die andere gegen der dritten (C gegen D.) Deſſen Beweiß ohngefehr dieſer iſt: Weil die Verhaͤltnis der Vierung AB gegen der Vierung C (das iſt/ die Gedoppelte des AB gegen C) groͤſſer iſt als die Verhaͤltnis C gegen D (das iſt/ als die gedoppelte des C gegen einer zwiſchen C und D mittlern gleichverhaltenden/ E) ſo muß auch die einfache AB gegen C groͤſſer ſeyn als die einfache C gegen E oder E gegen D. Folgends muß die jeni- ge Lini/ welche gegen C eben die Verhaͤltnis hat/ welche da hat C gegen E, klei- ner ſeyn als AB, zum Exempel BF, und derowegen auch AB gegen der lezten D eine groͤſſere Verhaͤltnis haben/ als BF gegen eben derſelben leztern/ D. Nun aber hat BF gegen D eine anderthalbige Verhaͤltnis der jenigen/ welche da hat C gegen D (dann ſie beſtehet aus dreyen ſolchen Verhaͤltniſſen/ deren die Verhaͤltnis C gegen D zwey in ſich begreiffet) nach Anlei- tung

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 146. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/174>, abgerufen am 23.11.2024.