Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.Von der Kugel und Rund-Säule. Hieraus kan nun leichtlich erhellen der obige Satz Archimedis/ weil erstlich HB und KB 3. Das dritte/ welches Erläuterns bedarf/ ist dieses/ daß Archimedes ferner schliesset/ Wann aus dreyen Dingen das erste gegen dem andern eine kleinere Ver- Den wir abermals augenscheinlich also beweisen: a-x hat gegen ea eine kleinere Ver- 4. Zum vierdten schliesset Archimedes/ weil BE und ED einander gleich sind/ bf aber Wann ein Ganzes in zwey gleiche/ und wiederumb in zwey ungleiche Dessen Beweiß dann in dem 5ten des II. Buchs Euclidis/ den wir oben bey dem [Formel 1] Eutokius hänget hier eine Folge mit an/ welche zwar eigentlich zu Archimedis Zwekk Teih- T
Von der Kugel und Rund-Saͤule. Hieraus kan nun leichtlich erhellen der obige Satz Archimedis/ weil erſtlich HB und KB 3. Das dritte/ welches Erlaͤuterns bedarf/ iſt dieſes/ daß Archimedes ferner ſchlieſſet/ Wann aus dreyen Dingen das erſte gegen dem andern eine kleinere Ver- Den wir abermals augenſcheinlich alſo beweiſen: a-x hat gegen ea eine kleinere Ver- 4. Zum vierdten ſchlieſſet Archimedes/ weil BE und ED einander gleich ſind/ bf aber Wann ein Ganzes in zwey gleiche/ und wiederumb in zwey ungleiche Deſſen Beweiß dann in dem 5ten des II. Buchs Euclidis/ den wir oben bey dem [Formel 1] Eutokius haͤnget hier eine Folge mit an/ welche zwar eigentlich zu Archimedis Zwekk Teih- T
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Von der Kugel und Rund-Saͤule.
Hieraus kan nun leichtlich erhellen der obige Satz Archimedis/ weil erſtlich HB und KB
zwey ungleiche Lineen ſind/ und zu beyden das gemeine BF geſetzet wird/ daß daher HF und
KF entſtehet; nachmals zu dieſen beyden ungleichen wieder ein gemeines/ FN, geſetzet wird/
daß HN und KN erwachſen/ und daher/ was Archimedes beyderſeits ſchlieſſet/ vermoͤg erſt-
erwieſenen Huͤlf-Satzes/ nohtwendig folget.
3. Das dritte/ welches Erlaͤuterns bedarf/ iſt dieſes/ daß Archimedes ferner ſchlieſſet/
weil HF gegen KF eine kleinete Verhaͤltnis hat/ als KF gegen FG, ſo ſey das Rechtekk aus
HF in FG kleiner als die Vierung von KF; und wiederumb/ weil BF gegen BE eine kleinere
Verhaͤltnis hat/ als HB gegen BF, ſo ſey die Vierung von BF kleiner als das Rechtekk aus
HB in BE. Welches beydes auf dieſem allgemeinen Satz beruhet:
Wann aus dreyen Dingen das erſte gegen dem andern eine kleinere Ver-
haͤltnis hat/ als das andere gegen dem dritten/ ſo iſt das kommende aus
dem erſten in das dritte kleiner/ als das Vermoͤgen des mittlern: Groͤſſer
aber hingegen/ wann das erſte gegen dem andern eine groͤſſere Verhaͤltnis
hat/ als das andere gegen dem dritten.
Den wir abermals augenſcheinlich alſo beweiſen: a-x hat gegen ea eine kleinere Ver-
haͤltnis als ea gegen eea. Das aber/ was kommet aus dem erſten a-x in das lezte eea,
iſt eeaa-eeax; das Vermoͤgen aber des mittlern iſt eeaa, und alſo jenes augenſchein-
lich kleiner als dieſes. Wiederumb: a+x hat gegen ea eine groͤſſere Verhaͤltnis/ als ea
gegen eea. Das jenige aber/ was kommt aus dem erſten in das lezte/ iſt eeaa+eeax;
und das Vermoͤgen des mittlern wieder eeaa, augenſcheinlich kleiner als jenes. Es iſt aber
auch umbgekehret/ wann das kommende aus dem erſten in das lezte kleiner iſt als das Ver-
moͤgen des mittlern/ oder auch als das kommende aus zweyen mittlern (dann es gehet der
Satz in 4. Dingen eben ſo gewiß an/ als in dreyen) alsdann die Verhaͤltnis des erſten gegen
dem andern kleiner/ als des andern gegen dem dritten/ oder (wann 4. Dinge gegeben ſind)
des dritten gegen dem vierdten/ ꝛc. Wie der verſtaͤndige Leſer/ nach Anleitung erſtgegebenen
Beweiſes leichtlich ſelbſten finden wird.
4. Zum vierdten ſchlieſſet Archimedes/ weil BE und ED einander gleich ſind/ bf aber
und FD ungleich/ ſo ſey das Rechtekk aus BF in FD kleiner als das Rechtekk aus BE in ED
(oder vielmehr die Vierung BE.) Welches auf einem ſolchen allgemeinen Satz gegruͤndet
iſt/ dergleichen wir oben/ aus dem II. Buch Euclidis/ auf eine leichte Art bewieſen haben/
nehmlich auf dieſem:
Wann ein Ganzes in zwey gleiche/ und wiederumb in zwey ungleiche
Teihle geteihlet wird/ ſo iſt das gemachte aus denen beyden ungleichen Teih-
len allezeit kleiner als das Vermoͤgen eines gleichen Teihls.
Deſſen Beweiß dann in dem 5ten des II. Buchs Euclidis/ den wir oben bey dem
XVI. Lehrſatz des I. Buchs allgemein bewieſen haben/ allbereit wuͤrklich enthalten iſt; Kan
aber auch fuͤr ſich ſelbſten eben ſo leicht gegeben/ und auf Archimedis Vorhaben alſo gezogen
werden: Jeden gleichen Teihl des Ganzen (BD) nehmlich BE und ED nenne man a; FE
aber heiſſe b; ſo wird der groͤſſeſte ungleiche Teihl ſeyn a+b, der kleinere aber a-b. Nun
iſt das Vermoͤgen eines gleichen Teihls/ aa.
[FORMEL]
Eutokius haͤnget hier eine Folge mit an/ welche zwar eigentlich zu Archimedis Zwekk
nicht vonnoͤhten/ an ſich ſelbſten aber merkwuͤrdig iſt/ daß nehmlich/ je weiter die ungleiche
Teih-
T
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Zitationshilfe: | Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 145. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/173>, abgerufen am 15.08.2024. |