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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Von der Kugel und Rund-Sänle.
Die Auflösung obiger Neben-Aufgab des Eutokii.

Wann dann nun eine gerade Lini AB, obiger
massen zu teihlen fürgegeben ist/ so mache (nach
vorhergehender nöhtiger Vorbereitung/ welche
oben in der Grund forschung schon gelehret worden)
AE halb so groß als BE, das ist/ schneide von AB
ab den dritten Teihl AE. So nun die Cörperliche
Figur/ die da wird aus dem gegebenen Rechtekk D
in die gegebene Höhe AC, grösser ist als die/ so da
wird aus der Vierung EB in die Höhe EA, so ist die
Aufgab unmöglich und unauflößlich/ als wir erst
erwiesen haben. Sind sie aber einander gleich/ so
ist die Teihlung schon geschehen in E, und das Be-
gehren verrichtet; weil alsdann EA gegen AC sich
nohtwendig verhält/ wie D gegen der Vierung BE,
vermög des 34sten im XI. Jst dann endlich jene
kleiner als diese/ so ist gewiß/ daß sich verhalte/ wie
EA gegen AC, also D gegen einem Vierekk/ wel-
ches kleiner ist als die Vierung EB, oder GK. So
sey nun dasselbe kleinere die Vierung GM. Die-
[Abbildung] weil sich nun verhält wie EA gegen AC, also D (das ist/ das Rechtekk aus CF in FN) gegen
der Vierung GM; und wiederumb/ wie EA gegen AC, also CF gegen FG, das ist (vermög
des 1sten im VI.) die Vierung CF gegen dem Rechtekk aus CF in FG; so wird sich auch das
Rechtekk aus CF in FN gegen der Vierung GM verhalten/ wie die Vierung CF gegen dem
Rechtekk aus CF in FG; und verwechselt/ das Rechtekk aus CF in FN gegen der Vierung
CF, wie die Vierung GM, gegen dem Rechtekk aus CF in FG; und umbgekehret/ wie die
Vierung CF gegen dem Rechtekk aus CF in FN, also das Rechtekk aus CF in FG gegen
der Vierung GM. Wie sich aber verhält die Vierung CF gegen dem Rechtekk aus CF in
FN, so verhält sich CF gegen FN (abermals aus dem 1sten im VI.) Und ferner/ wie CF
gegen FN, also (wann FG die gemeine Höhe wird) das Rechtekk aus CF in FG, gegen dem
Rechtekk aus FN in FG. Hat demnach das Rechtekk aus CF in FG gegen dem Rechtekk aus
FN in FG und gegen der Vierung GM einerley Verhältnis. Derowegen ist die Vierung
GM gleich dem Rechtekk aus FG in FN, vermög des 9ten im V. So nun durch F umb die
Achse FG, nach Erforderung der Lini FN eine Parabel beschrieben wird (als MXF) muß die-
selbe nohtwendig durch M gehen. Und/ dieweil ferner HL gleich ist dem AF (vermög des
43sten im I. B.) wann durch B, nach Erforderung der unberührten HC und CF, eine Hyper-
bole beschrieben wird/ muß dieselbe nohtwendig durch den Punct K gehen/ vermög des umb-
gekehrten 12ten (Eutokius ziehet das 8te an) im II. Buch Apollonii von den Kegel-
Lineen. So sey nun dieselbe beschrieben und durchschneide die Parabel in X: aus X aber
werde XOP, auf AB senkrecht herunter gelassen/ und durch X eine andere/ mit AB gleichlauf-
fende gezogen/ nehmlich RXS. Endlich CS aufwerts geleitet/ welche (Krafft des 43sten
im I.) nohtwendig durch O gehen muß/ weil (nach der Hyperbole Eigenschafft/ vermög des
12ten im II. B. Apollonii) RP gleich ist dem AF, und also (wann das gemeine AL hin-
weg kommet) RO gleich OF. So sag ich nun/ die Lini AB sey in O begehrter massen geteihlet.

Beweiß.

Dann (wegen Aehnlichkeit derer beyden Dreyekke OAC und CFS) wie sich verhält
OA gegen AC, also OB gegen BS oder CF gegen FS, nach dem 4ten des VI. das ist/ also
das Rechtekk aus CF in FN (als die gemeine Höhe) gegen dem Rechtekk aus FS in FN, ver-
mög des 1sten im VI. Es ist aber das Rechtekk aus CF in FN gleich dem Rechtekk D,
Krafft obiger Satzung/ das Rechtekk aus FS in FN aber (aus der Parabel Eigenschafft)
gleich der Vierung SX, das ist/ der Vierung BO. Darumb wie sich verhält OA gegen AC,
also das Rechtekk D, gegen der Vierung BO; welches hat sollen verrichtet werden.

Wie nun aber dieses bißher bewiesene auf Archimedis Fürhaben möge gezogen werden/
weiset Eutokius absonderlich/ und kan von einem jeden Verständigen leichtlich selbsten ver-
richtet werden. Das einige aber ist hier zu merken/ ob schon ein Fall sich ereignen kan/ da diese
begehrte Teihlung der gegebenen Lini unmöglich ist (als wir bißher gesehen haben) daß je-

dennoch
R iij
Von der Kugel und Rund-Saͤnle.
Die Aufloͤſung obiger Neben-Aufgab des Eutokii.

Wann dann nun eine gerade Lini AB, obiger
maſſen zu teihlen fuͤrgegeben iſt/ ſo mache (nach
vorhergehender noͤhtiger Vorbereitung/ welche
oben in der Grund forſchung ſchon gelehret worden)
AE halb ſo groß als BE, das iſt/ ſchneide von AB
ab den dritten Teihl AE. So nun die Coͤrperliche
Figur/ die da wird aus dem gegebenen Rechtekk D
in die gegebene Hoͤhe AC, groͤſſer iſt als die/ ſo da
wird aus der Vierung EB in die Hoͤhe EA, ſo iſt die
Aufgab unmoͤglich und unaufloͤßlich/ als wir erſt
erwieſen haben. Sind ſie aber einander gleich/ ſo
iſt die Teihlung ſchon geſchehen in E, und das Be-
gehren verrichtet; weil alsdann EA gegen AC ſich
nohtwendig verhaͤlt/ wie D gegen der Vierung BE,
vermoͤg des 34ſten im XI. Jſt dann endlich jene
kleiner als dieſe/ ſo iſt gewiß/ daß ſich verhalte/ wie
EA gegen AC, alſo D gegen einem Vierekk/ wel-
ches kleiner iſt als die Vierung EB, oder GK. So
ſey nun daſſelbe kleinere die Vierung GM. Die-
[Abbildung] weil ſich nun verhaͤlt wie EA gegen AC, alſo D (das iſt/ das Rechtekk aus CF in FN) gegen
der Vierung GM; und wiederumb/ wie EA gegen AC, alſo CF gegen FG, das iſt (vermoͤg
des 1ſten im VI.) die Vierung CF gegen dem Rechtekk aus CF in FG; ſo wird ſich auch das
Rechtekk aus CF in FN gegen der Vierung GM verhalten/ wie die Vierung CF gegen dem
Rechtekk aus CF in FG; und verwechſelt/ das Rechtekk aus CF in FN gegen der Vierung
CF, wie die Vierung GM, gegen dem Rechtekk aus CF in FG; und umbgekehret/ wie die
Vierung CF gegen dem Rechtekk aus CF in FN, alſo das Rechtekk aus CF in FG gegen
der Vierung GM. Wie ſich aber verhaͤlt die Vierung CF gegen dem Rechtekk aus CF in
FN, ſo verhaͤlt ſich CF gegen FN (abermals aus dem 1ſten im VI.) Und ferner/ wie CF
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Rechtekk aus FN in FG. Hat demnach das Rechtekk aus CF in FG gegen dem Rechtekk aus
FN in FG und gegen der Vierung GM einerley Verhaͤltnis. Derowegen iſt die Vierung
GM gleich dem Rechtekk aus FG in FN, vermoͤg des 9ten im V. So nun durch F umb die
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ſelbe nohtwendig durch M gehen. Und/ dieweil ferner HL gleich iſt dem AF (vermoͤg des
43ſten im I. B.) wann durch B, nach Erforderung der unberuͤhrten HC und CF, eine Hyper-
bole beſchrieben wird/ muß dieſelbe nohtwendig durch den Punct K gehen/ vermoͤg des umb-
gekehrten 12ten (Eutokius ziehet das 8te an) im II. Buch Apollonii von den Kegel-
Lineen. So ſey nun dieſelbe beſchrieben und durchſchneide die Parabel in X: aus X aber
werde XOP, auf AB ſenkrecht herunter gelaſſen/ und durch X eine andere/ mit AB gleichlauf-
fende gezogen/ nehmlich RXS. Endlich CS aufwerts geleitet/ welche (Krafft des 43ſten
im I.) nohtwendig durch O gehen muß/ weil (nach der Hyperbole Eigenſchafft/ vermoͤg des
12ten im II. B. Apollonii) RP gleich iſt dem AF, und alſo (wann das gemeine AL hin-
weg kommet) RO gleich OF. So ſag ich nun/ die Lini AB ſey in O begehrter maſſen geteihlet.

Beweiß.

Dann (wegen Aehnlichkeit derer beyden Dreyekke OAC und CFS) wie ſich verhaͤlt
OA gegen AC, alſo OB gegen BS oder CF gegen FS, nach dem 4ten des VI. das iſt/ alſo
das Rechtekk aus CF in FN (als die gemeine Hoͤhe) gegen dem Rechtekk aus FS in FN, ver-
moͤg des 1ſten im VI. Es iſt aber das Rechtekk aus CF in FN gleich dem Rechtekk D,
Krafft obiger Satzung/ das Rechtekk aus FS in FN aber (aus der Parabel Eigenſchafft)
gleich der Vierung SX, das iſt/ der Vierung BO. Darumb wie ſich verhaͤlt OA gegen AC,
alſo das Rechtekk D, gegen der Vierung BO; welches hat ſollen verrichtet werden.

Wie nun aber dieſes bißher bewieſene auf Archimedis Fuͤrhaben moͤge gezogen werden/
weiſet Eutokius abſonderlich/ und kan von einem jeden Verſtaͤndigen leichtlich ſelbſten ver-
richtet werden. Das einige aber iſt hier zu merken/ ob ſchon ein Fall ſich ereignen kan/ da dieſe
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dennoch
R iij
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[133/0161] Von der Kugel und Rund-Saͤnle. Die Aufloͤſung obiger Neben-Aufgab des Eutokii. Wann dann nun eine gerade Lini AB, obiger maſſen zu teihlen fuͤrgegeben iſt/ ſo mache (nach vorhergehender noͤhtiger Vorbereitung/ welche oben in der Grund forſchung ſchon gelehret worden) AE halb ſo groß als BE, das iſt/ ſchneide von AB ab den dritten Teihl AE. So nun die Coͤrperliche Figur/ die da wird aus dem gegebenen Rechtekk D in die gegebene Hoͤhe AC, groͤſſer iſt als die/ ſo da wird aus der Vierung EB in die Hoͤhe EA, ſo iſt die Aufgab unmoͤglich und unaufloͤßlich/ als wir erſt erwieſen haben. Sind ſie aber einander gleich/ ſo iſt die Teihlung ſchon geſchehen in E, und das Be- gehren verrichtet; weil alsdann EA gegen AC ſich nohtwendig verhaͤlt/ wie D gegen der Vierung BE, vermoͤg des 34ſten im XI. Jſt dann endlich jene kleiner als dieſe/ ſo iſt gewiß/ daß ſich verhalte/ wie EA gegen AC, alſo D gegen einem Vierekk/ wel- ches kleiner iſt als die Vierung EB, oder GK. So ſey nun daſſelbe kleinere die Vierung GM. Die- [Abbildung] weil ſich nun verhaͤlt wie EA gegen AC, alſo D (das iſt/ das Rechtekk aus CF in FN) gegen der Vierung GM; und wiederumb/ wie EA gegen AC, alſo CF gegen FG, das iſt (vermoͤg des 1ſten im VI.) die Vierung CF gegen dem Rechtekk aus CF in FG; ſo wird ſich auch das Rechtekk aus CF in FN gegen der Vierung GM verhalten/ wie die Vierung CF gegen dem Rechtekk aus CF in FG; und verwechſelt/ das Rechtekk aus CF in FN gegen der Vierung CF, wie die Vierung GM, gegen dem Rechtekk aus CF in FG; und umbgekehret/ wie die Vierung CF gegen dem Rechtekk aus CF in FN, alſo das Rechtekk aus CF in FG gegen der Vierung GM. Wie ſich aber verhaͤlt die Vierung CF gegen dem Rechtekk aus CF in FN, ſo verhaͤlt ſich CF gegen FN (abermals aus dem 1ſten im VI.) Und ferner/ wie CF gegen FN, alſo (wann FG die gemeine Hoͤhe wird) das Rechtekk aus CF in FG, gegen dem Rechtekk aus FN in FG. Hat demnach das Rechtekk aus CF in FG gegen dem Rechtekk aus FN in FG und gegen der Vierung GM einerley Verhaͤltnis. Derowegen iſt die Vierung GM gleich dem Rechtekk aus FG in FN, vermoͤg des 9ten im V. So nun durch F umb die Achſe FG, nach Erforderung der Lini FN eine Parabel beſchrieben wird (als MXF) muß die- ſelbe nohtwendig durch M gehen. Und/ dieweil ferner HL gleich iſt dem AF (vermoͤg des 43ſten im I. B.) wann durch B, nach Erforderung der unberuͤhrten HC und CF, eine Hyper- bole beſchrieben wird/ muß dieſelbe nohtwendig durch den Punct K gehen/ vermoͤg des umb- gekehrten 12ten (Eutokius ziehet das 8te an) im II. Buch Apollonii von den Kegel- Lineen. So ſey nun dieſelbe beſchrieben und durchſchneide die Parabel in X: aus X aber werde XOP, auf AB ſenkrecht herunter gelaſſen/ und durch X eine andere/ mit AB gleichlauf- fende gezogen/ nehmlich RXS. Endlich CS aufwerts geleitet/ welche (Krafft des 43ſten im I.) nohtwendig durch O gehen muß/ weil (nach der Hyperbole Eigenſchafft/ vermoͤg des 12ten im II. B. Apollonii) RP gleich iſt dem AF, und alſo (wann das gemeine AL hin- weg kommet) RO gleich OF. So ſag ich nun/ die Lini AB ſey in O begehrter maſſen geteihlet. Beweiß. Dann (wegen Aehnlichkeit derer beyden Dreyekke OAC und CFS) wie ſich verhaͤlt OA gegen AC, alſo OB gegen BS oder CF gegen FS, nach dem 4ten des VI. das iſt/ alſo das Rechtekk aus CF in FN (als die gemeine Hoͤhe) gegen dem Rechtekk aus FS in FN, ver- moͤg des 1ſten im VI. Es iſt aber das Rechtekk aus CF in FN gleich dem Rechtekk D, Krafft obiger Satzung/ das Rechtekk aus FS in FN aber (aus der Parabel Eigenſchafft) gleich der Vierung SX, das iſt/ der Vierung BO. Darumb wie ſich verhaͤlt OA gegen AC, alſo das Rechtekk D, gegen der Vierung BO; welches hat ſollen verrichtet werden. Wie nun aber dieſes bißher bewieſene auf Archimedis Fuͤrhaben moͤge gezogen werden/ weiſet Eutokius abſonderlich/ und kan von einem jeden Verſtaͤndigen leichtlich ſelbſten ver- richtet werden. Das einige aber iſt hier zu merken/ ob ſchon ein Fall ſich ereignen kan/ da dieſe begehrte Teihlung der gegebenen Lini unmoͤglich iſt (als wir bißher geſehen haben) daß je- dennoch R iij

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 133. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/161>, abgerufen am 27.11.2024.