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Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670.

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Von der Kugel und Rund-Säule.
(das ist/ BF) sambt BX (das ist/ FX) gegen BX, also LX gegen DX; und
(nach der Folge des 19den im V.) FX gegen FB, wie LX gegen LD; und
umbgekehrt/ wie LD gegen LX, also FB gegen FX. Wie aber FX ferner sich
verhält gegen FH, also ist/ in verwirrter Verhältnis (perturbate) RL gegen
LD, wie vorgesagt: derowegen verhalten sich gleichdurchgehend (ex aequo)
wie BF gegen FH, also RL gegen LX, vermög des 23sten im V. und zer-
teihlet wie BH gegen HF, also RX gegen XL; und umbgekehret XL gegen
RX, wie HF gegen BH, das ist (vermög obiger Auflösung) wie P gegen S.
Wie sich aber XL gegen RX verhält/ so verhält sich der Kegel ALC gegen
dem Kegel ARC, (das ist/ nach dem vorhergehenden Lehrsatz/ das Kugel-
stükk ADC gegen dem übrigen ABC) vermög des 14den im XII. Derowe-
gen verhält sich auch das Kugelstükk ADC, gegen dem übrigen ABC, wie P
gegen S; Welches hat sollen bewiesen werden.

Anmerkungen.

Der Aufgab ist also ein ganzes und volles Genügen geschehen/ wann nur eines und das
andere/ welches Archimedes als gewiß setzet/ und wir biß daher verschoben haben/ zuvor rich-
tig und gewiß gemachet wird.

1. Das erste ist/ daß er in der Grundforschung als bekant nimmt/ weil RL gegen XL
eine gewisse Verhältnis hat/ und LD zwischen beyden genommen worden/ daß daher erwähnte
Verhältnis zusammgesetzet sey aus denen zweyen/ nehmlich des RL gegen dem LD und des
LD gegen dem XL; und also gleichsam auf diesen gemeinen Satz sich beruffet:

Wann zwischen zwey gegebenen ein mittleres gesetzet wird/ so ist die
Verhältnis derer erstgegebenen zusammgesetzet aus der Verhältnis des er-
sten gegen dem mittlern und aus der Verhältnis des mittlern gegen dem
lezten.

Worbey zu förderst muß gelehret werden/ was da heisse eine Verhältnis aus zweyen oder
mehr andern zusammsetzen; nehmlich/ nach der 5ten Worterklärung im VI. B. Eucli-
dis/ die Grössen/ das ist/ die Nenner oder Nahmen derer gegebenen Verhältnissen in einander
führen oder miteinander vervielfältigen/ und dardurch eine neue Verhältnis herfür bringen.
Also daß die Meinung des gegenwärtigen Satzes ist: Wann man zwischen zwey ein drittes oder
mittleres setzet/ und nachmals die Nenner oder Nahmen derer beyden Verhältnissen/ des ersten
gegen dem mittlern und des mittlern gegen dem lezten/ miteinander vervielfältiget/ so kommt
eben die Verhältnis heraus/ welche da hat das erste gegen dem lezten; oder vielmehr/ es kommt
heraus der Nahme oder Nenner solcher Verhältnis/ also daß/ wann das lezte mit solchem Nen-
ner vervielfältiget wird/ das erste heraus komme/ wie in allen Verhältnissen zu geschehenpfle-
get. Zum Exempel/ wann ich zwischen zwey gegebene Zahlen/ 12 und 2/ setze eine mittlere/ 4/
so ist 3 der Nenner der ersten Verhältnis/ 12 gegen 4/ und 2 der Nenner der andern Verhält-
nis/ 4 gegen 2. Wann ich nun 3 mit 2 vervielfältige/ kommt 6/ als der Nenner der Verhält-
nis/ 12 gegen 2; dann 2 mit 6 vervielfältiget/ bringt 12. Also/ wann ich 3 zwischen 12 und
2 setze/ und die zwey Nenner 4 und 11/2 miteinander vervielfältige/ kommt / das ist/ wieder 6/
für den Nenner der Verhältnis 12 gegen 2; und solches allezeit/ es möge für eine Zahl dar-
zwischen gesetzet werden/ als immer wolle. Und darumb sag ich nun/ die Verhältnis 12 gegen
2 sey aus jeden solchen zweyen zusammgesetzet.

Damit aber/ was hier durch ein Exempel erkläret worden/ auch durch
einen richtigen Beweiß bekräfftiget werde/ wollen wir zu förderst des Eu-
tokii seinen kürzlich beybringen/ nachmals einen gar leichten und augen-
scheinlich/ jedoch darbey allgemeinen/ hinbeyfügen.

Es seyen nun gegeben (sagt Eutokius) zwey Dinge A und B, die
eine gewisse Verhältnis gegen einander haben/ und zwischen-eingesetzet
ein drittes/ C. Soll nun erwiesen werden/ daß die Verhältnis A gegen
B, aus denen zweyen/ des A gegen C und des C gegen B, zusammgesetzet
sey. Jch setze nun/ der Nenner der Verhältnis A gegen C sey D, der an-
dern aber/ des C gegen B, ihr Nenner sey E; und was aus E in D wird/

[Abbildung]

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R

Von der Kugel und Rund-Saͤule.
(das iſt/ BF) ſambt BX (das iſt/ FX) gegen BX, alſo LX gegen DX; und
(nach der Folge des 19den im V.) FX gegen FB, wie LX gegen LD; und
umbgekehrt/ wie LD gegen LX, alſo FB gegen FX. Wie aber FX ferner ſich
verhaͤlt gegen FH, alſo iſt/ in verwirꝛter Verhaͤltnis (perturbatè) RL gegen
LD, wie vorgeſagt: derowegen verhalten ſich gleichdurchgehend (ex æquo)
wie BF gegen FH, alſo RL gegen LX, vermoͤg des 23ſten im V. und zer-
teihlet wie BH gegen HF, alſo RX gegen XL; und umbgekehret XL gegen
RX, wie HF gegen BH, das iſt (vermoͤg obiger Aufloͤſung) wie P gegen S.
Wie ſich aber XL gegen RX verhaͤlt/ ſo verhaͤlt ſich der Kegel ALC gegen
dem Kegel ARC, (das iſt/ nach dem vorhergehenden Lehrſatz/ das Kugel-
ſtuͤkk ADC gegen dem uͤbrigen ABC) vermoͤg des 14den im XII. Derowe-
gen verhaͤlt ſich auch das Kugelſtuͤkk ADC, gegen dem uͤbrigen ABC, wie P
gegen S; Welches hat ſollen bewieſen werden.

Anmerkungen.

Der Aufgab iſt alſo ein ganzes und volles Genuͤgen geſchehen/ wann nur eines und das
andere/ welches Archimedes als gewiß ſetzet/ und wir biß daher verſchoben haben/ zuvor rich-
tig und gewiß gemachet wird.

1. Das erſte iſt/ daß er in der Grundforſchung als bekant nimmt/ weil RL gegen XL
eine gewiſſe Verhaͤltnis hat/ und LD zwiſchen beyden genommen worden/ daß daher erwaͤhnte
Verhaͤltnis zuſammgeſetzet ſey aus denen zweyen/ nehmlich des RL gegen dem LD und des
LD gegen dem XL; und alſo gleichſam auf dieſen gemeinen Satz ſich beruffet:

Wann zwiſchen zwey gegebenen ein mittleres geſetzet wird/ ſo iſt die
Verhaͤltnis derer erſtgegebenen zuſammgeſetzet aus der Verhaͤltnis des er-
ſten gegen dem mittlern und aus der Verhaͤltnis des mittlern gegen dem
lezten.

Worbey zu foͤrderſt muß gelehret werden/ was da heiſſe eine Verhaͤltnis aus zweyen oder
mehr andern zuſammſetzen; nehmlich/ nach der 5ten Worterklaͤrung im VI. B. Eucli-
dis/ die Groͤſſen/ das iſt/ die Nenner oder Nahmen derer gegebenen Verhaͤltniſſen in einander
fuͤhren oder miteinander vervielfaͤltigen/ und dardurch eine neue Verhaͤltnis herfuͤr bringen.
Alſo daß die Meinung des gegenwaͤrtigen Satzes iſt: Wann man zwiſchen zwey ein drittes oder
mittleres ſetzet/ und nachmals die Nenner oder Nahmen derer beyden Verhaͤltniſſen/ des erſten
gegen dem mittlern und des mittlern gegen dem lezten/ miteinander vervielfaͤltiget/ ſo kommt
eben die Verhaͤltnis heraus/ welche da hat das erſte gegen dem lezten; oder vielmehr/ es kommt
heraus der Nahme oder Nenner ſolcher Verhaͤltnis/ alſo daß/ wann das lezte mit ſolchem Nen-
ner vervielfaͤltiget wird/ das erſte heraus komme/ wie in allen Verhaͤltniſſen zu geſchehenpfle-
get. Zum Exempel/ wann ich zwiſchen zwey gegebene Zahlen/ 12 und 2/ ſetze eine mittlere/ 4/
ſo iſt 3 der Nenner der erſten Verhaͤltnis/ 12 gegen 4/ und 2 der Nenner der andern Verhaͤlt-
nis/ 4 gegen 2. Wann ich nun 3 mit 2 vervielfaͤltige/ kommt 6/ als der Nenner der Verhaͤlt-
nis/ 12 gegen 2; dann 2 mit 6 vervielfaͤltiget/ bringt 12. Alſo/ wann ich 3 zwiſchen 12 und
2 ſetze/ und die zwey Nenner 4 und 1½ miteinander vervielfaͤltige/ kommt / das iſt/ wieder 6/
fuͤr den Nenner der Verhaͤltnis 12 gegen 2; und ſolches allezeit/ es moͤge fuͤr eine Zahl dar-
zwiſchen geſetzet werden/ als immer wolle. Und darumb ſag ich nun/ die Verhaͤltnis 12 gegen
2 ſey aus jeden ſolchen zweyen zuſammgeſetzet.

Damit aber/ was hier durch ein Exempel erklaͤret worden/ auch durch
einen richtigen Beweiß bekraͤfftiget werde/ wollen wir zu foͤrderſt des Eu-
tokii ſeinen kuͤrzlich beybringen/ nachmals einen gar leichten und augen-
ſcheinlich/ jedoch darbey allgemeinen/ hinbeyfuͤgen.

Es ſeyen nun gegeben (ſagt Eutokius) zwey Dinge A und B, die
eine gewiſſe Verhaͤltnis gegen einander haben/ und zwiſchen-eingeſetzet
ein drittes/ C. Soll nun erwieſen werden/ daß die Verhaͤltnis A gegen
B, aus denen zweyen/ des A gegen C und des C gegen B, zuſammgeſetzet
ſey. Jch ſetze nun/ der Nenner der Verhaͤltnis A gegen C ſey D, der an-
dern aber/ des C gegen B, ihr Nenner ſey E; und was aus E in D wird/

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[129/0157] Von der Kugel und Rund-Saͤule. (das iſt/ BF) ſambt BX (das iſt/ FX) gegen BX, alſo LX gegen DX; und (nach der Folge des 19den im V.) FX gegen FB, wie LX gegen LD; und umbgekehrt/ wie LD gegen LX, alſo FB gegen FX. Wie aber FX ferner ſich verhaͤlt gegen FH, alſo iſt/ in verwirꝛter Verhaͤltnis (perturbatè) RL gegen LD, wie vorgeſagt: derowegen verhalten ſich gleichdurchgehend (ex æquo) wie BF gegen FH, alſo RL gegen LX, vermoͤg des 23ſten im V. und zer- teihlet wie BH gegen HF, alſo RX gegen XL; und umbgekehret XL gegen RX, wie HF gegen BH, das iſt (vermoͤg obiger Aufloͤſung) wie P gegen S. Wie ſich aber XL gegen RX verhaͤlt/ ſo verhaͤlt ſich der Kegel ALC gegen dem Kegel ARC, (das iſt/ nach dem vorhergehenden Lehrſatz/ das Kugel- ſtuͤkk ADC gegen dem uͤbrigen ABC) vermoͤg des 14den im XII. Derowe- gen verhaͤlt ſich auch das Kugelſtuͤkk ADC, gegen dem uͤbrigen ABC, wie P gegen S; Welches hat ſollen bewieſen werden. Anmerkungen. Der Aufgab iſt alſo ein ganzes und volles Genuͤgen geſchehen/ wann nur eines und das andere/ welches Archimedes als gewiß ſetzet/ und wir biß daher verſchoben haben/ zuvor rich- tig und gewiß gemachet wird. 1. Das erſte iſt/ daß er in der Grundforſchung als bekant nimmt/ weil RL gegen XL eine gewiſſe Verhaͤltnis hat/ und LD zwiſchen beyden genommen worden/ daß daher erwaͤhnte Verhaͤltnis zuſammgeſetzet ſey aus denen zweyen/ nehmlich des RL gegen dem LD und des LD gegen dem XL; und alſo gleichſam auf dieſen gemeinen Satz ſich beruffet: Wann zwiſchen zwey gegebenen ein mittleres geſetzet wird/ ſo iſt die Verhaͤltnis derer erſtgegebenen zuſammgeſetzet aus der Verhaͤltnis des er- ſten gegen dem mittlern und aus der Verhaͤltnis des mittlern gegen dem lezten. Worbey zu foͤrderſt muß gelehret werden/ was da heiſſe eine Verhaͤltnis aus zweyen oder mehr andern zuſammſetzen; nehmlich/ nach der 5ten Worterklaͤrung im VI. B. Eucli- dis/ die Groͤſſen/ das iſt/ die Nenner oder Nahmen derer gegebenen Verhaͤltniſſen in einander fuͤhren oder miteinander vervielfaͤltigen/ und dardurch eine neue Verhaͤltnis herfuͤr bringen. Alſo daß die Meinung des gegenwaͤrtigen Satzes iſt: Wann man zwiſchen zwey ein drittes oder mittleres ſetzet/ und nachmals die Nenner oder Nahmen derer beyden Verhaͤltniſſen/ des erſten gegen dem mittlern und des mittlern gegen dem lezten/ miteinander vervielfaͤltiget/ ſo kommt eben die Verhaͤltnis heraus/ welche da hat das erſte gegen dem lezten; oder vielmehr/ es kommt heraus der Nahme oder Nenner ſolcher Verhaͤltnis/ alſo daß/ wann das lezte mit ſolchem Nen- ner vervielfaͤltiget wird/ das erſte heraus komme/ wie in allen Verhaͤltniſſen zu geſchehenpfle- get. Zum Exempel/ wann ich zwiſchen zwey gegebene Zahlen/ 12 und 2/ ſetze eine mittlere/ 4/ ſo iſt 3 der Nenner der erſten Verhaͤltnis/ 12 gegen 4/ und 2 der Nenner der andern Verhaͤlt- nis/ 4 gegen 2. Wann ich nun 3 mit 2 vervielfaͤltige/ kommt 6/ als der Nenner der Verhaͤlt- nis/ 12 gegen 2; dann 2 mit 6 vervielfaͤltiget/ bringt 12. Alſo/ wann ich 3 zwiſchen 12 und 2 ſetze/ und die zwey Nenner 4 und 1½ miteinander vervielfaͤltige/ kommt [FORMEL]/ das iſt/ wieder 6/ fuͤr den Nenner der Verhaͤltnis 12 gegen 2; und ſolches allezeit/ es moͤge fuͤr eine Zahl dar- zwiſchen geſetzet werden/ als immer wolle. Und darumb ſag ich nun/ die Verhaͤltnis 12 gegen 2 ſey aus jeden ſolchen zweyen zuſammgeſetzet. Damit aber/ was hier durch ein Exempel erklaͤret worden/ auch durch einen richtigen Beweiß bekraͤfftiget werde/ wollen wir zu foͤrderſt des Eu- tokii ſeinen kuͤrzlich beybringen/ nachmals einen gar leichten und augen- ſcheinlich/ jedoch darbey allgemeinen/ hinbeyfuͤgen. Es ſeyen nun gegeben (ſagt Eutokius) zwey Dinge A und B, die eine gewiſſe Verhaͤltnis gegen einander haben/ und zwiſchen-eingeſetzet ein drittes/ C. Soll nun erwieſen werden/ daß die Verhaͤltnis A gegen B, aus denen zweyen/ des A gegen C und des C gegen B, zuſammgeſetzet ſey. Jch ſetze nun/ der Nenner der Verhaͤltnis A gegen C ſey D, der an- dern aber/ des C gegen B, ihr Nenner ſey E; und was aus E in D wird/ [Abbildung] nenne R

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Zitationshilfe: Sturm, Johann Christoph: Des Unvergleichlichen Archjmedjs Kunst-Bücher. Nürnberg, 1670, S. 129. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/sturm_kunst_1670/157>, abgerufen am 27.11.2024.