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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Dritte Vorlesung.

Die Sätze:
0) a a, a = a, (a = b) = (b = a), (a b) (b c) (a c)
drücken kein Gesetz unsrer Spezies aus, müssen aber als ganz unentbehr-
liche und aus unsern Festsetzungen beweisbare Theoreme über Relative
einmal Erwähnung gefunden haben.

Eine erste Gruppe von Gesetzen bezieht sich auf die knüpfenden
Operationen.

Als ganz fundamental sei vorangestellt der Satz:
1) (a b)(c d) (ac bd)(a + c b + d)(a ; c b ; d)(a j c b j d),
der eigentlich, weil das Aussagenprodukt rechterhand einem jeden
seiner Faktoren eingeordnet ist, also dessen Geltung nach sich zieht,
die vier zumeist getrennt anzuwendenden Sätze in sich zusammenfasst:

(a b)(c d) (a · c b · d)(a b)(c d) (a + c b + d)
(a b)(c d) (a ; c b ; d)(a b)(c d) (a j c b j d).
Man merke hinzu: Gleichstimmige Subsumtionen dürfen auch durch
relative Multiplikation oder Addition überschiebend verknüpft werden.

Die Konklusion, gefolgerte Subsumtion, ist aber hierbei eine ganz
andre, wenn man die zweite Subsumtion hinter die erste schiebt, als wenn
man das Umgekehrte thut. Und beides ist zulässig, liefert richtige Kon-
klusionen: man hätte aus der Prämisse links auch schliessen können:
c ; a d ; b, sowie c j a d j b -- wie man denn relatives Vor- und Nach-
multipliziren, resp. -addiren bei der Anwendung des Satzes noch zu
unterscheiden hat.

Die Modifikationen zu formuliren, welche der Satz zulässt, wenn die
eine oder die andre oder wenn beide Prämissensubsumtionen in Gleichungen
ausarten -- in Analogie zu den Theoremen 15) bis 19) des Bd. 1 (S. 263 .. 267
sowie Bd. 2, S. 31) -- überlassen wir dem Leser: Es können, relativ nicht
minder wie identisch, auch Subsumtionen mit Gleichungen sowie Gleichungen
mit Gleichungen überschiebend verknüpft werden. Eine Subsumtion sowol wie
eine Gleichung kann beiderseits mit Gleichem, mit einem beliebigen aber links
und rechts demselben Relative, relativ (vor- resp. nach-)multiplizirt werden;
ein solches kann beiderseits zu ihr relativ (vor- resp. nach-)addirt werden.
Z. B. es ist (a b) (a ; c b ; c). Dagegen wäre: links nach- und rechts
vorzumultipliziren mit c, im Allgemeinen natürlich nicht gestattet. Gleiches,
auf gleiche Art geknüpft, gibt auch in unsrer Disziplin stets Gleiches.

Diese Bemerkungen sind, im Hinblick auf die Def. (1) der Gleichheit,
so nahe liegende Korollare zu unserm Theoreme 1), dass sie mit diesem
zugleich als erwiesen anzusehn sein werden.

Demnächst reihen sich an: die schon bekannten Sätze der ersten
Hauptstufe:

Dritte Vorlesung.

Die Sätze:
0) a ⋹ a, a = a, (a = b) = (b = a), (a ⋹ b) (b ⋹ c) ⋹ (a ⋹ c)
drücken kein Gesetz unsrer Spezies aus, müssen aber als ganz unentbehr-
liche und aus unsern Festsetzungen beweisbare Theoreme über Relative
einmal Erwähnung gefunden haben.

Eine erste Gruppe von Gesetzen bezieht sich auf die knüpfenden
Operationen.

Als ganz fundamental sei vorangestellt der Satz:
1) (a ⋹ b)(c ⋹ d) ⋹ (ac ⋹ bd)(a + c ⋹ b + d)(a ; c ⋹ b ; d)(a ɟ c ⋹ b ɟ d),
der eigentlich, weil das Aussagenprodukt rechterhand einem jeden
seiner Faktoren eingeordnet ist, also dessen Geltung nach sich zieht,
die vier zumeist getrennt anzuwendenden Sätze in sich zusammenfasst:

(a ⋹ b)(c ⋹ d) ⋹ (a · c ⋹ b · d)(a ⋹ b)(c ⋹ d) ⋹ (a + c ⋹ b + d)
(a ⋹ b)(c ⋹ d) ⋹ (a ; c ⋹ b ; d)(a ⋹ b)(c ⋹ d) ⋹ (a ɟ c ⋹ b ɟ d).
Man merke hinzu: Gleichstimmige Subsumtionen dürfen auch durch
relative Multiplikation oder Addition überschiebend verknüpft werden.

Die Konklusion, gefolgerte Subsumtion, ist aber hierbei eine ganz
andre, wenn man die zweite Subsumtion hinter die erste schiebt, als wenn
man das Umgekehrte thut. Und beides ist zulässig, liefert richtige Kon-
klusionen: man hätte aus der Prämisse links auch schliessen können:
c ; a ⋹ d ; b, sowie c ɟ a ⋹ d ɟ b — wie man denn relatives Vor- und Nach-
multipliziren, resp. -addiren bei der Anwendung des Satzes noch zu
unterscheiden hat.

Die Modifikationen zu formuliren, welche der Satz zulässt, wenn die
eine oder die andre oder wenn beide Prämissensubsumtionen in Gleichungen
ausarten — in Analogie zu den Theoremen 15) bis 19) des Bd. 1 (S. 263 ‥ 267
sowie Bd. 2, S. 31) — überlassen wir dem Leser: Es können, relativ nicht
minder wie identisch, auch Subsumtionen mit Gleichungen sowie Gleichungen
mit Gleichungen überschiebend verknüpft werden. Eine Subsumtion sowol wie
eine Gleichung kann beiderseits mit Gleichem, mit einem beliebigen aber links
und rechts demselben Relative, relativ (vor- resp. nach-)multiplizirt werden;
ein solches kann beiderseits zu ihr relativ (vor- resp. nach-)addirt werden.
Z. B. es ist (a ⋹ b) ⋹ (a ; c ⋹ b ; c). Dagegen wäre: links nach- und rechts
vorzumultipliziren mit c, im Allgemeinen natürlich nicht gestattet. Gleiches,
auf gleiche Art geknüpft, gibt auch in unsrer Disziplin stets Gleiches.

Diese Bemerkungen sind, im Hinblick auf die Def. (1) der Gleichheit,
so nahe liegende Korollare zu unserm Theoreme 1), dass sie mit diesem
zugleich als erwiesen anzusehn sein werden.

Demnächst reihen sich an: die schon bekannten Sätze der ersten
Hauptstufe:

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[78/0092] Dritte Vorlesung. Die Sätze: 0) a ⋹ a, a = a, (a = b) = (b = a), (a ⋹ b) (b ⋹ c) ⋹ (a ⋹ c) drücken kein Gesetz unsrer Spezies aus, müssen aber als ganz unentbehr- liche und aus unsern Festsetzungen beweisbare Theoreme über Relative einmal Erwähnung gefunden haben. Eine erste Gruppe von Gesetzen bezieht sich auf die knüpfenden Operationen. Als ganz fundamental sei vorangestellt der Satz: 1) (a ⋹ b)(c ⋹ d) ⋹ (ac ⋹ bd)(a + c ⋹ b + d)(a ; c ⋹ b ; d)(a ɟ c ⋹ b ɟ d), der eigentlich, weil das Aussagenprodukt rechterhand einem jeden seiner Faktoren eingeordnet ist, also dessen Geltung nach sich zieht, die vier zumeist getrennt anzuwendenden Sätze in sich zusammenfasst: (a ⋹ b)(c ⋹ d) ⋹ (a · c ⋹ b · d) (a ⋹ b)(c ⋹ d) ⋹ (a + c ⋹ b + d) (a ⋹ b)(c ⋹ d) ⋹ (a ; c ⋹ b ; d) (a ⋹ b)(c ⋹ d) ⋹ (a ɟ c ⋹ b ɟ d). Man merke hinzu: Gleichstimmige Subsumtionen dürfen auch durch relative Multiplikation oder Addition überschiebend verknüpft werden. Die Konklusion, gefolgerte Subsumtion, ist aber hierbei eine ganz andre, wenn man die zweite Subsumtion hinter die erste schiebt, als wenn man das Umgekehrte thut. Und beides ist zulässig, liefert richtige Kon- klusionen: man hätte aus der Prämisse links auch schliessen können: c ; a ⋹ d ; b, sowie c ɟ a ⋹ d ɟ b — wie man denn relatives Vor- und Nach- multipliziren, resp. -addiren bei der Anwendung des Satzes noch zu unterscheiden hat. Die Modifikationen zu formuliren, welche der Satz zulässt, wenn die eine oder die andre oder wenn beide Prämissensubsumtionen in Gleichungen ausarten — in Analogie zu den Theoremen 15) bis 19) des Bd. 1 (S. 263 ‥ 267 sowie Bd. 2, S. 31) — überlassen wir dem Leser: Es können, relativ nicht minder wie identisch, auch Subsumtionen mit Gleichungen sowie Gleichungen mit Gleichungen überschiebend verknüpft werden. Eine Subsumtion sowol wie eine Gleichung kann beiderseits mit Gleichem, mit einem beliebigen aber links und rechts demselben Relative, relativ (vor- resp. nach-)multiplizirt werden; ein solches kann beiderseits zu ihr relativ (vor- resp. nach-)addirt werden. Z. B. es ist (a ⋹ b) ⋹ (a ; c ⋹ b ; c). Dagegen wäre: links nach- und rechts vorzumultipliziren mit c, im Allgemeinen natürlich nicht gestattet. Gleiches, auf gleiche Art geknüpft, gibt auch in unsrer Disziplin stets Gleiches. Diese Bemerkungen sind, im Hinblick auf die Def. (1) der Gleichheit, so nahe liegende Korollare zu unserm Theoreme 1), dass sie mit diesem zugleich als erwiesen anzusehn sein werden. Demnächst reihen sich an: die schon bekannten Sätze der ersten Hauptstufe:

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 78. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/92>, abgerufen am 27.11.2024.