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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 4. Die Spezies in geometrischer Repräsentation.

In Analogie zu dem kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen zweier
Zahlen wird a + b das engste (mindestumfassende, "kleinste", augenärmste)
Relativ sein, welches sowol a als b in sich enthält.

Besteht überhaupt zwischen zwei Relativen die Beziehung der Ein-
ordnung, ist a b, so wird die Matrix von a Teil sein (echter Teil
oder das Ganze) von der Matrix von b. Die Figur von a liegt alsdann
ganz in der Figur, dem Punktsysteme von b, d. h. wirklich innerhalb
derselben, oder aber indem sie sich mit demselben deckt). M. a. W. Die
Figur von b enthält, begreift in sich die Figur von a.

Die geometrische Repräsentation des Konversen a zu einem ge-
gebenen Relativ a wird ferner erhalten, indem man die Matrix, Figur
von a umklappt um die Hauptdiagonale, sodass von den beiden positiven
Axenrichtungen, der x- und der y-Axe, eine jede in diejenige Lage
kommt, welche zuvor die andre inne hatte. Dem Analysten ist das
Umklappen von Determinanten, dem Geometer die Vertauschung der
Koordinatenaxen ein längst geläufiger Prozess.

Mehr neu und unsrer Disziplin eigentümlich sind die Prozesse der
beiden relativen Knüpfungen, wenngleich auch sie in der Analysis schon
ein Präzedenz besitzen in Gestalt der "Zusammensetzung von Funk-
tionen" -- noch allgemeiner: in der Elimination einer Variabeln aus
zwei Gleichungen oder Ungleichungen. Diese Operationen sind auch
von verwickelterem Charakter wie die vorhergehenden. Um zu ent-
scheiden, ob das relative Produkt c = a ; b an
einer bestimmten Stelle, die dem Elementepaar
i : j entspricht (in der Sprache der analytischen
Geometrie: an der Stelle x = j, y = i) ein Auge
trägt oder nicht, hat man sich die Kolonne j des
Relativs b so über die Zeile i des Relativs a
umgelegt zu denken, dass das obere Ende, der
Fusspunkt jener Kolonne in der x-Axe auf den
linkseitigen Anfang oder Fusspunkt dieser Zeile
auf der y-Axe zu liegen kommt. Fallen dann

[Abbildung] Fig. 9.
irgendwo zwei Augen zusammen, kommt nämlich ein Auge von a zur
Deckung mit einem Auge von b, indem eben beide in ihrer Reihe
(Zeile resp. Kolonne) die gleiche (hte) Stelle einnehmen, so ist ci j = 1,
d. h. c an der fraglichen Stelle mit einem Auge zu versehen, andern-
falles behält c daselbst eine Leerstelle.


§ 4. Die Spezies in geometrischer Repräsentation.

In Analogie zu dem kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen zweier
Zahlen wird a + b das engste (mindestumfassende, „kleinste“, augenärmste)
Relativ sein, welches sowol a als b in sich enthält.

Besteht überhaupt zwischen zwei Relativen die Beziehung der Ein-
ordnung, ist a ⋹ b, so wird die Matrix von a Teil sein (echter Teil
oder das Ganze) von der Matrix von b. Die Figur von a liegt alsdann
ganz in der Figur, dem Punktsysteme von b, d. h. wirklich innerhalb
derselben, oder aber indem sie sich mit demselben deckt). M. a. W. Die
Figur von b enthält, begreift in sich die Figur von a.

Die geometrische Repräsentation des Konversen ă zu einem ge-
gebenen Relativ a wird ferner erhalten, indem man die Matrix, Figur
von a umklappt um die Hauptdiagonale, sodass von den beiden positiven
Axenrichtungen, der x- und der y-Axe, eine jede in diejenige Lage
kommt, welche zuvor die andre inne hatte. Dem Analysten ist das
Umklappen von Determinanten, dem Geometer die Vertauschung der
Koordinatenaxen ein längst geläufiger Prozess.

Mehr neu und unsrer Disziplin eigentümlich sind die Prozesse der
beiden relativen Knüpfungen, wenngleich auch sie in der Analysis schon
ein Präzedenz besitzen in Gestalt der „Zusammensetzung von Funk-
tionen“ — noch allgemeiner: in der Elimination einer Variabeln aus
zwei Gleichungen oder Ungleichungen. Diese Operationen sind auch
von verwickelterem Charakter wie die vorhergehenden. Um zu ent-
scheiden, ob das relative Produkt c = a ; b an
einer bestimmten Stelle, die dem Elementepaar
i : j entspricht (in der Sprache der analytischen
Geometrie: an der Stelle x = j, y = i) ein Auge
trägt oder nicht, hat man sich die Kolonne j des
Relativs b so über die Zeile i des Relativs a
umgelegt zu denken, dass das obere Ende, der
Fusspunkt jener Kolonne in der x-Axe auf den
linkseitigen Anfang oder Fusspunkt dieser Zeile
auf der y-Axe zu liegen kommt. Fallen dann

[Abbildung] Fig. 9.
irgendwo zwei Augen zusammen, kommt nämlich ein Auge von a zur
Deckung mit einem Auge von b, indem eben beide in ihrer Reihe
(Zeile resp. Kolonne) die gleiche (hte) Stelle einnehmen, so ist ci j = 1,
d. h. c an der fraglichen Stelle mit einem Auge zu versehen, andern-
falles behält c daselbst eine Leerstelle.


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[55/0069] § 4. Die Spezies in geometrischer Repräsentation. In Analogie zu dem kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen zweier Zahlen wird a + b das engste (mindestumfassende, „kleinste“, augenärmste) Relativ sein, welches sowol a als b in sich enthält. Besteht überhaupt zwischen zwei Relativen die Beziehung der Ein- ordnung, ist a ⋹ b, so wird die Matrix von a Teil sein (echter Teil oder das Ganze) von der Matrix von b. Die Figur von a liegt alsdann ganz in der Figur, dem Punktsysteme von b, d. h. wirklich innerhalb derselben, oder aber indem sie sich mit demselben deckt). M. a. W. Die Figur von b enthält, begreift in sich die Figur von a. Die geometrische Repräsentation des Konversen ă zu einem ge- gebenen Relativ a wird ferner erhalten, indem man die Matrix, Figur von a umklappt um die Hauptdiagonale, sodass von den beiden positiven Axenrichtungen, der x- und der y-Axe, eine jede in diejenige Lage kommt, welche zuvor die andre inne hatte. Dem Analysten ist das Umklappen von Determinanten, dem Geometer die Vertauschung der Koordinatenaxen ein längst geläufiger Prozess. Mehr neu und unsrer Disziplin eigentümlich sind die Prozesse der beiden relativen Knüpfungen, wenngleich auch sie in der Analysis schon ein Präzedenz besitzen in Gestalt der „Zusammensetzung von Funk- tionen“ — noch allgemeiner: in der Elimination einer Variabeln aus zwei Gleichungen oder Ungleichungen. Diese Operationen sind auch von verwickelterem Charakter wie die vorhergehenden. Um zu ent- scheiden, ob das relative Produkt c = a ; b an einer bestimmten Stelle, die dem Elementepaar i : j entspricht (in der Sprache der analytischen Geometrie: an der Stelle x = j, y = i) ein Auge trägt oder nicht, hat man sich die Kolonne j des Relativs b so über die Zeile i des Relativs a umgelegt zu denken, dass das obere Ende, der Fusspunkt jener Kolonne in der x-Axe auf den linkseitigen Anfang oder Fusspunkt dieser Zeile auf der y-Axe zu liegen kommt. Fallen dann [Abbildung Fig. 9.] irgendwo zwei Augen zusammen, kommt nämlich ein Auge von a zur Deckung mit einem Auge von b, indem eben beide in ihrer Reihe (Zeile resp. Kolonne) die gleiche (hte) Stelle einnehmen, so ist ci j = 1, d. h. c an der fraglichen Stelle mit einem Auge zu versehen, andern- falles behält c daselbst eine Leerstelle.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 55. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/69>, abgerufen am 05.12.2024.