Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.§ 31. Einkleidung noch andrer möglichen Forderungen. Das x-Bild jedes Elements von a hat etwas mit b gemein: Es gibt Elemente von a, deren x-Bild nichts mit b gemein hat: Da (bn j xn) ; a bn j xn ; a, so haben wir nebenbei a fortiori die Kon- Es gibt kein Element in a, von dem ein Element des b ein x-Bild wäre: Der Studirende wird es schon nicht ganz leicht finden, die für die § 31. Einkleidung noch andrer möglichen Forderungen. Das x-Bild jedes Elements von a hat etwas mit b gemein: Es gibt Elemente von a, deren x-Bild nichts mit b gemein hat: Da (b̄̆ ɟ x̄) ; a ⋹ b̄̆ ɟ x̄ ; a, so haben wir nebenbei a fortiori die Kon- Es gibt kein Element in a, von dem ein Element des b ein x-Bild wäre: Der Studirende wird es schon nicht ganz leicht finden, die für die <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <pb facs="#f0659" n="645"/> <fw place="top" type="header">§ 31. Einkleidung noch andrer möglichen Forderungen.</fw><lb/> <p>Das <hi rendition="#i">x</hi>-Bild jedes Elements von <hi rendition="#i">a</hi> hat etwas mit <hi rendition="#i">b</hi> gemein:<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">γ</hi><hi rendition="#sub">2</hi> = <hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">h</hi></hi>{(<hi rendition="#i">h</hi> ⋹ <hi rendition="#i">a</hi>) ⋹ (<hi rendition="#i">x</hi> ; <hi rendition="#i">h</hi> ⋹ <hi rendition="#i">b̄</hi>)} = <hi rendition="#i">b̆</hi> ; <hi rendition="#i">x</hi> ɟ <hi rendition="#i">ā</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> ⋹ <hi rendition="#i">x̆</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi>).</hi><lb/> Dies <hi rendition="#i">γ</hi><hi rendition="#sub">2</hi> ist unser früheres <hi rendition="#i">γ</hi><hi rendition="#sub">1</hi> von S. 617 sq.</p><lb/> <p>Es gibt Elemente von <hi rendition="#i">a</hi>, deren <hi rendition="#i">x</hi>-Bild nichts mit <hi rendition="#i">b</hi> gemein hat:<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">γ̄</hi><hi rendition="#sub">2</hi> = <hi rendition="#i">Σ<hi rendition="#sub">h</hi></hi>(<hi rendition="#i">h</hi> ⋹ <hi rendition="#i">a</hi>)(<hi rendition="#i">x</hi> ; <hi rendition="#i">h</hi> ⋹ <hi rendition="#i">b̄</hi>) = (<hi rendition="#i">b̄̆</hi> ɟ <hi rendition="#i">x̄</hi>) ; <hi rendition="#i">a</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi> ⋹ <hi rendition="#i">x̆</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi>).</hi><lb/> Analog <hi rendition="#i">x</hi> mit <hi rendition="#i">x̆</hi> und <hi rendition="#i">a</hi> mit <hi rendition="#i">b</hi> vertauscht:<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">δ</hi><hi rendition="#sub">2</hi> = <hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">k</hi></hi>{(<hi rendition="#i">k</hi> ⋹ <hi rendition="#i">b</hi>) ⋹ (<hi rendition="#i">x̆</hi> ; <hi rendition="#i">k</hi> ⋹ <hi rendition="#i">ā</hi>)} = <hi rendition="#i">ă</hi> ; <hi rendition="#i">x̆</hi> ɟ <hi rendition="#i">b̄</hi> = <hi rendition="#i">b̄̆</hi> ɟ <hi rendition="#i">x</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi> = (<hi rendition="#i">b</hi> ⋹ <hi rendition="#i">x</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi>),</hi><lb/> wo dies <hi rendition="#i">δ</hi><hi rendition="#sub">2</hi> sich deckt mit dem <hi rendition="#i">γ</hi><hi rendition="#sub">3</hi> von S. 617 sq.<lb/><hi rendition="#et"><hi rendition="#i">δ̄</hi><hi rendition="#sub">2</hi> = <hi rendition="#i">Σ<hi rendition="#sub">k</hi></hi>(<hi rendition="#i">k</hi> ⋹ <hi rendition="#i">b</hi>)(<hi rendition="#i">x̆</hi> ; <hi rendition="#i">k</hi> ⋹ <hi rendition="#i">ā</hi>) = (<hi rendition="#i">ā̆</hi> ɟ <hi rendition="#i">x̄̆</hi>) ; <hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">b̆</hi> ; (<hi rendition="#i">x̄</hi> ɟ <hi rendition="#i">ā</hi>) = (<hi rendition="#i">b</hi> ⋹ <hi rendition="#i">x</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi>).</hi><lb/> Aus <hi rendition="#i">γ</hi><hi rendition="#sub">1</hi> geht <hi rendition="#i">α</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, aus <hi rendition="#i">γ</hi><hi rendition="#sub">2</hi> unser <hi rendition="#i">α</hi><hi rendition="#sub">2</hi> für <hi rendition="#i">b</hi> = 1 hervor, ebenso aus (<hi rendition="#i">δ</hi><hi rendition="#sub">1</hi> =)<hi rendition="#i">γ</hi><hi rendition="#sub">1</hi><lb/> unser <hi rendition="#i">β</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, aus <hi rendition="#i">δ</hi><hi rendition="#sub">2</hi> unser <hi rendition="#i">β</hi><hi rendition="#sub">2</hi> für <hi rendition="#i">a</hi> = 1. 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<hi rendition="#i">h</hi> ⋹ <hi rendition="#i">b̄</hi>) = (<hi rendition="#i">b̄̆</hi> ɟ <hi rendition="#i">x̄</hi>) ; <hi rendition="#i">h</hi> =<lb/> = <hi rendition="#i">b̄̆</hi> ɟ <hi rendition="#i">x̄</hi> ; <hi rendition="#i">h</hi> sein muss, werden wir — auch analytisch — haben:<lb/><hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">x</hi> ; <hi rendition="#i">h</hi> · <hi rendition="#i">b</hi> ≠ 0) = (<hi rendition="#i">x</hi> ; <hi rendition="#i">h</hi> ⋹ <hi rendition="#i">b̄</hi>) = <hi rendition="#i">b̆</hi> ; <hi rendition="#i">x</hi> ɟ <hi rendition="#i">h̄</hi> = <hi rendition="#i">b̆</hi> ; <hi rendition="#i">x</hi> ; <hi rendition="#i">h</hi> =<lb/> = <hi rendition="#i">Σ<hi rendition="#sub">k</hi></hi>(<hi rendition="#i">k</hi> ⋹ <hi rendition="#i">x</hi> ; <hi rendition="#i">h</hi>)(<hi rendition="#i">k</hi> ⋹ <hi rendition="#i">b</hi>) = <hi rendition="#i">Σ<hi rendition="#sub">k</hi>x<hi rendition="#sub">k h</hi>b<hi rendition="#sub">k</hi></hi> = (<hi rendition="#i">x̆b̆</hi> ; 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§ 31. Einkleidung noch andrer möglichen Forderungen.
Das x-Bild jedes Elements von a hat etwas mit b gemein:
γ2 = Πh{(h ⋹ a) ⋹ (x ; h ⋹ b̄)} = b̆ ; x ɟ ā = (a ⋹ x̆ ; b).
Dies γ2 ist unser früheres γ1 von S. 617 sq.
Es gibt Elemente von a, deren x-Bild nichts mit b gemein hat:
γ̄2 = Σh(h ⋹ a)(x ; h ⋹ b̄) = (b̄̆ ɟ x̄) ; a = (a ⋹ x̆ ; b).
Analog x mit x̆ und a mit b vertauscht:
δ2 = Πk{(k ⋹ b) ⋹ (x̆ ; k ⋹ ā)} = ă ; x̆ ɟ b̄ = b̄̆ ɟ x ; a = (b ⋹ x ; a),
wo dies δ2 sich deckt mit dem γ3 von S. 617 sq.
δ̄2 = Σk(k ⋹ b)(x̆ ; k ⋹ ā) = (ā̆ ɟ x̄̆) ; b = b̆ ; (x̄ ɟ ā) = (b ⋹ x ; a).
Aus γ1 geht α1, aus γ2 unser α2 für b = 1 hervor, ebenso aus (δ1 =)γ1
unser β1, aus δ2 unser β2 für a = 1. In der gleichen Weise aus den noch
folgenden mit γ, δ chiffrirten Forderungen die entsprechenden α, β ab-
zuleiten und zu diskutiren, überlassen wir dem Leser.
Da (b̄̆ ɟ x̄) ; a ⋹ b̄̆ ɟ x̄ ; a, so haben wir nebenbei a fortiori die Kon-
klusionen:
γ̄2⋹ (b ⋹ x̄ ; a), ebenso: δ̄2 ⋹ (a ⋹ x̄̆ ; b).
Statt wie oben zu sagen: „das“ x-Bild des Elements h von a habe etwas
mit b gemein, kann man auch sagen: „ein“ x-Bild von h sei Teil von b,
oder: es gebe Elemente (h) in a, von denen „ein“ x-Bild in b enthalten ist.
Indem nämlich gemäss υ) S. 558 und 27) S. 419: (x ; h ⋹ b̄) = (b̄̆ ɟ x̄) ; h =
= b̄̆ ɟ x̄ ; h sein muss, werden wir — auch analytisch — haben:
(x ; h · b ≠ 0) = (x ; h ⋹ b̄) = b̆ ; x ɟ h̄ = b̆ ; x ; h =
= Σk(k ⋹ x ; h)(k ⋹ b) = Σkxk hbk = (x̆b̆ ; 1)h = (x̆ ; b)h.
Also zeigen sich in der That als mit den vorigen wesentlich übereinstim-
mende die Forderungen:
Es gibt kein Element in a, von dem ein Element des b ein x-Bild wäre:
Πh k{(k⋹b)(k⋹x ; h) ⋹ (h ⋹ a)} = γ1(= δ1).
Es gibt Elemente in a, von denen Elemente in b ein x-Bild sind:
Σh k(h⋹a)(k⋹b)(k⋹x ; h) = γ̄1(= δ̄1).
Von jedem Element in a ist ein x-Bild in b enthalten = Von jedem Ele-
ment in a ist das eine oder andre Element von b ein x-Bild:
Πh{(h⋹a) ⋹Σk(k⋹b)(k⋹x ; h)} = γ2.
Es gibt Elemente in a, von denen kein Element des b ein x-Bild ist =
Von gewissen Elementen in a ist kein Element in b ein x-Bild:
Σh(h⋹a)Πk{(k⋹b) ⋹ (k ⋹ x ; h)} = γ̄2.
Der Studirende wird es schon nicht ganz leicht finden, die für die
beiden letzten Formen behauptete Äquivalenz rechnerisch nachzuweisen.
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 645. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/659>, abgerufen am 01.09.2024. |