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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Zwölfte Vorlesung.
69) x = anu + a[u(1' j un) + {0 j (un + 0' ; u)}1'] =
= (an + 1' j un)u + a1'{0 j (un + 0' ; u)}
die allgemeine Wurzel der Bedingung
70) 1'a x ; (1' j xn) oder a 1 ; x · 1 ; (1' j xn) für a = a ; 1.

Den Fall b 1 zu verfolgen sei Forschern empfohlen. --

Wie den Begriff der "eindeutigen", so kann man auch den der
"identischen" Abbildung -- statt wie bisher als 1' "absolut" -- blos
"relativ" fassen, nämlich unter Bezugnahme auf ein bestimmtes System a
als des Substrates (Objektes sowol als Bildes) der Abbildung im Denk-
bereiche.

Das System b als etwaigen Rezipienten des Bildes von a kann man
dabei aus dem Spiele lassen; denn ist a nicht b, so ist die Aufgabe
unmöglich, und ist a b, so erledigt sich die Sache von selber sobald
wir a nur überhaupt (in den Denkbereich 1 hinein) identisch abbilden.

Ein Relativ x wird inbezug auf ein System a = a ; 1 (dessen)
identische Abbildung zu nennen sein, wenn -- nicht etwa nur im Ganzen
x ; a = a, sondern vielmehr wenn -- jedem Element h von a als das
x-Bild desselben h selbst entspricht -- mögen die Elemente von an
dabei irgendwie, wenn überhaupt, abgebildet werden.

Diese Forderung formulirt sich zu
71) Ph{(ha) (x ; h = h)}, = Ph[anh + {x(1' j xn)}h h]
gemäss p) des § 30, wofür jedoch auch
Ph{an + xh h(h j xn ; h)} genommen werden kann. Beide letzten P zerfallen
in Ph(an + x)h h = 0 j (an + 1'x ; 1) und
Ph(an + 1' j xn)h h = 0 j {an + 1'(1' j xn) ; 1} resp. Ph(anh + h j xn ; h) = 0 j (1' + xn) j an,
was nach einem allgemeinen, unschwer zu findenden Schema:
72) Pi(i ; a + i j b ; i) = 0 j (1' + b) j a
sich ergibt. Setzt man jeden Faktor nun also als Prädikat zum Sub-
jekte 1 an, so ergibt sich zum ersten: 1 an j 1'x ; 1, oder a ; 1 = a =
= 1'a ; 1 1'x ; 1, was nach 65) auf 1'a x hinausläuft; zum zweiten:
1 an j 1'(1' j xn) ; 1 oder a = 1'a ; 1 1'(1' j xn) ; 1, d. h. ebenso 1'a 1' j xn,
1'a 1' j xn, 0' ; x 0' + an, x 1' j (0' + an) = 1' j 0' + an = 1' + an,
resp. (kürzer): 1 (1' + xn) j an, 1 ; a = a 1' + xn, ax 1', was auf
dasselbe hinausläuft. Beidemal haben wir also insgesamt:
73) 1'a x 1' + an,
woraus sich nach den Regeln des identischen Kalkuls berechnet:
x = 1'a + u(1' + an) oder:
74) x = 1'a + uan

Zwölfte Vorlesung.
69) x = ā̆u + ă[u(1' ɟ ū) + {0 ɟ (ū + 0' ; u)}1'] =
= (ā̆ + 1' ɟ ū)u + a1'{0 ɟ (ū + 0' ; u)}
die allgemeine Wurzel der Bedingung
70) 1'a ⋹ x̆ ; (1' ɟ x̄) oder a ⋹ 1 ; x · 1 ; (1' ɟ x̄) für a = a ; 1.

Den Fall b ≠ 1 zu verfolgen sei Forschern empfohlen. —

Wie den Begriff der „eindeutigen“, so kann man auch den der
„identischen“ Abbildung — statt wie bisher als 1' „absolut“ — blos
„relativ“ fassen, nämlich unter Bezugnahme auf ein bestimmtes System a
als des Substrates (Objektes sowol als Bildes) der Abbildung im Denk-
bereiche.

Das System b als etwaigen Rezipienten des Bildes von a kann man
dabei aus dem Spiele lassen; denn ist a nicht ⋹ b, so ist die Aufgabe
unmöglich, und ist a ⋹ b, so erledigt sich die Sache von selber sobald
wir a nur überhaupt (in den Denkbereich 1 hinein) identisch abbilden.

Ein Relativ x wird inbezug auf ein System a = a ; 1 (dessen)
identische Abbildung zu nennen sein, wenn — nicht etwa nur im Ganzen
x ; a = a, sondern vielmehr wenn — jedem Element h von a als das
x-Bild desselben h selbst entspricht — mögen die Elemente von ā
dabei irgendwie, wenn überhaupt, abgebildet werden.

Diese Forderung formulirt sich zu
71) Πh{(h⋹a) ⋹ (x ; h = h)}, = Πh[āh + {x(1' ɟ x̄)}h h]
gemäss π) des § 30, wofür jedoch auch
Πh{ā + xh h(h̆ ɟ x̄ ; h)} genommen werden kann. Beide letzten Π zerfallen
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Πh(ā + 1' ɟ x̄)h h = 0 ɟ {ā + 1'(1' ɟ x̄) ; 1} resp. Πh(āh + h̆ ɟ x̄ ; h) = 0 ɟ (1' + x̄) ɟ ā,
was nach einem allgemeinen, unschwer zu findenden Schema:
72) Πi(ĭ ; a + ĭ ɟ b ; i) = 0 ɟ (1' + b) ɟ a
sich ergibt. Setzt man jeden Faktor nun also als Prädikat zum Sub-
jekte 1 an, so ergibt sich zum ersten: 1 ⋹ ā̆ ɟ 1'x ; 1, oder a ; 1 = a =
= 1'a ; 1 ⋹ 1'x ; 1, was nach 65) auf 1'a ⋹ x hinausläuft; zum zweiten:
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dasselbe hinausläuft. Beidemal haben wir also insgesamt:
73) 1'ă ⋹ x ⋹ 1' + ā̆,
woraus sich nach den Regeln des identischen Kalkuls berechnet:
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[642/0656] Zwölfte Vorlesung. 69) x = ā̆u + ă[u(1' ɟ ū) + {0 ɟ (ū + 0' ; u)}1'] = = (ā̆ + 1' ɟ ū)u + a1'{0 ɟ (ū + 0' ; u)} die allgemeine Wurzel der Bedingung 70) 1'a ⋹ x̆ ; (1' ɟ x̄) oder a ⋹ 1 ; x · 1 ; (1' ɟ x̄) für a = a ; 1. Den Fall b ≠ 1 zu verfolgen sei Forschern empfohlen. — Wie den Begriff der „eindeutigen“, so kann man auch den der „identischen“ Abbildung — statt wie bisher als 1' „absolut“ — blos „relativ“ fassen, nämlich unter Bezugnahme auf ein bestimmtes System a als des Substrates (Objektes sowol als Bildes) der Abbildung im Denk- bereiche. Das System b als etwaigen Rezipienten des Bildes von a kann man dabei aus dem Spiele lassen; denn ist a nicht ⋹ b, so ist die Aufgabe unmöglich, und ist a ⋹ b, so erledigt sich die Sache von selber sobald wir a nur überhaupt (in den Denkbereich 1 hinein) identisch abbilden. Ein Relativ x wird inbezug auf ein System a = a ; 1 (dessen) identische Abbildung zu nennen sein, wenn — nicht etwa nur im Ganzen x ; a = a, sondern vielmehr wenn — jedem Element h von a als das x-Bild desselben h selbst entspricht — mögen die Elemente von ā dabei irgendwie, wenn überhaupt, abgebildet werden. Diese Forderung formulirt sich zu 71) Πh{(h⋹a) ⋹ (x ; h = h)}, = Πh[āh + {x(1' ɟ x̄)}h h] gemäss π) des § 30, wofür jedoch auch Πh{ā + xh h(h̆ ɟ x̄ ; h)} genommen werden kann. Beide letzten Π zerfallen in Πh(ā + x)h h = 0 ɟ (ā + 1'x ; 1) und Πh(ā + 1' ɟ x̄)h h = 0 ɟ {ā + 1'(1' ɟ x̄) ; 1} resp. Πh(āh + h̆ ɟ x̄ ; h) = 0 ɟ (1' + x̄) ɟ ā, was nach einem allgemeinen, unschwer zu findenden Schema: 72) Πi(ĭ ; a + ĭ ɟ b ; i) = 0 ɟ (1' + b) ɟ a sich ergibt. Setzt man jeden Faktor nun also als Prädikat zum Sub- jekte 1 an, so ergibt sich zum ersten: 1 ⋹ ā̆ ɟ 1'x ; 1, oder a ; 1 = a = = 1'a ; 1 ⋹ 1'x ; 1, was nach 65) auf 1'a ⋹ x hinausläuft; zum zweiten: 1 ⋹ ā̆ ɟ 1'(1' ɟ x̄) ; 1 oder a = 1'a ; 1 ⋹ 1'(1' ɟ x̄) ; 1, d. h. ebenso 1'a ⋹ 1' ɟ x̄, 1'ă ⋹ 1' ɟ x̄, 0' ; x ⋹ 0' + ā̆, x ⋹ 1' ɟ (0' + ā̆) = 1' ɟ 0' + ā̆ = 1' + ā̆, resp. (kürzer): 1 ⋹ (1' + x̄) ɟ ā, 1 ; ă = ă ⋹ 1' + x̄, ăx ⋹ 1', was auf dasselbe hinausläuft. Beidemal haben wir also insgesamt: 73) 1'ă ⋹ x ⋹ 1' + ā̆, woraus sich nach den Regeln des identischen Kalkuls berechnet: x = 1'ă + u(1' + ā̆) oder: 74) x = 1'ă + uā̆

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 642. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/656>, abgerufen am 17.02.2025.