Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Zwölfte Vorlesung.

(x ; x̆ ⋹ 1')(x ⋹ ă = 1 ; x)(y ; y̆ ⋹ 1')(y ⋹ ă ; x̆ = 1 ; y) ⋹ (z ; z̆ ⋹ 1')(z ⋹ ă = 1 ; z)
für z = y ; x. In der That folgt sowol mit x ⋹ ă, also x ; ā = 0 auch
y ; x ; ā = 0 also y ; x ⋹ ă, als auch mit den andern Voraussetzungen:
1 ; y ; x = ă ; x̆ ; x = 1 ; x ; x̆ ; x = 1 ; x̆ ; x = 1 ; x = ă nach 26) S. 447 —
q. e. d.

Sehr schön lässt sich der Beweis des letzten Satzes auch mittelst
Argumentation auf die Elemente im genauen Anschluss an Dede-
kind’s Räsonnement in unsrer Zeichensprache liefern, indem man die
Fassung 57) für b = 1 zugrund legt. Wir haben dann:
[Formel 1] ,
wo die unterwellten Aussagen blos Anmerkungen sein sollen, die auch
unterdrückbar wären, jedoch hingesetzt erkennen lassen, dass durch
die Thesis der ersten Prämisse (vor dem Π_k) zugleich die Hypothesis
der zweiten (hinter dem Π_k) als erfüllt verbürgt wird. Gemeinhin zu
reden:

Gibt es zu jedem Element h des Systems a ein (und nur^† ein) Ele-
ment k (im Denkbereiche), welches dessen x-Bild ist (mithin wegen
x ; h ⋹ x ; a auch im x-Bilde von a enthalten sein wird), und gibt es zu
jedem Element k des Systems x ; a ein (und nur ein) Element l (im Denk-
bereiche), welches dessen y-Bild ist, so muss es auch zu jedem Element h
von a ein (und nur ein) Element l geben, welches das y-Bild von dessen
x-Bilde, d. h. dessen y ; x-Bild ist, q. e. d.

Gar nicht leicht dagegen scheint es, bei Zugrundelegung etwa der
Fassung 59) für b = 1, aus den Prämissen:
1'a ⋹ x̆ ; (1' ɟ x̄) und 1' · x ; a ⋹ y̆ ; (1' ɟ ȳ) auf 1'a ⋹ x̆ ; y̆ ; (1' ɟ ȳ ɟ x̄)
direkt zu schliessen. Die Aufgabe sei Forschern hiemit empfohlen, und
eine ähnliche Aufgabe wäre auch an die Fassung 58) für b = 1 zu knüpfen.
In letztrer Hinsicht ist zwar der eine Teil der Behauptung, nämlich:
(ă ⋹ 1 ; x)(ă ; x̆ ⋹ 1 ; y) ⋹ (ă ⋹ 1 ; y ; x)
unschwer so beweisbar: Aus der ersten Prämisse folgt ă = ă · 1 ; x, aus
der zweiten: ă ; x̆ ; x ⋹ 1 ; y ; x. Nach 20) S. 254 ist aber: ă · 1 ; x ⋹ ă ; x̆ ; x
— womit sich die Konklusion nun a fortiori ergibt. Den andern Teil der
Behauptung:
{ă ⋹ 1 ; (1' ɟ x̄)}{ă ; x̆ ⋹ 1 ; (1' ɟ ȳ)} ergo {ă ⋹ 1 ; (1' ɟ ȳ ɟ x̄)}
scheint es dagegen nicht leicht, vielleicht unmöglich, analytisch zu beweisen,
was ja erst dann ausführbar sein muss, wenn man links noch die Prämissen
aus der vorigen Behauptung hinzunimmt.

† Die Aussage hinter dem Σ_k kann eo ipso nur für ein k erfüllt sein; denn
wäre sie es auch noch für ein zweites: k', so würde aus x ; h = k und x ; h = k'
ja k' = k folgen.