Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.Zwölfte Vorlesung. Satz schliesst sich augenscheinlich gewissen in § 29, S. 525 sq. gegebnenSätzen an. -- Zu 59) haben wir zunächst: Hiernach erwächst uns zunächst die Hülfsaufgabe: die Summation [Darnach darf insbesondre -- für b = 1 -- das Schema notirt werden: Unsre Bedingung wird hiermit: Denn wenn wir für den Augenblick den Inhalt der geschweiften Unsre Bedingung läuft demnach auf a 1'd ; 1 hinaus. Nun ist Zwölfte Vorlesung. Satz schliesst sich augenscheinlich gewissen in § 29, S. 525 sq. gegebnenSätzen an. — Zu 59) haben wir zunächst: Hiernach erwächst uns zunächst die Hülfsaufgabe: die Summation [Darnach darf insbesondre — für b = 1 — das Schema notirt werden: Unsre Bedingung wird hiermit: Denn wenn wir für den Augenblick den Inhalt der geschweiften Unsre Bedingung läuft demnach auf a ⋹ 1'd ; 1 hinaus. Nun ist <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0650" n="636"/><fw place="top" type="header">Zwölfte Vorlesung.</fw><lb/> Satz schliesst sich augenscheinlich gewissen in § 29, S. 525 sq. gegebnen<lb/> Sätzen an. —</p><lb/> <p>Zu 59) haben wir zunächst:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">h</hi></hi>{<hi rendition="#i">ā<hi rendition="#sub">h</hi></hi> + <hi rendition="#i">Σ<hi rendition="#sub">k</hi>b<hi rendition="#sub">k</hi></hi> · <hi rendition="#i">k̆</hi> ; <hi rendition="#i">x</hi> ; <hi rendition="#i">h</hi> · (<hi rendition="#i">k̆</hi> ɟ <hi rendition="#i">x̄</hi> ; <hi rendition="#i">h</hi>)} = <hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">h</hi></hi>{<hi rendition="#i">ā<hi rendition="#sub">h</hi></hi> + <hi rendition="#i">Σ<hi rendition="#sub">k</hi>k̆</hi> ; <hi rendition="#i">bx</hi> ; <hi rendition="#i">h</hi> · (<hi rendition="#i">k̆</hi> ɟ <hi rendition="#i">x̄</hi> ; <hi rendition="#i">h</hi>)},</hi><lb/> weil nämlich <hi rendition="#i">b<hi rendition="#sub">k</hi></hi> = <hi rendition="#i">b<hi rendition="#sub">k h</hi></hi> = <hi rendition="#i">k̆</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> ; <hi rendition="#i">h</hi> sowie <hi rendition="#i">b<hi rendition="#sub">k</hi>x<hi rendition="#sub">k h</hi></hi> = (<hi rendition="#i">bx</hi>)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">k h</hi></hi> etc.</p><lb/> <p>Hiernach erwächst uns zunächst die <hi rendition="#g">Hülfsaufgabe</hi>: die Summation<lb/> im letzten Gliede auszuführen, d. i., etwas allgemeiner gefasst, eine Summe<lb/> von folgender Form:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">z</hi> = <hi rendition="#i">Σ<hi rendition="#sub">i</hi>ĭ</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi> · (<hi rendition="#i">ĭ</hi> ɟ <hi rendition="#i">b</hi>)</hi><lb/> bei beliebigen <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi> in geschlossner Form auszuwerten. 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Zwölfte Vorlesung.
Satz schliesst sich augenscheinlich gewissen in § 29, S. 525 sq. gegebnen
Sätzen an. —
Zu 59) haben wir zunächst:
Πh{āh + Σkbk · k̆ ; x ; h · (k̆ ɟ x̄ ; h)} = Πh{āh + Σkk̆ ; bx ; h · (k̆ ɟ x̄ ; h)},
weil nämlich bk = bk h = k̆ ; b ; h sowie bkxk h = (bx)k h etc.
Hiernach erwächst uns zunächst die Hülfsaufgabe: die Summation
im letzten Gliede auszuführen, d. i., etwas allgemeiner gefasst, eine Summe
von folgender Form:
z = Σiĭ ; a · (ĭ ɟ b)
bei beliebigen a, b in geschlossner Form auszuwerten. Behufs deren Lösung
bilden wir ihren allgemeinen Koeffizienten zum Suffix hk:
zh k = Σi(ĭ ; a)h k(ĭ ɟ b)h k = ΣiΣlil hal kΠm(im h + bm k) =
= Σi l1'i lal kΠm(1'i m + bm k) = Σiai k(1' ɟ b)i k = {1 ; a(1' ɟ b)}h k,
womit z gefunden ist. Es verdient somit der Satz notirt zu werden:
61) [FORMEL]
Nach dem ersten dieser Schemata wird unsre Σk gleich
1 ; (bx ; h)(1' ɟ x̄ ; h) = h̆ ; b̆x̆ ; (1' ɟ x̄) ; h = h̆ ; (x̄̆ ɟ 1') ; xb ; h
— vergl. 9) des § 27, S. 444 und 27) des § 25, S. 419.
[Darnach darf insbesondre — für b = 1 — das Schema notirt werden:
62) Σk(x ; h = k) = h̆ ; (x̄̆ ɟ 1') ; x ; h = {(x̄̆ ɟ 1') ; x}h h.]
Unsre Bedingung wird hiermit:
Πh{ā + (x̄̆ ɟ 1') ; xb}h h = ā̆ ɟ 1'{(x̄̆ ɟ 1') ; xb} ; 1.
Denn wenn wir für den Augenblick den Inhalt der geschweiften
Klammer c nennen und das zweite Glied in derselben d, so ist erstlich:
Πhch h = Πh k(1'c ; 1)h k = 0 ɟ 1'c ; 1,
sintemal das ɟ 0 am Ende unterdrückbar. Dazu zerfällt 1'c ; 1 = 1'ā ; 1 + 1'd ; 1,
und da ā System ist, haben wir 1'ā ; 1 = ā · 1' ; 1 = ā, also entsteht
0 ɟ (ā + 1'd ; 1) = ā̆ ɟ 1'd ; 1, was zuvörderst zu zeigen gewesen.
Unsre Bedingung läuft demnach auf a ⋹ 1'd ; 1 hinaus. Nun ist
beachtenswert, dass solche Bedingung bei beliebigem d, falls a System ist,
äquivalent sein muss der einfacheren: 1'a ⋹ d, sintemal alsdann:
(1'a ⋹ d) = (a ; 1 ⋹ d + 0') = {a ⋹ (0' + d) ɟ 0 = 1'd ; 1}.
Es liesse sich demnach der Satz notiren:
63) (a ; 1 ⋹ 1'b ; 1) = (1' · a ; 1 ⋹ b)
und nach diesem erhalten wir endlich aus der zuletzt gefundenen auch die
zweite Form 59) unsrer Bedingung, q. e. d.
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 636. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/650>, abgerufen am 01.09.2024. |