Zerlegen wir hier die mittlere 1 in 0' + 1', so muss wegen z ; 1' ; z = = z ; z 1' der letzte Teil wegfallen und kommt: a ; 0' ; a = 1 ; 0'(z ; 0' ; z) ; 1. Aber mit 0' ; zzn = zn j 0' folgt auch z ; 0' ; z 0', also 0'(z ; 0' ; z) = = z ; 0' ; z selbst. Somit bleibt a ; 0' ; a = 1 ; z ; 0' ; z ; 1 = b ; 0' ; b, q. e. d.
Auch mit 0' ; zzn, ergo z ; 0' ; zz ; zn 0', etc. lässt sich die unterwegs hierbei gebrauchte Relation 50) z ; 0' ; z + z ; 0' ; z 0' rechtfertigen, womit nun die Formeln 31) auch sämtlich bewiesen worden.
Um übrigens die Gleichung 1 ; z ; 0' ; z ; 1 = 1 ; z ; 0' ; z ; 1 unmittelbar zu rechtfertigen, wozu der Beweis derselben als (vor- oder) rückwärtiger Subsumtion, d. h. von z ; 0' ; z 1 ; z ; 0' ; z ; 1 genügt, kann man auch die Koeffizientenevidenz anrufen: Sh kzh i0'h kzk jSh m n kzh m0'm nzk n. Falls nun ij, so findet sich jedes Glied zh izk j (wo hk) der linken Seite auch rechterhand vor, und zwar mit m = i, n = j, weil dann 0'm n = 0'i j = 1 sein wird. Falls dagegen j = i, so finden zwar die Glieder der linken Seite zh izk i (wo kh) sich rechterhand nicht vor, allein die Summe jener muss dann verschwinden: es muss Sh kzh i0'h kzk i = (z ; 0' ; z)i i = = (1' · z ; 0' ; z)i j = 0 sein wegen 50). Q. e. d.
Das vorstehend über die "explizite" Darstellung der fundamentalen Ähnlichkeits- oder Gleichmächtigkeitsbedingung Vorgetragene ist übrigens blos das, was sich mir sozusagen auf den ersten Anlauf ergab, und es ist noch nicht die Hoffnung aufzugeben: dass sich bei tieferm Eingehen auf das S. 624 charakterisirte Eliminationsproblem als solches -- nach den noch weiter auszugestaltenden Methoden am Schlusse des § 29 -- auch allgemein eine konzise Ausdrucksform für die explizite Bedingung gewinnen lassen könnte.
Dies würde freilich ein grosser Triumph für unsre Disziplin sein: noch ohne den Begriff der Zahl und Anzahl, vielmehr propädeutisch für diese, den Begriff der Gleichzahligkeit (und, mehr noch: der Gleichmächtig- keit) zweier Systeme auch explizite zu formuliren! Die Möglichkeit, solch Ideal zu verwirklichen, scheint mir durch die schon realisirte implizite Fassung dieses Begriffs bereits erwiesen. Denn wenn wir, unabhängig von den übrigen, jeden einzelnen z-Koeffizienten eliminiren können, so müssen sich doch auch sämtliche z-Koeffizienten eliminiren lassen! Es eröffnet sich sogar die Aussicht: durch "Auflösung" gedachter Ähnlichkeitsbedingung nach den Unbekannten a und b jedes mögliche Paar von gleichmächtigen Mannigfaltigkeiten durch zwei arbiträre Parameter u and v dereinst aus- drücken zu lernen. --
Haben wir nun mit dem Bisherigen vom Standpunkt unsrer Theorie alles das mit erledigt, was in der Dedekind'schen Schrift über "ähn-
§ 31. Zweite Partialresultante.
Zerlegen wir hier die mittlere 1 in 0' + 1', so muss wegen z̆ ; 1' ; z = = z̆ ; z ⋹ 1' der letzte Teil wegfallen und kommt: ă ; 0' ; a = 1 ; 0'(z̆ ; 0' ; z) ; 1. Aber mit 0' ; z ⋹ z̄ = z̄ ɟ 0' folgt auch z̆ ; 0' ; z ⋹ 0', also 0'(z̆ ; 0' ; z) = = z̆ ; 0' ; z selbst. Somit bleibt ă ; 0' ; a = 1 ; z̆ ; 0' ; z ; 1 = b̆ ; 0' ; b, q. e. d.
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Um übrigens die Gleichung 1 ; z ; 0' ; z̆ ; 1 = 1 ; z̆ ; 0' ; z ; 1 unmittelbar zu rechtfertigen, wozu der Beweis derselben als (vor- oder) rückwärtiger Subsumtion, d. h. von z̆ ; 0' ; z ⋹ 1 ; z ; 0' ; z̆ ; 1 genügt, kann man auch die Koeffizientenevidenz anrufen: Σh kzh i0'h kzk j⋹Σh m n kzh m0'm nzk n. Falls nun i ≠ j, so findet sich jedes Glied zh izk j (wo h ≠ k) der linken Seite auch rechterhand vor, und zwar mit m = i, n = j, weil dann 0'm n = 0'i j = 1 sein wird. Falls dagegen j = i, so finden zwar die Glieder der linken Seite zh izk i (wo k ≠ h) sich rechterhand nicht vor, allein die Summe jener muss dann verschwinden: es muss Σh kzh i0'h kzk i = (z̆ ; 0' ; z)i i = = (1' · z̆ ; 0' ; z)i j = 0 sein wegen 50). Q. e. d.
Das vorstehend über die „explizite“ Darstellung der fundamentalen Ähnlichkeits- oder Gleichmächtigkeitsbedingung Vorgetragene ist übrigens blos das, was sich mir sozusagen auf den ersten Anlauf ergab, und es ist noch nicht die Hoffnung aufzugeben: dass sich bei tieferm Eingehen auf das S. 624 charakterisirte Eliminationsproblem als solches — nach den noch weiter auszugestaltenden Methoden am Schlusse des § 29 — auch allgemein eine konzise Ausdrucksform für die explizite Bedingung gewinnen lassen könnte.
Dies würde freilich ein grosser Triumph für unsre Disziplin sein: noch ohne den Begriff der Zahl und Anzahl, vielmehr propädeutisch für diese, den Begriff der Gleichzahligkeit (und, mehr noch: der Gleichmächtig- keit) zweier Systeme auch explizite zu formuliren! Die Möglichkeit, solch Ideal zu verwirklichen, scheint mir durch die schon realisirte implizite Fassung dieses Begriffs bereits erwiesen. Denn wenn wir, unabhängig von den übrigen, jeden einzelnen z-Koeffizienten eliminiren können, so müssen sich doch auch sämtliche z-Koeffizienten eliminiren lassen! Es eröffnet sich sogar die Aussicht: durch „Auflösung“ gedachter Ähnlichkeitsbedingung nach den Unbekannten a und b jedes mögliche Paar von gleichmächtigen Mannigfaltigkeiten durch zwei arbiträre Parameter u and v dereinst aus- drücken zu lernen. —
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[631/0645]
§ 31. Zweite Partialresultante.
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= z̆ ; 0' ; z selbst. Somit bleibt ă ; 0' ; a = 1 ; z̆ ; 0' ; z ; 1 = b̆ ; 0' ; b, q. e. d.
Auch mit 0' ; z ⋹ z̄, ergo z̆ ; 0' ; z ⋹ z̆ ; z̄ ⋹ 0', etc. lässt sich die
unterwegs hierbei gebrauchte Relation
50) z ; 0' ; z̆ + z̆ ; 0' ; z ⋹ 0'
rechtfertigen, womit nun die Formeln 31) auch sämtlich bewiesen worden.
Um übrigens die Gleichung 1 ; z ; 0' ; z̆ ; 1 = 1 ; z̆ ; 0' ; z ; 1 unmittelbar
zu rechtfertigen, wozu der Beweis derselben als (vor- oder) rückwärtiger
Subsumtion, d. h. von z̆ ; 0' ; z ⋹ 1 ; z ; 0' ; z̆ ; 1 genügt, kann man auch die
Koeffizientenevidenz anrufen:
Σh kzh i0'h kzk j⋹Σh m n kzh m0'm nzk n.
Falls nun i ≠ j, so findet sich jedes Glied zh izk j (wo h ≠ k) der linken
Seite auch rechterhand vor, und zwar mit m = i, n = j, weil dann
0'm n = 0'i j = 1 sein wird. Falls dagegen j = i, so finden zwar die Glieder
der linken Seite zh izk i (wo k ≠ h) sich rechterhand nicht vor, allein die
Summe jener muss dann verschwinden: es muss Σh kzh i0'h kzk i = (z̆ ; 0' ; z)i i =
= (1' · z̆ ; 0' ; z)i j = 0 sein wegen 50). Q. e. d.
Das vorstehend über die „explizite“ Darstellung der fundamentalen
Ähnlichkeits- oder Gleichmächtigkeitsbedingung Vorgetragene ist übrigens
blos das, was sich mir sozusagen auf den ersten Anlauf ergab, und es
ist noch nicht die Hoffnung aufzugeben: dass sich bei tieferm Eingehen
auf das S. 624 charakterisirte Eliminationsproblem als solches — nach
den noch weiter auszugestaltenden Methoden am Schlusse des § 29 —
auch allgemein eine konzise Ausdrucksform für die explizite Bedingung
gewinnen lassen könnte.
Dies würde freilich ein grosser Triumph für unsre Disziplin sein:
noch ohne den Begriff der Zahl und Anzahl, vielmehr propädeutisch für
diese, den Begriff der Gleichzahligkeit (und, mehr noch: der Gleichmächtig-
keit) zweier Systeme auch explizite zu formuliren! Die Möglichkeit, solch
Ideal zu verwirklichen, scheint mir durch die schon realisirte implizite
Fassung dieses Begriffs bereits erwiesen. Denn wenn wir, unabhängig von
den übrigen, jeden einzelnen z-Koeffizienten eliminiren können, so müssen
sich doch auch sämtliche z-Koeffizienten eliminiren lassen! Es eröffnet sich
sogar die Aussicht: durch „Auflösung“ gedachter Ähnlichkeitsbedingung
nach den Unbekannten a und b jedes mögliche Paar von gleichmächtigen
Mannigfaltigkeiten durch zwei arbiträre Parameter u and v dereinst aus-
drücken zu lernen. —
Haben wir nun mit dem Bisherigen vom Standpunkt unsrer Theorie
alles das mit erledigt, was in der Dedekind’schen Schrift über „ähn-
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 631. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/645>, abgerufen am 01.09.2024.
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