Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.§ 31. Argumentiren auf die Elemente. sich leichtlich umwandelt, indem z. B. aus dem Verschwinden des erstenGliedes folgt: z zn j 1', z ; z 1', etc. Dass ferner die beiden ersten Forderungen in (39) für obigen Zusammenhang zwischen z und x ohne weitres in die beiden letzten von (10) übergehen, haben wir schon S. 605 (wo nur unser jetziges x durch y vertreten war) gezeigt. Aus (39) folgt also (10), d. h.: gibt es ein x, welches inbezug auf gegebne Systeme a und b die Forderung (39) erfüllt, so gibt es auch ein z(= abx), welches inbezug auf ebendiese Systeme die Forderung (10) ja sogar (17) erfüllt. Umgekehrt: wenn irgend ein z der Bedingung (10) genügt, so muss Wir haben z ; 0' · z = 0, also auch z ; 0' · z bn. Nach unserm Satze 36) Das der normalen Ähnlichkeitsbedingung (17) genügende Abbil- Wir sind jetzt in der Lage, auch die Dedekind'schen Beweise zu Satz D 31, der für unsre Disziplin massgebenden Terminologie näher Ist x eine ähnliche Abbildung von a in b und y eine ähnliche Ab- Beweis. Denn verschiednen Elementen h, h' von a entsprechen als Ausserdem geht jedes Element l von c durch y in ein Element y ; l = k Die Bündigkeit dieser Beweisführung beruht, wie man sieht, wesent- § 31. Argumentiren auf die Elemente. sich leichtlich umwandelt, indem z. B. aus dem Verschwinden des erstenGliedes folgt: z ⋹ z̄ ɟ 1', z̆ ; z ⋹ 1', etc. Dass ferner die beiden ersten Forderungen in (39) für obigen Zusammenhang zwischen z und x ohne weitres in die beiden letzten von (10) übergehen, haben wir schon S. 605 (wo nur unser jetziges x durch y vertreten war) gezeigt. Aus (39) folgt also (10), d. h.: gibt es ein x, welches inbezug auf gegebne Systeme a und b die Forderung (39) erfüllt, so gibt es auch ein z(= ăbx), welches inbezug auf ebendiese Systeme die Forderung (10) ja sogar (17) erfüllt. Umgekehrt: wenn irgend ein z der Bedingung (10) genügt, so muss Wir haben z ; 0' · z = 0, also auch z ; 0' · z ⋹ b̄. Nach unserm Satze 36) Das der normalen Ähnlichkeitsbedingung (17) genügende Abbil- Wir sind jetzt in der Lage, auch die Dedekind’schen Beweise zu Satz D 31, der für unsre Disziplin massgebenden Terminologie näher Ist x eine ähnliche Abbildung von a in b und y eine ähnliche Ab- Beweis. Denn verschiednen Elementen h, h' von a entsprechen als Ausserdem geht jedes Element l von c durch y̆ in ein Element y̆ ; l = k Die Bündigkeit dieser Beweisführung beruht, wie man sieht, wesent- <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0635" n="621"/><fw place="top" type="header">§ 31. Argumentiren auf die Elemente.</fw><lb/> sich leichtlich umwandelt, indem z. B. aus dem Verschwinden des ersten<lb/> Gliedes folgt: <hi rendition="#i">z</hi> ⋹ <hi rendition="#i">z̄</hi> ɟ 1', <hi rendition="#i">z̆</hi> ; <hi rendition="#i">z</hi> ⋹ 1', etc. Dass ferner die beiden ersten<lb/> Forderungen in (39) für obigen Zusammenhang zwischen <hi rendition="#i">z</hi> und <hi rendition="#i">x</hi> ohne<lb/> weitres in die beiden letzten von (10) übergehen, haben wir schon S. 605<lb/> (wo nur unser jetziges <hi rendition="#i">x</hi> durch <hi rendition="#i">y</hi> vertreten war) gezeigt. 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§ 31. Argumentiren auf die Elemente.
sich leichtlich umwandelt, indem z. B. aus dem Verschwinden des ersten
Gliedes folgt: z ⋹ z̄ ɟ 1', z̆ ; z ⋹ 1', etc. Dass ferner die beiden ersten
Forderungen in (39) für obigen Zusammenhang zwischen z und x ohne
weitres in die beiden letzten von (10) übergehen, haben wir schon S. 605
(wo nur unser jetziges x durch y vertreten war) gezeigt. Aus (39) folgt
also (10), d. h.: gibt es ein x, welches inbezug auf gegebne Systeme a
und b die Forderung (39) erfüllt, so gibt es auch ein z(= ăbx), welches
inbezug auf ebendiese Systeme die Forderung (10) ja sogar (17) erfüllt.
Umgekehrt: wenn irgend ein z der Bedingung (10) genügt, so muss
x = z selbst auch der Bedingung (39) genügen, was inbezug auf deren
beide ersten Forderungen ersichtlich ist, bezüglich der letzten aber sich
wie folgt zeigen lässt.
Wir haben z ; 0' · z = 0, also auch z ; 0' · z ⋹ b̄. Nach unserm Satze 36)
ist dies äquivalent mit
z ; 0' ɟ 0 ⋹ b̄ und hieraus folgt a fortiori:
z ; 0'a ɟ 0 ⋹ b̄, d. h. (z ; 0'a ɟ 0)b = 0.
Und ganz ebenso zeigt man, dass auch (z̆ ; 0'b ɟ 0)a = 0 sein muss, q. e. d.
Das der normalen Ähnlichkeitsbedingung (17) genügende Abbil-
dungsprinzip z erfüllt hienach jedenfalls auch die in irgend einer andern
unsrer Fassungen für das Abbildungsprinzip (x oder y) ausgesprochnen
Bedingungen — aber nicht umgekehrt. —
Wir sind jetzt in der Lage, auch die Dedekind’schen Beweise zu
D 31, 33, 35 mit ihrer Argumentation auf die Elemente aufnehmen zu
können.
Satz D 31, der für unsre Disziplin massgebenden Terminologie näher
angepasst, lautet:
Ist x eine ähnliche Abbildung von a in b und y eine ähnliche Ab-
bildung von b in c, so ist die aus x und y zusammengesetzte Abbildung
z = y ; x eine ebenfalls ähnliche Abbildung von a in c.
Beweis. Denn verschiednen Elementen h, h' von a entsprechen als
Elemente von b verschiedne Bilder k = x ; h, k' = x ; h' und diesen wieder
als Elemente von c verschiedne Bilder l = y ; k = y ; x ; h, l' = y ; k' = y ; x ; h',
also ist z = y ; x eine ähnliche Abbildung von a in c.
Ausserdem geht jedes Element l von c durch y̆ in ein Element y̆ ; l = k
von b, und dieses durch x̆ in ein Element x̆ ; y̆ ; l = x̆ ; k = h von a über,
sodass uns z̆ = x̆ ; y̆ zugleich eine ähnliche Abbildung von c in a vorstellt.
Verschiednen Elementen von c müssen ja dergestalt auch verschiedne Ele-
mente von b resp. a als Bilder entsprechen, ansonst die umgekehrten
Schlüsse zu einem Widerspruch führen müssten. —
Die Bündigkeit dieser Beweisführung beruht, wie man sieht, wesent-
lich auf der Berechtigung: die Beziehung zwischen Bildelement und Objekt-
element vermittelst des Abbildungsprinzips in Gestalt einer Gleichung an-
zusetzen — was wir analytisch unter 26) sichergestellt haben.
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 621. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/635>, abgerufen am 02.09.2024. |