Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 31. Argumentiren auf die Elemente.

sich leichtlich umwandelt, indem z. B. aus dem Verschwinden des ersten
Gliedes folgt: z ⋹ z̄ ɟ 1', z̆ ; z ⋹ 1', etc. Dass ferner die beiden ersten
Forderungen in (39) für obigen Zusammenhang zwischen z und x ohne
weitres in die beiden letzten von (10) übergehen, haben wir schon S. 605
(wo nur unser jetziges x durch y vertreten war) gezeigt. Aus (39) folgt
also (10), d. h.: gibt es ein x, welches inbezug auf gegebne Systeme a
und b die Forderung (39) erfüllt, so gibt es auch ein z(= ăbx), welches
inbezug auf ebendiese Systeme die Forderung (10) ja sogar (17) erfüllt.

Umgekehrt: wenn irgend ein z der Bedingung (10) genügt, so muss
x = z selbst auch der Bedingung (39) genügen, was inbezug auf deren
beide ersten Forderungen ersichtlich ist, bezüglich der letzten aber sich
wie folgt zeigen lässt.

Wir haben z ; 0' · z = 0, also auch z ; 0' · z ⋹ b̄. Nach unserm Satze 36)
ist dies äquivalent mit
z ; 0' ɟ 0 ⋹ b̄ und hieraus folgt a fortiori:
z ; 0'a ɟ 0 ⋹ b̄, d. h. (z ; 0'a ɟ 0)b = 0.
Und ganz ebenso zeigt man, dass auch (z̆ ; 0'b ɟ 0)a = 0 sein muss, q. e. d.

Das der normalen Ähnlichkeitsbedingung (17) genügende Abbil-
dungsprinzip z erfüllt hienach jedenfalls auch die in irgend einer andern
unsrer Fassungen für das Abbildungsprinzip (x oder y) ausgesprochnen
Bedingungen — aber nicht umgekehrt. —

Wir sind jetzt in der Lage, auch die Dedekind’schen Beweise zu
D 31, 33, 35 mit ihrer Argumentation auf die Elemente aufnehmen zu
können.

Satz D 31, der für unsre Disziplin massgebenden Terminologie näher
angepasst, lautet:

Ist x eine ähnliche Abbildung von a in b und y eine ähnliche Ab-
bildung von b in c, so ist die aus x und y zusammengesetzte Abbildung
z = y ; x eine ebenfalls ähnliche Abbildung von a in c.

Beweis. Denn verschiednen Elementen h, h' von a entsprechen als
Elemente von b verschiedne Bilder k = x ; h, k' = x ; h' und diesen wieder
als Elemente von c verschiedne Bilder l = y ; k = y ; x ; h, l' = y ; k' = y ; x ; h',
also ist z = y ; x eine ähnliche Abbildung von a in c.

Ausserdem geht jedes Element l von c durch y̆ in ein Element y̆ ; l = k
von b, und dieses durch x̆ in ein Element x̆ ; y̆ ; l = x̆ ; k = h von a über,
sodass uns z̆ = x̆ ; y̆ zugleich eine ähnliche Abbildung von c in a vorstellt.
Verschiednen Elementen von c müssen ja dergestalt auch verschiedne Ele-
mente von b resp. a als Bilder entsprechen, ansonst die umgekehrten
Schlüsse zu einem Widerspruch führen müssten. —

Die Bündigkeit dieser Beweisführung beruht, wie man sieht, wesent-
lich auf der Berechtigung: die Beziehung zwischen Bildelement und Objekt-
element vermittelst des Abbildungsprinzips in Gestalt einer Gleichung an-
zusetzen — was wir analytisch unter 26) sichergestellt haben.