Anders verhält sich die Sache für a = b = c = 1. Da gilt wirklich: 37) (x ; 0' j 0 = 0)(y ; 0' j 0 = 0) (y ; x 0' j 0 = 0) -- wie man durch zeilenrechnerischen Erweis der ersten von den Äquivalenzen: 38) (a ; 0' j 0 = 0) = (aan j 1') = (a ; a 1') -- oder auch durch ihre Ableitung aus 36) mit der Annahme b = 0 -- am bequemsten dann so, wie S. 567 gezeigt, sieht. Gehört in der That nach einem ersten Prinzip zu jedem Element des Denkbereichs wiederum höchstens ein Element aus diesem ganzen Denkbereiche, ebenso nach einem zweiten Prinzip, so auch nach dem aus beiden zusammengesetzten Prinzipe.
Mit den Resultaten 32) bis 35) ist nun selbständig die folgende neue Fassung der Ähnlichkeitsforderung für a und b gewonnen:
[Formel 1]
, d. h. die Systeme a und b werden ähnlich zu nennen sein dann und nur dann, wenn es ein Abbildungsprinzip x gibt, das inbezug auf sie die Forderungen g1 bis g4 alle viere gleich- zeitig erfüllt. Wir haben also als die "sechste Fassung": (39)
[Formel 2]
.
Hatten wir zuerst, bei 1), die Ähnlichkeitsforderung imgrunde so ge- fasst: Zu jedem Element h von a soll es innerhalb b (mindestens) ein Element k geben, welches "einzig ein x-Bild von ihm, und von ihm allein" ist (und umgekehrt -- nur "x-Bild" gesagt), so leuchtet es zwar schon dem gemeinen Verstande ein: dass es daneben ein zweites Element k' von b nicht geben kann, welches "mehrzig" (d. h. neben andern) ein x-Bild von ihm (jenem h), oder auch von ihm und noch andern Elementen des a wäre. Und man fühlt oder glaubt zu fühlen, dass die frühere Fassung mit der diesmal formulirten doch wesentlich zusammenfallen muss, obwol letztre die betreffende Forderung nicht als abhängige (von gewissen Voraussetzungen) -- in einem Relativsatze -- sondern selbständig aufstellt. Allein mit solcher Intuition dürfen wir uns hier nicht zufrieden geben, müssen viel- mehr die Äquivalenz der letzten Fassung mit irgend einer der früheren Fassungen auch analytisch nachweisen.
Dies gelingt mittelst Zurückführung von (39) auf (10) oder (17) wie folgt. Wegen xab ; 0' = xb ; 0'ax ; 0'a und xabb folgt mit (x ; 0'a j 0)b = 0 a fortiori auch: (xab ; 0' j 0)xab = 0, und ebenso mit (x ; 0'b j 0)a = 0 auch (xab ; 0' j 0)xab = 0. Nennt man daher: xab = z, so lehrt die letzte Forderung in (39) dass: (z ; 0' j 0)z = 0 und (z ; 0' j 0)z = 0 ist. Nach 32) S. 216 ist aber allgemein (a ; 0' j 0)a = a ; 0' · a, mithin muss gelten z ; 0' · z + z ; 0' · z = 0, was in z ; z + z ; z 1'
Zwölfte Vorlesung.
Anders verhält sich die Sache für a = b = c = 1. Da gilt wirklich: 37) (x ; 0' ɟ 0 = 0)(y ; 0' ɟ 0 = 0) ⋹ (y ; x 0' ɟ 0 = 0) — wie man durch zeilenrechnerischen Erweis der ersten von den Äquivalenzen: 38) (a ; 0' ɟ 0 = 0) = (a ⋹ ā ɟ 1') = (ă ; a ⋹ 1') — oder auch durch ihre Ableitung aus 36) mit der Annahme b = 0 — am bequemsten dann so, wie S. 567 gezeigt, sieht. Gehört in der That nach einem ersten Prinzip zu jedem Element des Denkbereichs wiederum höchstens ein Element aus diesem ganzen Denkbereiche, ebenso nach einem zweiten Prinzip, so auch nach dem aus beiden zusammengesetzten Prinzipe.
Mit den Resultaten 32) bis 35) ist nun selbständig die folgende neue Fassung der Ähnlichkeitsforderung für a und b gewonnen:
[Formel 1]
, d. h. die Systeme a und b werden ähnlich zu nennen sein dann und nur dann, wenn es ein Abbildungsprinzip x gibt, das inbezug auf sie die Forderungen γ1 bis γ4 alle viere gleich- zeitig erfüllt. Wir haben also als die „sechste Fassung“: (39)
[Formel 2]
.
Hatten wir zuerst, bei 1), die Ähnlichkeitsforderung imgrunde so ge- fasst: Zu jedem Element h von a soll es innerhalb b (mindestens) ein Element k geben, welches „einzig ein x-Bild von ihm, und von ihm allein“ ist (und umgekehrt — nur „x̆-Bild“ gesagt), so leuchtet es zwar schon dem gemeinen Verstande ein: dass es daneben ein zweites Element k' von b nicht geben kann, welches „mehrzig“ (d. h. neben andern) ein x-Bild von ihm (jenem h), oder auch von ihm und noch andern Elementen des a wäre. Und man fühlt oder glaubt zu fühlen, dass die frühere Fassung mit der diesmal formulirten doch wesentlich zusammenfallen muss, obwol letztre die betreffende Forderung nicht als abhängige (von gewissen Voraussetzungen) — in einem Relativsatze — sondern selbständig aufstellt. Allein mit solcher Intuition dürfen wir uns hier nicht zufrieden geben, müssen viel- mehr die Äquivalenz der letzten Fassung mit irgend einer der früheren Fassungen auch analytisch nachweisen.
Dies gelingt mittelst Zurückführung von (39) auf (10) oder (17) wie folgt. Wegen xăb ; 0' = xb ; 0'a ⋹ x ; 0'a und xăb ⋹ b folgt mit (x ; 0'a ɟ 0)b = 0 a fortiori auch: (xăb ; 0' ɟ 0)xăb = 0, und ebenso mit (x̆ ; 0'b ɟ 0)a = 0 auch (x̆ab̆ ; 0' ɟ 0)x̆ab̆ = 0. Nennt man daher: xăb = z, so lehrt die letzte Forderung in (39) dass: (z ; 0' ɟ 0)z = 0 und (z̆ ; 0' ɟ 0)z̆ = 0 ist. Nach 32) S. 216 ist aber allgemein (a ; 0' ɟ 0)a = a ; 0' · a, mithin muss gelten z ; 0' · z + z̆ ; 0' · z̆ = 0, was in z ; z̆ + z̆ ; z ⋹ 1'
<TEI><text><body><divn="1"><divn="2"><pbfacs="#f0634"n="620"/><fwplace="top"type="header">Zwölfte Vorlesung.</fw><lb/><p>Anders verhält sich die Sache für <hirendition="#i">a</hi> = <hirendition="#i">b</hi> = <hirendition="#i">c</hi> = 1. Da gilt wirklich:<lb/>
37) <hirendition="#et">(<hirendition="#i">x</hi> ; 0' ɟ 0 = 0)(<hirendition="#i">y</hi> ; 0' ɟ 0 = 0) ⋹ (<hirendition="#i">y</hi> ; <hirendition="#i">x</hi> 0' ɟ 0 = 0)</hi><lb/>— wie man durch zeilenrechnerischen Erweis der ersten von den Äquivalenzen:<lb/>
38) <hirendition="#et">(<hirendition="#i">a</hi> ; 0' ɟ 0 = 0) = (<hirendition="#i">a</hi>⋹<hirendition="#i">ā</hi>ɟ 1') = (<hirendition="#i">ă</hi> ; <hirendition="#i">a</hi>⋹ 1')</hi><lb/>— oder auch durch ihre Ableitung aus 36) mit der Annahme <hirendition="#i">b</hi> = 0 —<lb/>
am bequemsten dann so, wie S. 567 gezeigt, sieht. Gehört in der That<lb/>
nach einem ersten Prinzip zu jedem Element des Denkbereichs wiederum<lb/>
höchstens ein Element aus diesem ganzen Denkbereiche, ebenso nach einem<lb/>
zweiten Prinzip, so auch nach dem aus beiden zusammengesetzten Prinzipe.</p><lb/><p>Mit den Resultaten 32) bis 35) ist nun selbständig die folgende<lb/>
neue Fassung der Ähnlichkeitsforderung für <hirendition="#i">a</hi> und <hirendition="#i">b</hi> gewonnen:<lb/><formula/>, d. h. die Systeme <hirendition="#i">a</hi> und <hirendition="#i">b</hi> werden ähnlich zu<lb/>
nennen sein dann und nur dann, wenn es ein Abbildungsprinzip <hirendition="#i">x</hi><lb/>
gibt, das inbezug auf sie die Forderungen <hirendition="#i">γ</hi><hirendition="#sub">1</hi> bis <hirendition="#i">γ</hi><hirendition="#sub">4</hi> alle viere gleich-<lb/>
zeitig erfüllt. Wir haben also als die „<hirendition="#g">sechste Fassung</hi>“:<lb/>
(39) <formula/>.</p><lb/><p>Hatten wir zuerst, bei 1), die Ähnlichkeitsforderung imgrunde so ge-<lb/>
fasst: Zu jedem Element <hirendition="#i">h</hi> von <hirendition="#i">a</hi> soll es innerhalb <hirendition="#i">b</hi> (mindestens) ein<lb/>
Element <hirendition="#i">k</hi> geben, <hirendition="#i">welches</hi>„<hirendition="#i">einzig</hi> ein <hirendition="#i">x</hi>-Bild von ihm, und <hirendition="#i">von ihm allein</hi>“<lb/>
ist (und umgekehrt — nur „<hirendition="#i">x̆</hi>-Bild“ gesagt), so leuchtet es zwar schon<lb/>
dem gemeinen Verstande ein: dass es daneben ein zweites Element <hirendition="#i">k</hi>' von <hirendition="#i">b</hi><lb/>
nicht geben kann, welches „mehrzig“ (d. h. neben andern) ein <hirendition="#i">x</hi>-Bild von<lb/>
ihm (jenem <hirendition="#i">h</hi>), oder auch von ihm und noch andern Elementen des <hirendition="#i">a</hi> wäre.<lb/>
Und man fühlt oder glaubt zu fühlen, dass die frühere Fassung mit der<lb/>
diesmal formulirten doch wesentlich zusammenfallen muss, obwol letztre<lb/>
die betreffende Forderung nicht als abhängige (von gewissen Voraussetzungen)<lb/>— in einem Relativsatze — sondern selbständig aufstellt. Allein mit<lb/>
solcher Intuition dürfen wir uns hier nicht zufrieden geben, müssen viel-<lb/>
mehr die Äquivalenz der letzten Fassung mit irgend einer der früheren<lb/>
Fassungen auch analytisch nachweisen.</p><lb/><p>Dies gelingt mittelst Zurückführung von (39) auf (10) oder (17) wie<lb/>
folgt. Wegen<lb/><hirendition="#c"><hirendition="#i">xăb</hi> ; 0' = <hirendition="#i">xb</hi> ; 0'<hirendition="#i">a</hi>⋹<hirendition="#i">x</hi> ; 0'<hirendition="#i">a</hi> und <hirendition="#i">xăb</hi>⋹<hirendition="#i">b</hi> folgt mit (<hirendition="#i">x</hi> ; 0'<hirendition="#i">a</hi>ɟ 0)<hirendition="#i">b</hi> = 0</hi><lb/>
a fortiori auch: (<hirendition="#i">xăb</hi> ; 0' ɟ 0)<hirendition="#i">xăb</hi> = 0, und ebenso mit (<hirendition="#i">x̆</hi> ; 0'<hirendition="#i">b</hi>ɟ 0)<hirendition="#i">a</hi> = 0<lb/>
auch (<hirendition="#i">x̆ab̆</hi> ; 0' ɟ 0)<hirendition="#i">x̆ab̆</hi> = 0. Nennt man daher:<lb/><hirendition="#c"><hirendition="#i">xăb</hi> = <hirendition="#i">z</hi>,</hi><lb/>
so lehrt die letzte Forderung in (39) dass:<lb/><hirendition="#c">(<hirendition="#i">z</hi> ; 0' ɟ 0)<hirendition="#i">z</hi> = 0 und (<hirendition="#i">z̆</hi> ; 0' ɟ 0)<hirendition="#i">z̆</hi> = 0</hi><lb/>
ist. Nach 32) S. 216 ist aber allgemein (<hirendition="#i">a</hi> ; 0' ɟ 0)<hirendition="#i">a</hi> = <hirendition="#i">a</hi> ; 0' · <hirendition="#i">a</hi>, mithin<lb/>
muss gelten<lb/><hirendition="#c"><hirendition="#i">z</hi> ; 0' · <hirendition="#i">z</hi> + <hirendition="#i">z̆</hi> ; 0' · <hirendition="#i">z̆</hi> = 0, was in <hirendition="#i">z</hi> ; <hirendition="#i">z̆</hi> + <hirendition="#i">z̆</hi> ; <hirendition="#i">z</hi>⋹ 1'</hi><lb/></p></div></div></body></text></TEI>
[620/0634]
Zwölfte Vorlesung.
Anders verhält sich die Sache für a = b = c = 1. Da gilt wirklich:
37) (x ; 0' ɟ 0 = 0)(y ; 0' ɟ 0 = 0) ⋹ (y ; x 0' ɟ 0 = 0)
— wie man durch zeilenrechnerischen Erweis der ersten von den Äquivalenzen:
38) (a ; 0' ɟ 0 = 0) = (a ⋹ ā ɟ 1') = (ă ; a ⋹ 1')
— oder auch durch ihre Ableitung aus 36) mit der Annahme b = 0 —
am bequemsten dann so, wie S. 567 gezeigt, sieht. Gehört in der That
nach einem ersten Prinzip zu jedem Element des Denkbereichs wiederum
höchstens ein Element aus diesem ganzen Denkbereiche, ebenso nach einem
zweiten Prinzip, so auch nach dem aus beiden zusammengesetzten Prinzipe.
Mit den Resultaten 32) bis 35) ist nun selbständig die folgende
neue Fassung der Ähnlichkeitsforderung für a und b gewonnen:
[FORMEL], d. h. die Systeme a und b werden ähnlich zu
nennen sein dann und nur dann, wenn es ein Abbildungsprinzip x
gibt, das inbezug auf sie die Forderungen γ1 bis γ4 alle viere gleich-
zeitig erfüllt. Wir haben also als die „sechste Fassung“:
(39) [FORMEL].
Hatten wir zuerst, bei 1), die Ähnlichkeitsforderung imgrunde so ge-
fasst: Zu jedem Element h von a soll es innerhalb b (mindestens) ein
Element k geben, welches „einzig ein x-Bild von ihm, und von ihm allein“
ist (und umgekehrt — nur „x̆-Bild“ gesagt), so leuchtet es zwar schon
dem gemeinen Verstande ein: dass es daneben ein zweites Element k' von b
nicht geben kann, welches „mehrzig“ (d. h. neben andern) ein x-Bild von
ihm (jenem h), oder auch von ihm und noch andern Elementen des a wäre.
Und man fühlt oder glaubt zu fühlen, dass die frühere Fassung mit der
diesmal formulirten doch wesentlich zusammenfallen muss, obwol letztre
die betreffende Forderung nicht als abhängige (von gewissen Voraussetzungen)
— in einem Relativsatze — sondern selbständig aufstellt. Allein mit
solcher Intuition dürfen wir uns hier nicht zufrieden geben, müssen viel-
mehr die Äquivalenz der letzten Fassung mit irgend einer der früheren
Fassungen auch analytisch nachweisen.
Dies gelingt mittelst Zurückführung von (39) auf (10) oder (17) wie
folgt. Wegen
xăb ; 0' = xb ; 0'a ⋹ x ; 0'a und xăb ⋹ b folgt mit (x ; 0'a ɟ 0)b = 0
a fortiori auch: (xăb ; 0' ɟ 0)xăb = 0, und ebenso mit (x̆ ; 0'b ɟ 0)a = 0
auch (x̆ab̆ ; 0' ɟ 0)x̆ab̆ = 0. Nennt man daher:
xăb = z,
so lehrt die letzte Forderung in (39) dass:
(z ; 0' ɟ 0)z = 0 und (z̆ ; 0' ɟ 0)z̆ = 0
ist. Nach 32) S. 216 ist aber allgemein (a ; 0' ɟ 0)a = a ; 0' · a, mithin
muss gelten
z ; 0' · z + z̆ ; 0' · z̆ = 0, was in z ; z̆ + z̆ ; z ⋹ 1'
Informationen zur CAB-Ansicht
Diese Ansicht bietet Ihnen die Darstellung des Textes in normalisierter Orthographie.
Diese Textvariante wird vollautomatisch erstellt und kann aufgrund dessen auch Fehler enthalten.
Alle veränderten Wortformen sind grau hinterlegt. Als fremdsprachliches Material erkannte
Textteile sind ausgegraut dargestellt.
Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 620. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/634>, abgerufen am 02.09.2024.
Alle Inhalte dieser Seite unterstehen, soweit nicht anders gekennzeichnet, einer
Creative-Commons-Lizenz.
Die Rechte an den angezeigten Bilddigitalisaten, soweit nicht anders gekennzeichnet, liegen bei den besitzenden Bibliotheken.
Weitere Informationen finden Sie in den DTA-Nutzungsbedingungen.
Insbesondere im Hinblick auf die §§ 86a StGB und 130 StGB wird festgestellt, dass die auf
diesen Seiten abgebildeten Inhalte weder in irgendeiner Form propagandistischen Zwecken
dienen, oder Werbung für verbotene Organisationen oder Vereinigungen darstellen, oder
nationalsozialistische Verbrechen leugnen oder verharmlosen, noch zum Zwecke der
Herabwürdigung der Menschenwürde gezeigt werden.
Die auf diesen Seiten abgebildeten Inhalte (in Wort und Bild) dienen im Sinne des
§ 86 StGB Abs. 3 ausschließlich historischen, sozial- oder kulturwissenschaftlichen
Forschungszwecken. Ihre Veröffentlichung erfolgt in der Absicht, Wissen zur Anregung
der intellektuellen Selbstständigkeit und Verantwortungsbereitschaft des Staatsbürgers zu
vermitteln und damit der Förderung seiner Mündigkeit zu dienen.
Zitierempfehlung: Deutsches Textarchiv. Grundlage für ein Referenzkorpus der neuhochdeutschen Sprache. Herausgegeben von der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften, Berlin 2024. URL: https://www.deutschestextarchiv.de/.