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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Zwölfte Vorlesung.

32) [Formel 1]

Man findet dann (siehe Kontext weiter unten):
33) [Formel 2]

Doch lassen sich für g2 und g4 alsbald auch noch die einfacheren
Ausdrucksformen gewinnen:
34) [Formel 3]
oder auch:
35) [Formel 4]

Begründung. Diese braucht nur für g1 und g2 selbständig gegeben
zu werden, weil aus den für diese beiden Bedingungen erlangten Aus-
drucksformen und Sätzen diejenigen für g3 und g4 durch die Vertauschung
von a, h, m, x mit resp. b, k, n, x hervorgehn, wie ein Blick auf 32)
erkennen lässt, sobald man sich bei g3 und g4 die Aussagen k x ; h und
k x ; m in die damit äquivalenten h x ; k und m x ; k umgeschrieben
denkt.

Nach 32) haben wir nun in den Koeffizienten:

g1 = Ph(ah Skbkxk h) = Ph(anh + Skbk hxk h) = Pi h{anh i + (1 ; bx)i h} =
= Pi h(an + 1 ; bx)i h = 0 j (an + 1 ; bx) j 0 = (an + 1 ; bx) j 0 = b ; x j an =
= an j x ; b = (1 an j x ; b) = (a ; 1 x ; b) = (a x ; b),

g2 = Ph k n(ahbkxk hbn0'n k xnn h) = Ph k{anh + bnk + xnk h + Pn(bnn + 1'k n + xnn h)} =
= Ph k[anh k + (bn + xn)k h + {1' j (bn + xn)}k h] = Pk h{an + bn + xn + 1' j (bn + xn)}k h =
= 0 j {an + bn + xn + 1' j (bn + xn)} j 0 = bn j {xn + 1' j (bn + xn)} j an =
= an j {(xn + bn) j 1' + xn} j bn = (1 idem) = {a ; 1 ; b = ab (xn + bn) j 1' + xn} =
= (xb ; 0' · xba = 0)

q. e. d. das heisst: es sind damit die Angaben 33) erwiesen.

Zwölfte Vorlesung.

32) [Formel 1]

Man findet dann (siehe Kontext weiter unten):
33) [Formel 2]

Doch lassen sich für γ2 und γ4 alsbald auch noch die einfacheren
Ausdrucksformen gewinnen:
34) [Formel 3]
oder auch:
35) [Formel 4]

Begründung. Diese braucht nur für γ1 und γ2 selbständig gegeben
zu werden, weil aus den für diese beiden Bedingungen erlangten Aus-
drucksformen und Sätzen diejenigen für γ3 und γ4 durch die Vertauschung
von a, h, m, x mit resp. b, k, n, x̆ hervorgehn, wie ein Blick auf 32)
erkennen lässt, sobald man sich bei γ3 und γ4 die Aussagen k ⋹ x ; h und
k ⋹ x ; m in die damit äquivalenten h ⋹ x̆ ; k und m ⋹ x̆ ; k umgeschrieben
denkt.

Nach 32) haben wir nun in den Koeffizienten:

γ1 = Πh(ah ⋹ Σkbkxk h) = Πh(āh + Σkbk hxk h) = Πi h{āh i + (1 ; bx)i h} =
= Πi h(ā̆ + 1 ; bx)i h = 0 ɟ (ā̆ + 1 ; bx) ɟ 0 = (ā̆ + 1 ; bx) ɟ 0 = b̆ ; x ɟ ā =
= ā̆ ɟ x̆ ; b = (1 ⋹ ā̆ ɟ x̆ ; b) = (a ; 1 ⋹ x̆ ; b) = (a ⋹ x̆ ; b),

γ2 = Πh k n(ahbkxk hbn0'n k ⋹ x̄n h) = Πh k{āh + b̄k + x̄k h + Πn(b̄n + 1'k n + x̄n h)} =
= Πh k[āh k + (b̄ + x̄)k h + {1' ɟ (b̄ + x̄)}k h] = Πk h{ā̆ + b̄ + x̄ + 1' ɟ (b̄ + x̄)}k h =
= 0 ɟ {ā̆ + b̄ + x̄ + 1' ɟ (b̄ + x̄)} ɟ 0 = b̄̆ ɟ {x̄ + 1' ɟ (b̄ + x̄)} ɟ ā =
= ā̆ ɟ {(x̄̆ + b̄̆) ɟ 1' + x̄̆} ɟ b̄ = (1 ⋹ idem) = {a ; 1 ; b̆ = ab̆ ⋹ (x̄̆ + b̄̆) ɟ 1' + x̄̆} =
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q. e. d. das heisst: es sind damit die Angaben 33) erwiesen.

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[618/0632] Zwölfte Vorlesung. 32) [FORMEL] Man findet dann (siehe Kontext weiter unten): 33) [FORMEL] Doch lassen sich für γ2 und γ4 alsbald auch noch die einfacheren Ausdrucksformen gewinnen: 34) [FORMEL] oder auch: 35) [FORMEL] Begründung. Diese braucht nur für γ1 und γ2 selbständig gegeben zu werden, weil aus den für diese beiden Bedingungen erlangten Aus- drucksformen und Sätzen diejenigen für γ3 und γ4 durch die Vertauschung von a, h, m, x mit resp. b, k, n, x̆ hervorgehn, wie ein Blick auf 32) erkennen lässt, sobald man sich bei γ3 und γ4 die Aussagen k ⋹ x ; h und k ⋹ x ; m in die damit äquivalenten h ⋹ x̆ ; k und m ⋹ x̆ ; k umgeschrieben denkt. Nach 32) haben wir nun in den Koeffizienten: γ1 = Πh(ah ⋹ Σkbkxk h) = Πh(āh + Σkbk hxk h) = Πi h{āh i + (1 ; bx)i h} = = Πi h(ā̆ + 1 ; bx)i h = 0 ɟ (ā̆ + 1 ; bx) ɟ 0 = (ā̆ + 1 ; bx) ɟ 0 = b̆ ; x ɟ ā = = ā̆ ɟ x̆ ; b = (1 ⋹ ā̆ ɟ x̆ ; b) = (a ; 1 ⋹ x̆ ; b) = (a ⋹ x̆ ; b), γ2 = Πh k n(ahbkxk hbn0'n k ⋹ x̄n h) = Πh k{āh + b̄k + x̄k h + Πn(b̄n + 1'k n + x̄n h)} = = Πh k[āh k + (b̄ + x̄)k h + {1' ɟ (b̄ + x̄)}k h] = Πk h{ā̆ + b̄ + x̄ + 1' ɟ (b̄ + x̄)}k h = = 0 ɟ {ā̆ + b̄ + x̄ + 1' ɟ (b̄ + x̄)} ɟ 0 = b̄̆ ɟ {x̄ + 1' ɟ (b̄ + x̄)} ɟ ā = = ā̆ ɟ {(x̄̆ + b̄̆) ɟ 1' + x̄̆} ɟ b̄ = (1 ⋹ idem) = {a ; 1 ; b̆ = ab̆ ⋹ (x̄̆ + b̄̆) ɟ 1' + x̄̆} = = (x̆b̆ ; 0' · x̆b̆a = 0) q. e. d. das heisst: es sind damit die Angaben 33) erwiesen.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 618. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/632>, abgerufen am 27.11.2024.

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