Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.Zwölfte Vorlesung. b = z ; 1 = z ; 0' + z z ; 0' + 1 ; z = z ; 0' + a,a = z ; 1 = z ; 0' + z z ; 0' + 1 ; z = z ; 0' + b, q. e. d. Diese Beweise von 24), 25) müssen als befriedigende anerkannt werden. [Um möglichst versirt zu sein, formulire man diese Behauptungen Was endlich 26) betrifft, so möge die Thesis der Aussagensubsumtion Die beiden ersten 26a) verstehen sich wegen ab b und a aus 25a) Man kann auch so nachweisen, dass unser Z über 26a) die Eigen- In seiner Erklärung D 26 der ähnlichen Abbildung von a (in b) Zwölfte Vorlesung. b = z ; 1 = z ; 0' + z ⋹ z ; 0' + 1 ; z = z ; 0' + ă,a = z̆ ; 1 = z̆ ; 0' + z̆ ⋹ z̆ ; 0' + 1 ; z̆ = z̆ ; 0' + b̆, q. e. d. Diese Beweise von 24), 25) müssen als befriedigende anerkannt werden. [Um möglichst versirt zu sein, formulire man diese Behauptungen Was endlich 26) betrifft, so möge die Thesis der Aussagensubsumtion Die beiden ersten 26α) verstehen sich wegen ăb ⋹ b und ⋹ ă aus 25α) Man kann auch so nachweisen, dass unser Z über 26α) die Eigen- In seiner Erklärung D 26 der ähnlichen Abbildung von a (in b) <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <p><pb facs="#f0628" n="614"/><fw place="top" type="header">Zwölfte Vorlesung.</fw><lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">z</hi> ; 1 = <hi rendition="#i">z</hi> ; 0' + <hi rendition="#i">z</hi> ⋹ <hi rendition="#i">z</hi> ; 0' + 1 ; <hi rendition="#i">z</hi> = <hi rendition="#i">z</hi> ; 0' + <hi rendition="#i">ă</hi>,<lb/><hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">z̆</hi> ; 1 = <hi rendition="#i">z̆</hi> ; 0' + <hi rendition="#i">z̆</hi> ⋹ <hi rendition="#i">z̆</hi> ; 0' + 1 ; <hi rendition="#i">z̆</hi> = <hi rendition="#i">z̆</hi> ; 0' + <hi rendition="#i">b̆</hi>,</hi><lb/> q. e. d. Diese Beweise von 24), 25) müssen als befriedigende anerkannt<lb/> werden.</p><lb/> <p>[Um möglichst versirt zu sein, formulire man diese Behauptungen<lb/> auch unter Benutzung des Schemas <hi rendition="#i">ξ</hi>) statt <hi rendition="#i">ο</hi>) des § 30). Man findet auf<lb/> Umwegen und unter Benutzung leicht erweislicher Hülfssätze, wie<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">i</hi></hi>(<hi rendition="#i">ĭ</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">ī̆</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi>) = 0 ɟ (<hi rendition="#i">a</hi> + 0' ; <hi rendition="#i">b</hi>), <hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">i</hi>a</hi> ; <hi rendition="#i">i</hi> = <hi rendition="#i">a</hi> ɟ 0</hi><lb/> dieselben ausgezeichneten Relative, wie oben.]</p><lb/> <p>Was endlich 26) betrifft, so möge die Thesis der Aussagensubsumtion<lb/> hinter dem <hi rendition="#i">Π</hi>zeichen <hi rendition="#i">Z<hi rendition="#sub">k h</hi></hi> genannt werden. Dann soll gezeigt werden, dass:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">h k</hi></hi>(<hi rendition="#i">a<hi rendition="#sub">h</hi>b<hi rendition="#sub">k</hi></hi>⋹<hi rendition="#i">Z<hi rendition="#sub">k h</hi></hi>), = <hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">h k</hi></hi>(<hi rendition="#i">ā<hi rendition="#sub">h</hi></hi> + <hi rendition="#i">b̄<hi rendition="#sub">k</hi></hi> + <hi rendition="#i">Z<hi rendition="#sub">k h</hi></hi>) = <hi rendition="#i">Π<hi rendition="#sub">k h</hi></hi>(<hi rendition="#i">ā̆</hi> + <hi rendition="#i">b̄</hi> + <hi rendition="#i">Z</hi>)<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">k h</hi></hi> =<lb/> = 0 ɟ (<hi rendition="#i">ā̆</hi> + <hi rendition="#i">b̄</hi> + <hi rendition="#i">Z</hi>) ɟ 0 = <hi rendition="#i">b̄̆</hi> ɟ <hi rendition="#i">Z</hi> ɟ <hi rendition="#i">ā</hi> = (<hi rendition="#i">b</hi> ; 1 ; <hi rendition="#i">ă</hi> ⋹ <hi rendition="#i">Z</hi>) = (<hi rendition="#i">ăb</hi> ɟ <hi rendition="#i">Z</hi>).</hi><lb/> Für <hi rendition="#i">Z</hi> können wir nun nach <hi rendition="#i">φ</hi><hi rendition="#sub">6</hi>) des § 30 das alle übrigen unter den<lb/> Chiffren <hi rendition="#i">φ</hi>) ebenda in sich zusammenfassende Relativ nehmen:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">Z</hi> = <hi rendition="#i">z</hi> ; 0' · <hi rendition="#i">z̄</hi> · 0' ; <hi rendition="#i">z</hi> + (<hi rendition="#i">z̄</hi> ɟ 1')<hi rendition="#i">z</hi>(1' ɟ <hi rendition="#i">z̄</hi>) = <hi rendition="#i">z</hi> ; 1 ; <hi rendition="#i">z</hi> · {<hi rendition="#i">z̄</hi> + (<hi rendition="#i">z̄</hi> ɟ 1')(1' ɟ <hi rendition="#i">z̄</hi>)}.</hi><lb/> Alsdann zerfällt die Behauptung <hi rendition="#i">ăb</hi> ⋹ <hi rendition="#i">Z</hi> in:<lb/> 26<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">α</hi></hi>) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">ăb</hi>⋹<hi rendition="#i">z</hi> · 1, <hi rendition="#i">ăb</hi> ⋹ 1 ; <hi rendition="#i">z</hi>, <hi rendition="#i">ăb</hi> ⋹ <hi rendition="#i">z̄</hi> ɟ 1' + <hi rendition="#i">z̄</hi>, <hi rendition="#i">ăb</hi> ⋹ <hi rendition="#i">z̄</hi> + 1' ɟ <hi rendition="#i">z̄</hi>,</hi><lb/> welche Teilforderungen man auch erhält, wenn man <hi rendition="#i">Z</hi> identifizirt mit den<lb/> ersten vier der 6 Relative <hi rendition="#i">φ</hi>) § 30 — immer <hi rendition="#i">z</hi> für das dortige <hi rendition="#i">a</hi> gesagt.<lb/> Durch deren zwei letzte kommt noch hinzu:<lb/> 26<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">β</hi></hi>) <hi rendition="#et"><hi rendition="#i">ăb</hi>⋹<hi rendition="#i">z̄</hi> ɟ 1' + 0' ; <hi rendition="#i">z</hi>, <hi rendition="#i">ăb</hi> ⋹ <hi rendition="#i">z</hi> ; 0' + 1' ɟ <hi rendition="#i">z̄</hi>,</hi><lb/> und sollen alle 6 Relationen sofort aus den in der normalen Ähnlichkeits-<lb/> bedingung (17) über <hi rendition="#i">z</hi> enthaltnen Voraussetzungen direkt gerechtfertigt<lb/> werden.</p><lb/> <p>Die beiden ersten 26<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">α</hi></hi>) verstehen sich wegen <hi rendition="#i">ăb</hi> ⋹ <hi rendition="#i">b</hi> und ⋹ <hi rendition="#i">ă</hi> aus 25<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">α</hi></hi>)<lb/> von selbst, die beiden letzten 26<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">α</hi></hi>) daraus, weil ihr Prädikat nach der<lb/> Charakteristik <hi rendition="#i">z</hi> ⋹ <hi rendition="#i">z̄</hi> ɟ 1', etc. von <hi rendition="#i">z</hi> gleich 1 sich erweist. Endlich von den<lb/> beiden 26<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">β</hi></hi>) als <hi rendition="#i">ăb</hi> · <hi rendition="#i">z</hi> ; 0' ⋹ 0' ; <hi rendition="#i">z</hi>, <hi rendition="#i">ăb</hi> · 0' ; <hi rendition="#i">z</hi> ⋹ <hi rendition="#i">z</hi> ; 0' ist die erste wegen 25<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">α</hi></hi>)<lb/> äquivalent mit:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">z</hi> ; 1 · 1 ; <hi rendition="#i">z</hi> · <hi rendition="#i">z</hi> ; 0' = <hi rendition="#i">z</hi> ; 0' · 1 ; <hi rendition="#i">z</hi> = <hi rendition="#i">z</hi> ; 0' · (<hi rendition="#i">z</hi> + 0' ; <hi rendition="#i">z</hi>) = <hi rendition="#i">z</hi> ; 0' · 0' ; <hi rendition="#i">z</hi> ⋹ 0' ; <hi rendition="#i">z</hi></hi><lb/> — weil auch <hi rendition="#i">z</hi> ; 0' · <hi rendition="#i">z</hi> = 0 gewesen; ebenso die zweite mit <hi rendition="#i">z</hi> ; 0' · 0' ; <hi rendition="#i">z</hi> ⋹ <hi rendition="#i">z</hi> ; 0' —<lb/> was ersichtlich, q. e. d.</p><lb/> <p>Man kann auch so nachweisen, dass unser <hi rendition="#i">Z</hi> über 26<hi rendition="#i"><hi rendition="#sub">α</hi></hi>) die Eigen-<lb/> schaft hat dass <hi rendition="#i">Z</hi> ⋹ (<hi rendition="#i">z</hi> ; 0' + 1' ɟ <hi rendition="#i">z̄</hi>)(<hi rendition="#i">z̄</hi> ɟ 1' + 0' ; <hi rendition="#i">z</hi>), also <hi rendition="#i">Z</hi> = <hi rendition="#i">Z</hi> mal der rechten<lb/> Seite ist: Wir müssen haben <hi rendition="#i">Z</hi> · (<hi rendition="#i">z̄</hi> ɟ 1') · 0' ; <hi rendition="#i">z</hi> = 0, denn wegen Zusammen-<lb/> treffens von 1' ɟ <hi rendition="#i">z̄</hi> mit 0' ; <hi rendition="#i">z</hi> fällt zunächst das zweite Glied von <hi rendition="#i">Z</hi> weg und<lb/> in der einen angegebnen Form des ersten trifft dann noch <hi rendition="#i">z</hi> ; 1 · <hi rendition="#i">z̄</hi> = <hi rendition="#i">z</hi> ; 0' · <hi rendition="#i">z̄</hi><lb/> mit <hi rendition="#i">z̄</hi> ɟ 1' zusammen. 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Zwölfte Vorlesung.
b = z ; 1 = z ; 0' + z ⋹ z ; 0' + 1 ; z = z ; 0' + ă,
a = z̆ ; 1 = z̆ ; 0' + z̆ ⋹ z̆ ; 0' + 1 ; z̆ = z̆ ; 0' + b̆,
q. e. d. Diese Beweise von 24), 25) müssen als befriedigende anerkannt
werden.
[Um möglichst versirt zu sein, formulire man diese Behauptungen
auch unter Benutzung des Schemas ξ) statt ο) des § 30). Man findet auf
Umwegen und unter Benutzung leicht erweislicher Hülfssätze, wie
Πi(ĭ ; a + ī̆ ; b) = 0 ɟ (a + 0' ; b), Πia ; i = a ɟ 0
dieselben ausgezeichneten Relative, wie oben.]
Was endlich 26) betrifft, so möge die Thesis der Aussagensubsumtion
hinter dem Πzeichen Zk h genannt werden. Dann soll gezeigt werden, dass:
Πh k(ahbk⋹Zk h), = Πh k(āh + b̄k + Zk h) = Πk h(ā̆ + b̄ + Z)k h =
= 0 ɟ (ā̆ + b̄ + Z) ɟ 0 = b̄̆ ɟ Z ɟ ā = (b ; 1 ; ă ⋹ Z) = (ăb ɟ Z).
Für Z können wir nun nach φ6) des § 30 das alle übrigen unter den
Chiffren φ) ebenda in sich zusammenfassende Relativ nehmen:
Z = z ; 0' · z̄ · 0' ; z + (z̄ ɟ 1')z(1' ɟ z̄) = z ; 1 ; z · {z̄ + (z̄ ɟ 1')(1' ɟ z̄)}.
Alsdann zerfällt die Behauptung ăb ⋹ Z in:
26α) ăb⋹z · 1, ăb ⋹ 1 ; z, ăb ⋹ z̄ ɟ 1' + z̄, ăb ⋹ z̄ + 1' ɟ z̄,
welche Teilforderungen man auch erhält, wenn man Z identifizirt mit den
ersten vier der 6 Relative φ) § 30 — immer z für das dortige a gesagt.
Durch deren zwei letzte kommt noch hinzu:
26β) ăb⋹z̄ ɟ 1' + 0' ; z, ăb ⋹ z ; 0' + 1' ɟ z̄,
und sollen alle 6 Relationen sofort aus den in der normalen Ähnlichkeits-
bedingung (17) über z enthaltnen Voraussetzungen direkt gerechtfertigt
werden.
Die beiden ersten 26α) verstehen sich wegen ăb ⋹ b und ⋹ ă aus 25α)
von selbst, die beiden letzten 26α) daraus, weil ihr Prädikat nach der
Charakteristik z ⋹ z̄ ɟ 1', etc. von z gleich 1 sich erweist. Endlich von den
beiden 26β) als ăb · z ; 0' ⋹ 0' ; z, ăb · 0' ; z ⋹ z ; 0' ist die erste wegen 25α)
äquivalent mit:
z ; 1 · 1 ; z · z ; 0' = z ; 0' · 1 ; z = z ; 0' · (z + 0' ; z) = z ; 0' · 0' ; z ⋹ 0' ; z
— weil auch z ; 0' · z = 0 gewesen; ebenso die zweite mit z ; 0' · 0' ; z ⋹ z ; 0' —
was ersichtlich, q. e. d.
Man kann auch so nachweisen, dass unser Z über 26α) die Eigen-
schaft hat dass Z ⋹ (z ; 0' + 1' ɟ z̄)(z̄ ɟ 1' + 0' ; z), also Z = Z mal der rechten
Seite ist: Wir müssen haben Z · (z̄ ɟ 1') · 0' ; z = 0, denn wegen Zusammen-
treffens von 1' ɟ z̄ mit 0' ; z fällt zunächst das zweite Glied von Z weg und
in der einen angegebnen Form des ersten trifft dann noch z ; 1 · z̄ = z ; 0' · z̄
mit z̄ ɟ 1' zusammen. Etc. q. e. d.
In seiner Erklärung D 26 der ähnlichen Abbildung von a (in b)
hat Dedekind das Wesen derselben, wodurch sie sich vor der blos
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 614. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/628>, abgerufen am 03.09.2024. |