ca = z ; b = z ; d + z ; dnbz ; d + z ; dnz ; d + cn und mit cz ; d + cn ist denn in der That gerechtfertigt dass: cz ; d.
In Zusammenstellung der gewonnenen Schlüsse haben wir also: db und (z ; z + z ; z 1')(c = z ; d)(d = z ; c), d. h. cd, q. e. d. Die in der normalen Ähnlichkeitsbedingung für c und d vorgesehene Adventivforderung zcd ist durch das bisherige z, welches a und b "normal" aufeinander abbildet, nicht erfüllt. Will man auch ihr genügen, so braucht man blos cdz als ein neues z einzuführen. --
Dass für die mit z, z ähnlich aufeinander abgebildeten gleichmächtigen Systeme a und b mit 23) ca und z ; c = d immer z ; d = c und db -- sowie umgekehrt*) -- gegeben ist, thut man vielleicht gut, sich als Korollar des Satzes noch besonders zu merken. --
Bei dem zweiten Satze, 22), tritt einfach zur Hypothesis von 21) noch die Annahme ca als ein Aussagenfaktor hinzu, und ebenso zur Thesis hinter dem Summenzeichen noch die Behauptung db.
Diese kann leicht apagogisch bewiesen werden. Wäre nämlich d = b, so hätten wir mit z ; c = d nach Obigem auch c = z ; b = a also c = a im Widerspruch gegen die Annahme.
Auch die vorstehenden Beweise differiren wesentlich von denen Dede- kind's zu D 35 -- auf die wir weiter unten S. 622 auch noch eingehen wollen.
Mit dem Bisherigen jedoch erscheinen bereits die wichtigsten Sätze dieses Autors über ähnliche Abbildung und ähnliche Systeme -- diejenigen, denen die andern blos zur Vorbereitung dienten -- aus dem eingangs ab- gegrenzten Teile seiner Schrift in unsre Disziplin aufgenommen und in ihrem Geiste gerechtfertigt, legitimirt! Nichtsdestoweniger haben wir noch eine ganze Reihe von Studien zu der Materie beizubringen.
Um bei jeder ähnlichen Abbildung "Argumentationen auf die Ele- mente" zu erleichtern oder für unsre Disziplin zu legitimiren, dürften -- in Ergänzung zu 42) des § 30 -- die folgenden Betrachtungen von Belang sein.
Unter den in (17) statuirten Voraussetzungen gilt: 24)
[Formel 1]
wo die Subsumtion der zweiten Zeile blos als äquivalente Form der darüberstehenden in Erinnerung gebracht sein soll.
*) Die Umkehrung folgt -- wofern man nicht zu den gegebnen völlig analoge Schlüsse durchführen will -- aus der Symmetrie der Prämissen hinsichtlich der Relative b, d, z und a, c, z.
39*
§ 31. Sätze über ähnliche Systeme.
c⋹a = z̆ ; b = z̆ ; d + z̆ ; d̄b ⋹ z̆ ; d + z̆ ; d̄ ⋹ z̆ ; d + c̄ und mit c ⋹ z̆ ; d + c̄ ist denn in der That gerechtfertigt dass: c⋹z̆ ; d.
In Zusammenstellung der gewonnenen Schlüsse haben wir also: d⋹b und (z ; z̆ + z̆ ; z ⋹ 1')(c = z̆ ; d)(d = z ; c), d. h. c ∽ d, q. e. d. Die in der normalen Ähnlichkeitsbedingung für c und d vorgesehene Adventivforderung z ⋹ c̆d ist durch das bisherige z, welches a und b „normal“ aufeinander abbildet, nicht erfüllt. Will man auch ihr genügen, so braucht man blos c̆dz als ein neues z einzuführen. —
Dass für die mit z, z̆ ähnlich aufeinander abgebildeten gleichmächtigen Systeme a und b mit 23) c⋹a und z ; c = d immer z̆ ; d = c und d ⋹ b — sowie umgekehrt*) — gegeben ist, thut man vielleicht gut, sich als Korollar des Satzes noch besonders zu merken. —
Bei dem zweiten Satze, 22), tritt einfach zur Hypothesis von 21) noch die Annahme c ≠ a als ein Aussagenfaktor hinzu, und ebenso zur Thesis hinter dem Summenzeichen noch die Behauptung d ≠ b.
Diese kann leicht apagogisch bewiesen werden. Wäre nämlich d = b, so hätten wir mit z ; c = d nach Obigem auch c = z̆ ; b = a also c = a im Widerspruch gegen die Annahme.
Auch die vorstehenden Beweise differiren wesentlich von denen Dede- kind’s zu D 35 — auf die wir weiter unten S. 622 auch noch eingehen wollen.
Mit dem Bisherigen jedoch erscheinen bereits die wichtigsten Sätze dieses Autors über ähnliche Abbildung und ähnliche Systeme — diejenigen, denen die andern blos zur Vorbereitung dienten — aus dem eingangs ab- gegrenzten Teile seiner Schrift in unsre Disziplin aufgenommen und in ihrem Geiste gerechtfertigt, legitimirt! Nichtsdestoweniger haben wir noch eine ganze Reihe von Studien zu der Materie beizubringen.
Um bei jeder ähnlichen Abbildung „Argumentationen auf die Ele- mente“ zu erleichtern oder für unsre Disziplin zu legitimiren, dürften — in Ergänzung zu 42) des § 30 — die folgenden Betrachtungen von Belang sein.
Unter den in (17) statuirten Voraussetzungen gilt: 24)
[Formel 1]
wo die Subsumtion der zweiten Zeile blos als äquivalente Form der darüberstehenden in Erinnerung gebracht sein soll.
*) Die Umkehrung folgt — wofern man nicht zu den gegebnen völlig analoge Schlüsse durchführen will — aus der Symmetrie der Prämissen hinsichtlich der Relative b, d, z und a, c, z̆.
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[611/0625]
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und mit c ⋹ z̆ ; d + c̄ ist denn in der That gerechtfertigt dass:
c⋹z̆ ; d.
In Zusammenstellung der gewonnenen Schlüsse haben wir also:
d⋹b und (z ; z̆ + z̆ ; z ⋹ 1')(c = z̆ ; d)(d = z ; c), d. h. c ∽ d,
q. e. d. Die in der normalen Ähnlichkeitsbedingung für c und d vorgesehene
Adventivforderung z ⋹ c̆d ist durch das bisherige z, welches a und b
„normal“ aufeinander abbildet, nicht erfüllt. Will man auch ihr genügen,
so braucht man blos c̆dz als ein neues z einzuführen. —
Dass für die mit z, z̆ ähnlich aufeinander abgebildeten gleichmächtigen
Systeme a und b mit
23) c⋹a und z ; c = d immer z̆ ; d = c und d ⋹ b
— sowie umgekehrt *) — gegeben ist, thut man vielleicht gut, sich als
Korollar des Satzes noch besonders zu merken. —
Bei dem zweiten Satze, 22), tritt einfach zur Hypothesis von 21) noch
die Annahme c ≠ a als ein Aussagenfaktor hinzu, und ebenso zur Thesis
hinter dem Summenzeichen noch die Behauptung d ≠ b.
Diese kann leicht apagogisch bewiesen werden. Wäre nämlich d = b,
so hätten wir mit z ; c = d nach Obigem auch c = z̆ ; b = a also c = a im
Widerspruch gegen die Annahme.
Auch die vorstehenden Beweise differiren wesentlich von denen Dede-
kind’s zu D 35 — auf die wir weiter unten S. 622 auch noch eingehen
wollen.
Mit dem Bisherigen jedoch erscheinen bereits die wichtigsten Sätze
dieses Autors über ähnliche Abbildung und ähnliche Systeme — diejenigen,
denen die andern blos zur Vorbereitung dienten — aus dem eingangs ab-
gegrenzten Teile seiner Schrift in unsre Disziplin aufgenommen und in
ihrem Geiste gerechtfertigt, legitimirt! Nichtsdestoweniger haben wir noch
eine ganze Reihe von Studien zu der Materie beizubringen.
Um bei jeder ähnlichen Abbildung „Argumentationen auf die Ele-
mente“ zu erleichtern oder für unsre Disziplin zu legitimiren, dürften
— in Ergänzung zu 42) des § 30 — die folgenden Betrachtungen von
Belang sein.
Unter den in (17) statuirten Voraussetzungen gilt:
24) [FORMEL]
wo die Subsumtion der zweiten Zeile blos als äquivalente Form der
darüberstehenden in Erinnerung gebracht sein soll.
*) Die Umkehrung folgt — wofern man nicht zu den gegebnen völlig analoge
Schlüsse durchführen will — aus der Symmetrie der Prämissen hinsichtlich der
Relative b, d, z und a, c, z̆.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 611. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/625>, abgerufen am 23.11.2024.
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