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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 30. Folgesätze für Substitutionen.
stitution als eine umkehrbar eindeutige Funktion angesehen wird:
die "inverse" Funktion derselben -- wie sich sogleich aus 45) recht-
fertigen wird.

Mit Rücksicht hierauf brauchen manche Sätze nicht doppelt, für
s und s, sondern blos einfach, für s, ausgesprochen zu werden.

Wir haben dann ferner, als sämtlich leicht erweisbare, die Sätze:
44) (a s ; b) = (s ; a b), (a b ; s) = (a ; s b)
-- die auch rückwärts mit vertauschtem s und s (und eventuell a, b)
zu lesen. Dazu:
45) (a = s ; b) = (b = s ; a), (a = b ; s) = (b = a ; s).

Beweis. (as ; b) (s ; a s; s ; b = 1' ; b = b),
(s ; a b) (a = 1' ; a = s ; s ; a s ; b),
Etc. Darnach ist
(a = s ; b) = (a s ; b)(s ; b a) = (s ; a b)(b s ; a) = (b = s ; a) q. e. d.

Es ist leicht zu sehn, dass der zweite Satz, sofern er allgemein
gelten soll, s als eine Substitution charakterisirt, nämlich dass:
46) [Formel 1] ,
etc. Denn wie wir seine linkseitige Aussage L schon aus der rechtseitigen
R soeben abgeleitet haben, so gelingt auch das Umgekehrte durch die auf
Einsetzung von b resp. a gegründete Überlegung:
[Formel 2] .

Und ferner gilt der wichtige Satz -- vergl. D 27:
47) (s ; a s ; b) = (a b) = (a ; s b ; s).

Denn wie die erste von diesen Äquivalenzen als Subsumtion rück-
wärtig nach 1) des § 6 ohnehin gilt, so folgt sie auch vorwärtig mit
L (s ; s ; a s ; s ; b) = (1' ; a 1' ; b) = (a b).

Als Korollar dazu müssen wir nun auch haben:
48) [Formel 3]
und sind diese Sätze samt und sonders durchaus nicht etwa nur auf
"Systeme" a, b beschränkt, sondern gelten für die a, b als beliebige
binäre Relative.


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§ 30. Folgesätze für Substitutionen.
stitution als eine umkehrbar eindeutige Funktion angesehen wird:
die „inverse“ Funktion derselben — wie sich sogleich aus 45) recht-
fertigen wird.

Mit Rücksicht hierauf brauchen manche Sätze nicht doppelt, für
s und s̆, sondern blos einfach, für s, ausgesprochen zu werden.

Wir haben dann ferner, als sämtlich leicht erweisbare, die Sätze:
44) (a ⋹ s ; b) = (s̆ ; a ⋹ b), (a ⋹ b ; s) = (a ; s̆ ⋹ b)
— die auch rückwärts mit vertauschtem s̆ und s (und eventuell a, b)
zu lesen. Dazu:
45) (a = s ; b) = (b = s̆ ; a), (a = b ; s) = (b = a ; s̆).

Beweis. (a⋹s ; b) ⋹ (s̆ ; a ⋹ s̆; s ; b = 1' ; b = b),
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Es ist leicht zu sehn, dass der zweite Satz, sofern er allgemein
gelten soll, s als eine Substitution charakterisirt, nämlich dass:
46) [Formel 1] ,
etc. Denn wie wir seine linkseitige Aussage L schon aus der rechtseitigen
R soeben abgeleitet haben, so gelingt auch das Umgekehrte durch die auf
Einsetzung von b resp. a gegründete Überlegung:
[Formel 2] .

Und ferner gilt der wichtige Satz — vergl. D 27:
47) (s ; a ⋹ s ; b) = (a ⋹ b) = (a ; s ⋹ b ; s).

Denn wie die erste von diesen Äquivalenzen als Subsumtion rück-
wärtig nach 1) des § 6 ohnehin gilt, so folgt sie auch vorwärtig mit
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Als Korollar dazu müssen wir nun auch haben:
48) [Formel 3]
und sind diese Sätze samt und sonders durchaus nicht etwa nur auf
„Systeme“ a, b beschränkt, sondern gelten für die a, b als beliebige
binäre Relative.


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[595/0609] § 30. Folgesätze für Substitutionen. stitution als eine umkehrbar eindeutige Funktion angesehen wird: die „inverse“ Funktion derselben — wie sich sogleich aus 45) recht- fertigen wird. Mit Rücksicht hierauf brauchen manche Sätze nicht doppelt, für s und s̆, sondern blos einfach, für s, ausgesprochen zu werden. Wir haben dann ferner, als sämtlich leicht erweisbare, die Sätze: 44) (a ⋹ s ; b) = (s̆ ; a ⋹ b), (a ⋹ b ; s) = (a ; s̆ ⋹ b) — die auch rückwärts mit vertauschtem s̆ und s (und eventuell a, b) zu lesen. Dazu: 45) (a = s ; b) = (b = s̆ ; a), (a = b ; s) = (b = a ; s̆). Beweis. (a⋹s ; b) ⋹ (s̆ ; a ⋹ s̆; s ; b = 1' ; b = b), (s̆ ; a ⋹ b) ⋹ (a = 1' ; a = s ; s̆ ; a ⋹ s ; b), Etc. Darnach ist (a = s ; b) = (a ⋹ s ; b)(s ; b ⋹ a) = (s̆ ; a ⋹ b)(b ⋹ s̆ ; a) = (b = s̆ ; a) q. e. d. Es ist leicht zu sehn, dass der zweite Satz, sofern er allgemein gelten soll, s als eine Substitution charakterisirt, nämlich dass: 46) [FORMEL], etc. Denn wie wir seine linkseitige Aussage L schon aus der rechtseitigen R soeben abgeleitet haben, so gelingt auch das Umgekehrte durch die auf Einsetzung von b resp. a gegründete Überlegung: [FORMEL]. Und ferner gilt der wichtige Satz — vergl. D 27: 47) (s ; a ⋹ s ; b) = (a ⋹ b) = (a ; s ⋹ b ; s). Denn wie die erste von diesen Äquivalenzen als Subsumtion rück- wärtig nach 1) des § 6 ohnehin gilt, so folgt sie auch vorwärtig mit L⋹ (s̆ ; s ; a ⋹ s̆ ; s ; b) = (1' ; a ⋹ 1' ; b) = (a ⋹ b). Als Korollar dazu müssen wir nun auch haben: 48) [FORMEL] und sind diese Sätze samt und sonders durchaus nicht etwa nur auf „Systeme“ a, b beschränkt, sondern gelten für die a, b als beliebige binäre Relative. 38*

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 595. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/609>, abgerufen am 18.02.2025.