Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Bild:
<< vorherige Seite
nächste Seite >>

§ 30. Folgesätze für Substitutionen.
stitution als eine umkehrbar eindeutige Funktion angesehen wird:
die "inverse" Funktion derselben -- wie sich sogleich aus 45) recht-
fertigen wird.

Mit Rücksicht hierauf brauchen manche Sätze nicht doppelt, für
s und s, sondern blos einfach, für s, ausgesprochen zu werden.

Wir haben dann ferner, als sämtlich leicht erweisbare, die Sätze:
44) (a s ; b) = (s ; a b), (a b ; s) = (a ; s b)
-- die auch rückwärts mit vertauschtem s und s (und eventuell a, b)
zu lesen. Dazu:
45) (a = s ; b) = (b = s ; a), (a = b ; s) = (b = a ; s).

Beweis. (as ; b) (s ; a s; s ; b = 1' ; b = b),
(s ; a b) (a = 1' ; a = s ; s ; a s ; b),
Etc. Darnach ist
(a = s ; b) = (a s ; b)(s ; b a) = (s ; a b)(b s ; a) = (b = s ; a) q. e. d.

Es ist leicht zu sehn, dass der zweite Satz, sofern er allgemein
gelten soll, s als eine Substitution charakterisirt, nämlich dass:
46) [Formel 1] ,
etc. Denn wie wir seine linkseitige Aussage L schon aus der rechtseitigen
R soeben abgeleitet haben, so gelingt auch das Umgekehrte durch die auf
Einsetzung von b resp. a gegründete Überlegung:
[Formel 2] .

Und ferner gilt der wichtige Satz -- vergl. D 27:
47) (s ; a s ; b) = (a b) = (a ; s b ; s).

Denn wie die erste von diesen Äquivalenzen als Subsumtion rück-
wärtig nach 1) des § 6 ohnehin gilt, so folgt sie auch vorwärtig mit
L (s ; s ; a s ; s ; b) = (1' ; a 1' ; b) = (a b).

Als Korollar dazu müssen wir nun auch haben:
48) [Formel 3]
und sind diese Sätze samt und sonders durchaus nicht etwa nur auf
"Systeme" a, b beschränkt, sondern gelten für die a, b als beliebige
binäre Relative.


38*

§ 30. Folgesätze für Substitutionen.
stitution als eine umkehrbar eindeutige Funktion angesehen wird:
die „inverse“ Funktion derselben — wie sich sogleich aus 45) recht-
fertigen wird.

Mit Rücksicht hierauf brauchen manche Sätze nicht doppelt, für
s und s̆, sondern blos einfach, für s, ausgesprochen zu werden.

Wir haben dann ferner, als sämtlich leicht erweisbare, die Sätze:
44) (a ⋹ s ; b) = (s̆ ; a ⋹ b), (a ⋹ b ; s) = (a ; s̆ ⋹ b)
— die auch rückwärts mit vertauschtem s̆ und s (und eventuell a, b)
zu lesen. Dazu:
45) (a = s ; b) = (b = s̆ ; a), (a = b ; s) = (b = a ; s̆).

Beweis. (a⋹s ; b) ⋹ (s̆ ; a ⋹ s̆; s ; b = 1' ; b = b),
(s̆ ; a ⋹ b) ⋹ (a = 1' ; a = s ; s̆ ; a ⋹ s ; b),
Etc. Darnach ist
(a = s ; b) = (a ⋹ s ; b)(s ; b ⋹ a) = (s̆ ; a ⋹ b)(b ⋹ s̆ ; a) = (b = s̆ ; a) q. e. d.

Es ist leicht zu sehn, dass der zweite Satz, sofern er allgemein
gelten soll, s als eine Substitution charakterisirt, nämlich dass:
46) [Formel 1] ,
etc. Denn wie wir seine linkseitige Aussage L schon aus der rechtseitigen
R soeben abgeleitet haben, so gelingt auch das Umgekehrte durch die auf
Einsetzung von b resp. a gegründete Überlegung:
[Formel 2] .

Und ferner gilt der wichtige Satz — vergl. D 27:
47) (s ; a ⋹ s ; b) = (a ⋹ b) = (a ; s ⋹ b ; s).

Denn wie die erste von diesen Äquivalenzen als Subsumtion rück-
wärtig nach 1) des § 6 ohnehin gilt, so folgt sie auch vorwärtig mit
L⋹ (s̆ ; s ; a ⋹ s̆ ; s ; b) = (1' ; a ⋹ 1' ; b) = (a ⋹ b).

Als Korollar dazu müssen wir nun auch haben:
48) [Formel 3]
und sind diese Sätze samt und sonders durchaus nicht etwa nur auf
„Systeme“ a, b beschränkt, sondern gelten für die a, b als beliebige
binäre Relative.


38*
<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p><pb facs="#f0609" n="595"/><fw place="top" type="header">§ 30. Folgesätze für Substitutionen.</fw><lb/>
stitution als eine umkehrbar eindeutige Funktion angesehen wird:<lb/>
die &#x201E;<hi rendition="#i">inverse</hi>&#x201C; <hi rendition="#i">Funktion</hi> derselben &#x2014; wie sich sogleich aus 45) recht-<lb/>
fertigen wird.</p><lb/>
          <p>Mit Rücksicht hierauf brauchen manche Sätze nicht doppelt, für<lb/><hi rendition="#i">s</hi> und <hi rendition="#i">s&#x0306;</hi>, sondern blos einfach, für <hi rendition="#i">s</hi>, ausgesprochen zu werden.</p><lb/>
          <p>Wir haben dann ferner, als sämtlich leicht erweisbare, die Sätze:<lb/>
44) <hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">a</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">s</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi>) = (<hi rendition="#i">s&#x0306;</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b</hi>), (<hi rendition="#i">a</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b</hi> ; <hi rendition="#i">s</hi>) = (<hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">s&#x0306;</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b</hi>)</hi><lb/>
&#x2014; die auch rückwärts mit vertauschtem <hi rendition="#i">s&#x0306;</hi> und <hi rendition="#i">s</hi> (und eventuell <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>)<lb/>
zu lesen. Dazu:<lb/>
45) <hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">s</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi>) = (<hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">s&#x0306;</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi>), (<hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">b</hi> ; <hi rendition="#i">s</hi>) = (<hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">s&#x0306;</hi>).</hi></p><lb/>
          <p><hi rendition="#g">Beweis</hi>. (<hi rendition="#i">a</hi>&#x22F9;<hi rendition="#i">s</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi>) &#x22F9; (<hi rendition="#i">s&#x0306;</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">s&#x0306;</hi>; <hi rendition="#i">s</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> = 1' ; <hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">b</hi>),<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">s&#x0306;</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b</hi>) &#x22F9; (<hi rendition="#i">a</hi> = 1' ; <hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">s</hi> ; <hi rendition="#i">s&#x0306;</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">s</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi>),</hi><lb/>
Etc. Darnach ist<lb/>
(<hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">s</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi>) = (<hi rendition="#i">a</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">s</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi>)(<hi rendition="#i">s</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">a</hi>) = (<hi rendition="#i">s&#x0306;</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b</hi>)(<hi rendition="#i">b</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">s&#x0306;</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi>) = (<hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">s&#x0306;</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi>) q. e. d.</p><lb/>
          <p>Es ist leicht zu sehn, dass der zweite Satz, sofern er allgemein<lb/>
gelten soll, <hi rendition="#i">s</hi> als eine Substitution <hi rendition="#i">charakterisirt</hi>, nämlich dass:<lb/>
46) <hi rendition="#et"><formula/>,</hi><lb/>
etc. Denn wie wir seine linkseitige Aussage <hi rendition="#i">L</hi> schon aus der rechtseitigen<lb/><hi rendition="#i">R</hi> soeben abgeleitet haben, so gelingt auch das Umgekehrte durch die auf<lb/>
Einsetzung von <hi rendition="#i">b</hi> resp. <hi rendition="#i">a</hi> gegründete Überlegung:<lb/><hi rendition="#et"><formula/>.</hi></p><lb/>
          <p>Und ferner gilt der wichtige <hi rendition="#g">Satz</hi> &#x2014; vergl. <hi rendition="#fr">D</hi> 27:<lb/>
47) <hi rendition="#et">(<hi rendition="#i">s</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">s</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi>) = (<hi rendition="#i">a</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b</hi>) = (<hi rendition="#i">a</hi> ; <hi rendition="#i">s</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b</hi> ; <hi rendition="#i">s</hi>).</hi></p><lb/>
          <p>Denn wie die erste von diesen Äquivalenzen als Subsumtion rück-<lb/>
wärtig nach 1) des § 6 ohnehin gilt, so folgt sie auch vorwärtig mit<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">L</hi>&#x22F9; (<hi rendition="#i">s&#x0306;</hi> ; <hi rendition="#i">s</hi> ; <hi rendition="#i">a</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">s&#x0306;</hi> ; <hi rendition="#i">s</hi> ; <hi rendition="#i">b</hi>) = (1' ; <hi rendition="#i">a</hi> &#x22F9; 1' ; <hi rendition="#i">b</hi>) = (<hi rendition="#i">a</hi> &#x22F9; <hi rendition="#i">b</hi>).</hi></p><lb/>
          <p>Als Korollar dazu müssen wir nun auch haben:<lb/>
48) <formula/><lb/>
und sind diese Sätze samt und sonders durchaus nicht etwa nur auf<lb/>
&#x201E;Systeme&#x201C; <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi> beschränkt, sondern gelten für die <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi> als beliebige<lb/>
binäre Relative.</p>
        </div><lb/>
        <fw place="bottom" type="sig">38*</fw><lb/>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[595/0609] § 30. Folgesätze für Substitutionen. stitution als eine umkehrbar eindeutige Funktion angesehen wird: die „inverse“ Funktion derselben — wie sich sogleich aus 45) recht- fertigen wird. Mit Rücksicht hierauf brauchen manche Sätze nicht doppelt, für s und s̆, sondern blos einfach, für s, ausgesprochen zu werden. Wir haben dann ferner, als sämtlich leicht erweisbare, die Sätze: 44) (a ⋹ s ; b) = (s̆ ; a ⋹ b), (a ⋹ b ; s) = (a ; s̆ ⋹ b) — die auch rückwärts mit vertauschtem s̆ und s (und eventuell a, b) zu lesen. Dazu: 45) (a = s ; b) = (b = s̆ ; a), (a = b ; s) = (b = a ; s̆). Beweis. (a⋹s ; b) ⋹ (s̆ ; a ⋹ s̆; s ; b = 1' ; b = b), (s̆ ; a ⋹ b) ⋹ (a = 1' ; a = s ; s̆ ; a ⋹ s ; b), Etc. Darnach ist (a = s ; b) = (a ⋹ s ; b)(s ; b ⋹ a) = (s̆ ; a ⋹ b)(b ⋹ s̆ ; a) = (b = s̆ ; a) q. e. d. Es ist leicht zu sehn, dass der zweite Satz, sofern er allgemein gelten soll, s als eine Substitution charakterisirt, nämlich dass: 46) [FORMEL], etc. Denn wie wir seine linkseitige Aussage L schon aus der rechtseitigen R soeben abgeleitet haben, so gelingt auch das Umgekehrte durch die auf Einsetzung von b resp. a gegründete Überlegung: [FORMEL]. Und ferner gilt der wichtige Satz — vergl. D 27: 47) (s ; a ⋹ s ; b) = (a ⋹ b) = (a ; s ⋹ b ; s). Denn wie die erste von diesen Äquivalenzen als Subsumtion rück- wärtig nach 1) des § 6 ohnehin gilt, so folgt sie auch vorwärtig mit L⋹ (s̆ ; s ; a ⋹ s̆ ; s ; b) = (1' ; a ⋹ 1' ; b) = (a ⋹ b). Als Korollar dazu müssen wir nun auch haben: 48) [FORMEL] und sind diese Sätze samt und sonders durchaus nicht etwa nur auf „Systeme“ a, b beschränkt, sondern gelten für die a, b als beliebige binäre Relative. 38*

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/609
Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 595. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/609>, abgerufen am 23.11.2024.