Nur ist zu bemerken, dass aus 33) und 34) im Hinblick auf d) der Satz mitfolgt sub: 39) A2A4: (hx ; k) = (h = x ; k) = (k = x ; h) = (k
[Formel 1]
vorwärtig sintemal man zu jeder Prämisse linkerhand die Konklusion aus 29) bis 32) als Aussagenfaktor hinzunotiren darf, wonach dann die Def. (1) der Gleichheit anwendbar wird, rückwärtig als selbstverständ- liche. Und zwar gelten diese Sätze nicht etwa nur für Systeme, sondern schon für beliebige Relative a, b.
Die Wichtigkeit gerade des Typus A2A4 (für den Eintritt vom Stand- punkte unsrer Theorie aus in die Dedekind'schen Forschungen) recht- fertigt ein gelegentlich ausführlicheres Eingehen auf diesen. So sei denn hier noch darauf aufmerksam gemacht, dass, wenn in 2) und 4) x für a gesagt wird, diese beiden Forderungen sich auch zusammenziehen zu 42) A2A4 = Ph k l[(hx ; k) {(lh) (lx ; k)}{(lk) (hx ; l)}] und dass mit Rücksicht auf die obige aus der Charakteristik von A2A4 vorhin gerechtfertigte Formel 39) diese Forderung hinausläuft auf
[Formel 2]
wo der erste Faktor der Thesis sich aus der Hypothesis durch Elimination (Einsetzung des Wertes) von h von selbst versteht, und ebenso der letzte Faktor der Thesis -- in der darunter stehenden Form -- durch Elimi- nation von k. Sonach ist es auch ein Leichtes, die Grundeigenschaften einer Abbildung vom Typus A2A4 aus deren Charakteristik wieder rück- wärts abzuleiten.
Zum Schluss noch einige Sätze über Substitutionen.
Bezeichnen wir eine Substitution, d. h. eine zum Typus 90 oder A1A2A2A4 gehörige Abbildung demnächst mit s, so wird also sein: 43) s ; s = 1' und s ; s = 1'.
Da diese Charakteristik bei Vertauschung von s mit s ungeändert bleibt, nämlich blos die eine Gleichung in die andre, und umgekehrt, übergeht, so haben wir den implicite schon S. 569 miterwähnten Satz:
Das Konvere s einer Substitution s ist auch eine Substitution -- es ist die sogenannte reziproke Substitution von s, oder falls die Sub-
Zwölfte Vorlesung.
Nur ist zu bemerken, dass aus 33) und 34) im Hinblick auf δ) der Satz mitfolgt sub: 39) A2A4: (h ⋹ x ; k) = (h = x ; k) = (k = x̆ ; h) = (k ⋹
[Formel 1]
vorwärtig sintemal man zu jeder Prämisse linkerhand die Konklusion aus 29) bis 32) als Aussagenfaktor hinzunotiren darf, wonach dann die Def. (1) der Gleichheit anwendbar wird, rückwärtig als selbstverständ- liche. Und zwar gelten diese Sätze nicht etwa nur für Systeme, sondern schon für beliebige Relative a, b.
Die Wichtigkeit gerade des Typus A2A4 (für den Eintritt vom Stand- punkte unsrer Theorie aus in die Dedekind’schen Forschungen) recht- fertigt ein gelegentlich ausführlicheres Eingehen auf diesen. So sei denn hier noch darauf aufmerksam gemacht, dass, wenn in 2) und 4) x für a gesagt wird, diese beiden Forderungen sich auch zusammenziehen zu 42) A2A4 = Πh k l[(h ⋹ x ; k) ⋹ {(l ≠ h) ⋹ (l ⋹ x ; k)}{(l ≠ k) ⋹ (h ⋹ x ; l)}] und dass mit Rücksicht auf die obige aus der Charakteristik von A2A4 vorhin gerechtfertigte Formel 39) diese Forderung hinausläuft auf
[Formel 2]
wo der erste Faktor der Thesis sich aus der Hypothesis durch Elimination (Einsetzung des Wertes) von h von selbst versteht, und ebenso der letzte Faktor der Thesis — in der darunter stehenden Form — durch Elimi- nation von k. Sonach ist es auch ein Leichtes, die Grundeigenschaften einer Abbildung vom Typus A2A4 aus deren Charakteristik wieder rück- wärts abzuleiten.
Zum Schluss noch einige Sätze über Substitutionen.
Bezeichnen wir eine Substitution, d. h. eine zum Typus 90 oder A1A2A2A4 gehörige Abbildung demnächst mit s, so wird also sein: 43) s ; s̆ = 1' und s̆ ; s = 1'.
Da diese Charakteristik bei Vertauschung von s mit s̆ ungeändert bleibt, nämlich blos die eine Gleichung in die andre, und umgekehrt, übergeht, so haben wir den implicite schon S. 569 miterwähnten Satz:
Das Konvere s̆ einer Substitution s ist auch eine Substitution — es ist die sogenannte reziproke Substitution von s, oder falls die Sub-
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[594/0608]
Zwölfte Vorlesung.
Nur ist zu bemerken, dass aus 33) und 34) im Hinblick auf δ)
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vorwärtig sintemal man zu jeder Prämisse linkerhand die Konklusion
aus 29) bis 32) als Aussagenfaktor hinzunotiren darf, wonach dann die
Def. (1) der Gleichheit anwendbar wird, rückwärtig als selbstverständ-
liche. Und zwar gelten diese Sätze nicht etwa nur für Systeme, sondern
schon für beliebige Relative a, b.
Die Wichtigkeit gerade des Typus A2A4 (für den Eintritt vom Stand-
punkte unsrer Theorie aus in die Dedekind’schen Forschungen) recht-
fertigt ein gelegentlich ausführlicheres Eingehen auf diesen. So sei denn
hier noch darauf aufmerksam gemacht, dass, wenn in 2) und 4) x für a
gesagt wird, diese beiden Forderungen sich auch zusammenziehen zu
42) A2A4 = Πh k l[(h ⋹ x ; k) ⋹ {(l ≠ h) ⋹ (l ⋹ x ; k)}{(l ≠ k) ⋹ (h ⋹ x ; l)}]
und dass mit Rücksicht auf die obige aus der Charakteristik von A2A4
vorhin gerechtfertigte Formel 39) diese Forderung hinausläuft auf
[FORMEL]
wo der erste Faktor der Thesis sich aus der Hypothesis durch Elimination
(Einsetzung des Wertes) von h von selbst versteht, und ebenso der letzte
Faktor der Thesis — in der darunter stehenden Form — durch Elimi-
nation von k. Sonach ist es auch ein Leichtes, die Grundeigenschaften
einer Abbildung vom Typus A2A4 aus deren Charakteristik wieder rück-
wärts abzuleiten.
Zum Schluss noch einige Sätze über Substitutionen.
Bezeichnen wir eine Substitution, d. h. eine zum Typus 90 oder
A1A2A2A4 gehörige Abbildung demnächst mit s, so wird also sein:
43) s ; s̆ = 1' und s̆ ; s = 1'.
Da diese Charakteristik bei Vertauschung von s mit s̆ ungeändert
bleibt, nämlich blos die eine Gleichung in die andre, und umgekehrt,
übergeht, so haben wir den implicite schon S. 569 miterwähnten Satz:
Das Konvere s̆ einer Substitution s ist auch eine Substitution —
es ist die sogenannte reziproke Substitution von s, oder falls die Sub-
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 594. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/608>, abgerufen am 23.11.2024.
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