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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 30. Folgesätze für einige Abbildungstypen.
uns der Beweis für die erste und der für die letzte der vorstehenden
8 Behauptungen abgibt:
(x ; b a) (b = 1' ; b x ; x ; b x ; a),
(b a ; x) (b ; x a ; x ; x a ; 1' = a).

Bei den vorstehenden Beweisen sind wir schliessend vorgegangen,
indem wir suchten (durch Übermultipliziren der Prämisse) x und x als
relative Faktoren zusammenzubringen in derjenigen Reihenfolge in der
sie in der Charakteristik 15) vorkommen, damit diese letztere so zur
Gewinnung von Schlussfolgerungen verwertbar wurde.

Stellen a und b Elemente h, k vor, so kann man, um ähnlich
schliessend vorzugehen, sich ausserdem auf den Satz 19) des § 25 oder d)
stützen, welcher die Äquivalenz der beiden folgenden Subsumtionen
garantirt:
d) (h x ; k) = (k x ; h).
Ein analoger Satz existirt für die umgekehrten Subsumtionen wie
bei e) gezeigt wurde nicht. So kommt es, dass nunmehr blos für die
beiden Typen A2 und A4 sich ein wichtiger Satz hinzuergibt -- der
lautet
33) sub A2: (h x ; k) = (h = x ; k) = (k x ; h)
34) sub A4: (k x ; h) = (k = x ; h) = (h x ; k).

Beweis. Zu A2 haben wir:
(h x ; k) = (k x ; h) (x ; k x ; x ; h 1' ; h = h),
also (h x ; k) (x ; k h), q. e. d. Und zu A4:
(h x; k) (x ; h x ; x ; k 1' ; k = k), somit:
(k x ; h) (x ; h k), q. e. d.
-- mit Rücksicht auf das Aussagenschema: (a b) = (a = ab) und die
Definition der Gleichheit.

Für die Kombinationen unsrer vier Typen folgt nun leicht durch
entsprechende Kombination der Sätze 29) bis 32) hinzu, dass gelten
wird sub
35) A1A2: (x ; b a) = (b x ; a), (a b ; x) = (a ; x b)
36) A3A4: (a x ; b) = (x ; a b), (b ; x a) = (b a ; x)
37) A1A4: (a = x ; b) (x ; a = b), (a ; x = b) (a = b ; x),
38) A2A3: (x ; a = b) (a = x ; b), (a = b ; x) (a ; x = b).
Bei A1A3 und A2A4 gilt bezüglich a tempo die obere und die untere
Hälfte der Äquivalenzen 29) bis 32) und sind dieselben keiner Zu-
sammenziehung fähig.


Schröder, Algebra der Relative. 38

§ 30. Folgesätze für einige Abbildungstypen.
uns der Beweis für die erste und der für die letzte der vorstehenden
8 Behauptungen abgibt:
(x ; b ⋹ a) ⋹ (b = 1' ; b ⋹ x̆ ; x ; b ⋹ x̆ ; a),
(b ⋹ a ; x̆) ⋹ (b ; x ⋹ a ; x̆ ; x ⋹ a ; 1' = a).

Bei den vorstehenden Beweisen sind wir schliessend vorgegangen,
indem wir suchten (durch Übermultipliziren der Prämisse) x und x̆ als
relative Faktoren zusammenzubringen in derjenigen Reihenfolge in der
sie in der Charakteristik 15) vorkommen, damit diese letztere so zur
Gewinnung von Schlussfolgerungen verwertbar wurde.

Stellen a und b Elemente h, k vor, so kann man, um ähnlich
schliessend vorzugehen, sich ausserdem auf den Satz 19) des § 25 oder δ)
stützen, welcher die Äquivalenz der beiden folgenden Subsumtionen
garantirt:
δ) (h ⋹ x ; k) = (k ⋹ x̆ ; h).
Ein analoger Satz existirt für die umgekehrten Subsumtionen wie
bei ε) gezeigt wurde nicht. So kommt es, dass nunmehr blos für die
beiden Typen A2 und A4 sich ein wichtiger Satz hinzuergibt — der
lautet
33) sub A2: (h ⋹ x ; k) = (h = x ; k) = (k ⋹ x̆ ; h)
34) sub A4: (k ⋹ x̆ ; h) = (k = x̆ ; h) = (h ⋹ x ; k).

Beweis. Zu A2 haben wir:
(h ⋹ x ; k) = (k ⋹ x̆ ; h) ⋹ (x ; k ⋹ x ; x̆ ; h ⋹ 1' ; h = h),
also (h ⋹ x ; k) ⋹ (x ; k ⋹ h), q. e. d. Und zu A4:
(h ⋹ x; k) ⋹ (x̆ ; h ⋹ x̆ ; x ; k ⋹ 1' ; k = k), somit:
(k ⋹ x̆ ; h) ⋹ (x̆ ; h ⋹ k), q. e. d.
— mit Rücksicht auf das Aussagenschema: (a ⋹ β) = (α = αβ) und die
Definition der Gleichheit.

Für die Kombinationen unsrer vier Typen folgt nun leicht durch
entsprechende Kombination der Sätze 29) bis 32) hinzu, dass gelten
wird sub
35) A1A2: (x ; b ⋹ a) = (b ⋹ x̆ ; a), (a ⋹ b ; x) = (a ; x̆ ⋹ b)
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37) A1A4: (a = x ; b) ⋹ (x̆ ; a = b), (a ; x̆ = b) ⋹ (a = b ; x),
38) A2A3: (x̆ ; a = b) ⋹ (a = x ; b), (a = b ; x) ⋹ (a ; x̆ = b).
Bei A1A3 und A2A4 gilt bezüglich a tempo die obere und die untere
Hälfte der Äquivalenzen 29) bis 32) und sind dieselben keiner Zu-
sammenziehung fähig.


Schröder, Algebra der Relative. 38
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[593/0607] § 30. Folgesätze für einige Abbildungstypen. uns der Beweis für die erste und der für die letzte der vorstehenden 8 Behauptungen abgibt: (x ; b ⋹ a) ⋹ (b = 1' ; b ⋹ x̆ ; x ; b ⋹ x̆ ; a), (b ⋹ a ; x̆) ⋹ (b ; x ⋹ a ; x̆ ; x ⋹ a ; 1' = a). Bei den vorstehenden Beweisen sind wir schliessend vorgegangen, indem wir suchten (durch Übermultipliziren der Prämisse) x und x̆ als relative Faktoren zusammenzubringen in derjenigen Reihenfolge in der sie in der Charakteristik 15) vorkommen, damit diese letztere so zur Gewinnung von Schlussfolgerungen verwertbar wurde. Stellen a und b Elemente h, k vor, so kann man, um ähnlich schliessend vorzugehen, sich ausserdem auf den Satz 19) des § 25 oder δ) stützen, welcher die Äquivalenz der beiden folgenden Subsumtionen garantirt: δ) (h ⋹ x ; k) = (k ⋹ x̆ ; h). Ein analoger Satz existirt für die umgekehrten Subsumtionen wie bei ε) gezeigt wurde nicht. So kommt es, dass nunmehr blos für die beiden Typen A2 und A4 sich ein wichtiger Satz hinzuergibt — der lautet 33) sub A2: (h ⋹ x ; k) = (h = x ; k) = (k ⋹ x̆ ; h) 34) sub A4: (k ⋹ x̆ ; h) = (k = x̆ ; h) = (h ⋹ x ; k). Beweis. Zu A2 haben wir: (h ⋹ x ; k) = (k ⋹ x̆ ; h) ⋹ (x ; k ⋹ x ; x̆ ; h ⋹ 1' ; h = h), also (h ⋹ x ; k) ⋹ (x ; k ⋹ h), q. e. d. Und zu A4: (h ⋹ x; k) ⋹ (x̆ ; h ⋹ x̆ ; x ; k ⋹ 1' ; k = k), somit: (k ⋹ x̆ ; h) ⋹ (x̆ ; h ⋹ k), q. e. d. — mit Rücksicht auf das Aussagenschema: (a ⋹ β) = (α = αβ) und die Definition der Gleichheit. Für die Kombinationen unsrer vier Typen folgt nun leicht durch entsprechende Kombination der Sätze 29) bis 32) hinzu, dass gelten wird sub 35) A1A2: (x ; b ⋹ a) = (b ⋹ x̆ ; a), (a ⋹ b ; x) = (a ; x̆ ⋹ b) 36) A3A4: (a ⋹ x ; b) = (x̆ ; a ⋹ b), (b ; x ⋹ a) = (b ⋹ a ; x̆) 37) A1A4: (a = x ; b) ⋹ (x̆ ; a = b), (a ; x̆ = b) ⋹ (a = b ; x), 38) A2A3: (x̆ ; a = b) ⋹ (a = x ; b), (a = b ; x) ⋹ (a ; x̆ = b). Bei A1A3 und A2A4 gilt bezüglich a tempo die obere und die untere Hälfte der Äquivalenzen 29) bis 32) und sind dieselben keiner Zu- sammenziehung fähig. Schröder, Algebra der Relative. 38

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 593. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/607>, abgerufen am 18.02.2025.