Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

Zweite Vorlesung.

Wenn ich bei Exemplifikationen auf den Denkbereich der Zahlen die
bekannten Zeichen für die Zahlen Null und Eins mit einem Tupfen ver-
sehe, so geschieht dies natürlich blos ad hoc, zum Zwecke ihrer Unter-
scheidung von den beiden Wahrheitswerten der Aussagen sowie auch von
den absoluten Moduln unsrer Theorie. Und bei dem so spärlichen Vor-
kommen dieser Symbole als Zahlzeichen in unserm Buche erwächst daraus
auch wie figura zeigt keine nennenswerte Belästigung. Keineswegs jedoch
soll damit etwa auf eine allgemeinere Annahme solcher Gepflogenheiten
in der Arithmetik und anderwärts hingewirkt oder dafür plädirt werden.
Im Gegenteil, ich müsste dringend davor warnen: der Studirende, welcher
die Zahl Eins stets mit Tupfen schreibt, muss im schriftlichen Rechnen
hinter Andern zurückbleiben.

Die Elemente i, j sind hier natürliche Zahlen. Um die Darstellung
Fig. 2 des Relativs „Teiler von-“ zu gewinnen, hat man sich für jede
Stelle, wo eine mit i markirt gedachte Zeile von der Kolonne zu einem j
geschnitten wird, die Frage vorzulegen: Ist i ein Teiler von j? Im Be-
jahungsfalle ist der Gitterpunkt mit einem Auge zu besetzen, im Ver-
neinungsfalle unbesetzt zu lassen. Man erhält so ein Tableau, das an das
„Sieb des Eratosthenes“ cribrum Eratosthenis (behufs Auffindung der
Primzahlen) erinnert. Dasselbe veranschaulicht für das Gebiet der natür-
lichen Zahlen den ganzen Umfang des (relativen) Begriffes „Teiler von-“
(einer Zahl).

Jede Zahl ist Teiler von sich selbst, weshalb denn die Hauptdiagonale
voll mit Augen besetzt ist. Unser Relativ — t mag es für den Augen-
blick heissen — enthält alle individuellen Selbstrelative unsres Denk-
bereiches, begreift sie unter sich: es ist 1' ⋹ t. Unser t ist in Peirce’s
Ausdrucksweise sowol Selbstrelativ als Negat eines Aliorelativs. Die Zahl
Null (0̇) ist sonst — ausser von sich selbst — Teiler von keiner Zahl,
darum die erste Horizontallinie sonst eine leere. Dagegen ist jede Zahl
Teiler von Null, geht in der Null ohne Rest (und zwar nullmal) auf, darum
die erste Vertikallinie eine vollbesetzte, eine „Vollkolonne“. Die Zahl
Eins (1̇) geht in jeder Zahl auf, daher die zweite Zeile überall mit Augen
besetzt, eine „Vollzeile“. Auch in jeder folgenden Zeile bilden die Augen
eine Reihe von äquidistanten Punkten — mit immer grösserem Abstande.
Ebenso erscheinen sie aber auch auf Strahlen gereiht, die vom Anfangs-
punkt der Hauptdiagonale ihren Ausgang nehmen und sich asymptotisch
der ersten Horizontale nähern. …

Das Relativ t ist ein hervorragendes Beispiel zu derjenigen Klasse
von Relativen, die wir, weil t ; t ⋹ t ist, „transitive“ zu nennen haben: ein
„Teiler von einem Teiler von“ (einer Zahl) ist immer auch ein „Teiler
von“ (ebendieser Zahl). Es ist hier sogar (weil auch das Umgekehrte
gilt): t ; t = t.

Um die Darstellung Fig. 3 des Relativs p = „teilerfremd mit-“ zu
gewinnen, muss man sich ebenso für jeden Gitterpunkt die Frage vor-
legen: Ist das Element i, welches die Zeile markirt, d. h. die Zahl i,
teilerfremd (relativ prim) mit der Zahl j, welche die Kolonne markirt? —
um im Bejahungsfalle ein Auge einzutragen. Dabei darf bekanntlich die
Zahl Eins als ein allen Zahlen selbstverständlich „gemeinsamer“ Teiler als