Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 30. Die Substitution als Cyklensumme und relatives Produkt.

Selbstrelative vertreten sein werden, weil sie zu den in c₁ fehlenden ge-
hören, so sieht man ebenso, dass beim relativen Ausmultipliziren von 1'γ̄₁
mit c₂ sich lediglich c₂ wiedererzeugen wird, (q. e. d.).

Beim Ausmultipliziren, endlich, der Summen aus individuellen Selbst-
relativen 1'γ̄₁ mit 1'γ̄₂ reproduziren sich nur diejenigen, welche diesen beiden
Relativen gemeinsam sind wegen (i : i) ; (i : i) = i : i, wogegen (i : i) ; (j : j)
für jedes j ≠ i verschwindet, (q. e. d.).

In derselben Weise ist nun zu zeigen, dass:
(c₁ + c₂ + 1'γ̄₁γ̄₂) ; (c₃ + 1'γ̄₃) = c₁ + c₂ + c₃ + 1'γ̄₁γ̄₂γ̄₃,
weil 1'γ̄₁γ̄₂ jedenfalls die konstitutiven Elemente von c₃ und 1'γ̄₃ die von c₁
sowol als von c₂ aufweist; denn die von c₃ werden weder in c₁ noch in c₂
vorkommen. „Und so weiter“. Es ergibt sich für unser relatives Produkt:
p = s + 1'γ̄₁γ̄₂γ̄₃ …
wo das letzte Glied ausschliesslich besteht aus den individuellen Selbst-
relativen von all den Elementen, die weder in c₁, noch in c₂, noch in c₃, …
vorkommen, d. h. die in s nicht vorkommen. In s müssen aber nach dem
Substitutionsbegriffe alle Elemente des Denkbereiches vorkommen als kon-
stitutive Elemente (Relat und Korrelat) eines der Cyklen aus denen diese
Substitution besteht (sei das auch nur eines Cyklus erster Ordnung). Und
folglich ist 1'γ̄₁γ̄₂ … = 0, d. h. es bleibt p = s, wie behauptet worden.

Für diesen letzten Term erhalten wir überdies den Ausdruck:
1'(c̄₁ ɟ 0)(0 ɟ c̄₁)(c̄₂ ɟ 0)(0 ɟ c̄₂) … = 1'(c̄₁c̄₂ ‥ ɟ 0)(0 ɟ c̄₁c̄₂ …) = 1'(s̄ ɟ 0)(0 ɟ s̄)
und kann das Verschwinden desselben auch analytisch aus der Charakteristik
A₁A₂A₃A₄ der Substitution s gefolgert, nämlich schon aus A₁ = (1 = 1 ; s)
oder A₃ = (1 = s ; 1) in ersichtlicher Weise (mit s̄ ɟ 0 = 0, etc.) geschlossen
werden — q. e. d.

Da wo wir oben „U. s. w.“ sagten, konnte wohl der „Schluss von n
auf n + 1“ relative Faktoren in aller Form unschwer geleistet werden. Es
wird nur etwas umständlich, und wir unterliessen es um ein übermässiges
Anschwellen des Textes zu vermeiden. Damit wäre dann unser Satz in
aller Strenge bewiesen nicht nur — was für den gegenwärtigen Zweck
schon genügt — für alle „durchaus endlichen“ oder „mathematischen“ Sub-
stitutionen, sondern auch für solche die eventuell Cyklen aus „einfach un-
endlich vielen“ Elementen in ev. „einfach unendlicher“ Menge enthalten.
Es muss jedoch auch eine Form des Beweises geben, bei welcher aufgrund
der Wahrnehmung, dass bei durchweg elementefremden Cyklen c die Reihen-
folge relativer Faktoren der Form c + 1'γ̄ gleichgültig ist, vom Schluss der
vollständigen Induktion kein Gebrauch gemacht, vielmehr blos nach dem
dictum de omni auf die Wirkung jedes relativen Faktors dieser Art argu-
mentirt wird. Hierauf können wir an dieser Stelle nicht näher eingehn.

Schreibt man bei jeder Substitution s — die nach unsrer Defini-
tion ein Relativ Σi : j von gewisser Art ist — die sämtlichen Relate i
(etwa alphabetisch resp. numerisch geordnet) in eine obere Zeile und
die zugehörigen Korrelate aus den effektiven Gliedern darunter in eine