Er kann aber jederzeit leicht zu einer solchen ergänzt werden -- die alsdann die ihm zugehörige "Zirkularsubstitution" zu nennen sein wird, und zwar, indem man ihm additiv hinzufügt die Cyklen erster Ord- nung oder individuellen Selbstrelative von all den Elementen des Denk- bereichs, deren Versetzung er nicht fordert, die m. a. W. nicht (als "kon- stitutive" Elemente) in ihm vorkommen.
Die zu einem Cyklus erster Ordnung gehörige Zirkularsubstitution, namentlich, ist allemal "die identische Substitution" 1'.
Die zu einem Cyklus der zweiten Ordnung (also unsrer "nackten Transposition") gehörige Zirkularsubstitution heisst Transposition (schlechtweg). Beide sind wohl zu unterscheiden.
Ist jene z. B. das aus nur zwei Augen bestehende Relativ A : B + B : A, so wird diese das Relativ sein: A : B + B : A + C : C + D : D + E : E + ... und eventuell unendlich viele Augen haben.
Jede Transposition (schlechtweg) ist eine Substitution, nämlich eine "Cyklensumme" in der die sämtlichen Elemente des Denkbereichs vertreten erscheinen. Sie schreibt vor, zwei bestimmte Elemente mit einander zu vertauschen und alle übrigen ungeändert zu lassen (d. i. "mit sich selbst zu vertauschen"). Durch letztere stillschweigend gemachte Unterstellung wandelt eigentlich die mathematische Substitutionentheorie schon jeden Cyklus in eine (die zugehörige) Zirkularsubstitution um, und sie braucht zwischen beiden kaum je einen Unterschied zu machen. In diesem Betreff wird unsre Disziplin genötigt sein, strenger zu unterscheiden.
Dass nun in der That -- wie oben S. 578 behauptet -- unsre Substitution auch das relative Produkt ihrer elementefremden "Cyklen" sein muss -- wofern diese "Cyklen" -- im Sinne der mathematischen Substitutionentheorie -- sämtlich als Substitutionen aufgefasst werden, d. h. genauer gesagt: dass eine Substitution, definirt als Summe von lauter elementefremden Cyklen in deren Gesamtheit jedoch alle Elemente des Denkbereichs vertreten sind, einerlei sein muss mit dem relativen Produkt der zugehörigen Zirkularsubstitutionen -- dies lässt sich un- schwer durch (relatives) Ausmultipliziren der letztern gemäss 4) des § 6 aufgrund von 30) und 31) S. 440 einsehn und beweisen wie folgt.
Stellt c einen (wirklichen, oder "nackten") Cyklus vor, so ist c ; 1 das System der Zeilen und 1 ; c das System der Kolonnen in welchen über- haupt Augen dieses Cyklus stehen, m. a. W. c ; 1 ist das System der Relate, 1 ; c das Systemkonvers der Korrelate unsres Cyklus. Mithin wird der Ausdruck (c ; 1 + 1 ; c)1'
§ 30. Zirkularsubstitutionen.
Er kann aber jederzeit leicht zu einer solchen ergänzt werden — die alsdann die ihm zugehörige „Zirkularsubstitution“ zu nennen sein wird, und zwar, indem man ihm additiv hinzufügt die Cyklen erster Ord- nung oder individuellen Selbstrelative von all den Elementen des Denk- bereichs, deren Versetzung er nicht fordert, die m. a. W. nicht (als „kon- stitutive“ Elemente) in ihm vorkommen.
Die zu einem Cyklus erster Ordnung gehörige Zirkularsubstitution, namentlich, ist allemal „die identische Substitution“ 1'.
Die zu einem Cyklus der zweiten Ordnung (also unsrer „nackten Transposition“) gehörige Zirkularsubstitution heisst Transposition (schlechtweg). Beide sind wohl zu unterscheiden.
Ist jene z. B. das aus nur zwei Augen bestehende Relativ A : B + B : A, so wird diese das Relativ sein: A : B + B : A + C : C + D : D + E : E + … und eventuell unendlich viele Augen haben.
Jede Transposition (schlechtweg) ist eine Substitution, nämlich eine „Cyklensumme“ in der die sämtlichen Elemente des Denkbereichs vertreten erscheinen. Sie schreibt vor, zwei bestimmte Elemente mit einander zu vertauschen und alle übrigen ungeändert zu lassen (d. i. „mit sich selbst zu vertauschen“). Durch letztere stillschweigend gemachte Unterstellung wandelt eigentlich die mathematische Substitutionentheorie schon jeden Cyklus in eine (die zugehörige) Zirkularsubstitution um, und sie braucht zwischen beiden kaum je einen Unterschied zu machen. In diesem Betreff wird unsre Disziplin genötigt sein, strenger zu unterscheiden.
Dass nun in der That — wie oben S. 578 behauptet — unsre Substitution auch das relative Produkt ihrer elementefremden »Cyklen« sein muss — wofern diese »Cyklen« — im Sinne der mathematischen Substitutionentheorie — sämtlich als Substitutionen aufgefasst werden, d. h. genauer gesagt: dass eine Substitution, definirt als Summe von lauter elementefremden Cyklen in deren Gesamtheit jedoch alle Elemente des Denkbereichs vertreten sind, einerlei sein muss mit dem relativen Produkt der zugehörigen Zirkularsubstitutionen — dies lässt sich un- schwer durch (relatives) Ausmultipliziren der letztern gemäss 4) des § 6 aufgrund von 30) und 31) S. 440 einsehn und beweisen wie folgt.
Stellt c einen (wirklichen, oder „nackten“) Cyklus vor, so ist c ; 1 das System der Zeilen und 1 ; c das System der Kolonnen in welchen über- haupt Augen dieses Cyklus stehen, m. a. W. c ; 1 ist das System der Relate, 1 ; c das Systemkonvers der Korrelate unsres Cyklus. Mithin wird der Ausdruck (c ; 1 + 1 ; c)1'
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§ 30. Zirkularsubstitutionen.
Er kann aber jederzeit leicht zu einer solchen ergänzt werden —
die alsdann die ihm zugehörige „Zirkularsubstitution“ zu nennen sein
wird, und zwar, indem man ihm additiv hinzufügt die Cyklen erster Ord-
nung oder individuellen Selbstrelative von all den Elementen des Denk-
bereichs, deren Versetzung er nicht fordert, die m. a. W. nicht (als „kon-
stitutive“ Elemente) in ihm vorkommen.
Die zu einem Cyklus erster Ordnung gehörige Zirkularsubstitution,
namentlich, ist allemal „die identische Substitution“ 1'.
Die zu einem Cyklus der zweiten Ordnung (also unsrer „nackten
Transposition“) gehörige Zirkularsubstitution heisst Transposition
(schlechtweg). Beide sind wohl zu unterscheiden.
Ist jene z. B. das aus nur zwei Augen bestehende Relativ
A : B + B : A, so wird diese das Relativ sein:
A : B + B : A + C : C + D : D + E : E + …
und eventuell unendlich viele Augen haben.
Jede Transposition (schlechtweg) ist eine Substitution, nämlich
eine „Cyklensumme“ in der die sämtlichen Elemente des Denkbereichs
vertreten erscheinen. Sie schreibt vor, zwei bestimmte Elemente mit
einander zu vertauschen und alle übrigen ungeändert zu lassen (d. i. „mit
sich selbst zu vertauschen“). Durch letztere stillschweigend gemachte
Unterstellung wandelt eigentlich die mathematische Substitutionentheorie
schon jeden Cyklus in eine (die zugehörige) Zirkularsubstitution um,
und sie braucht zwischen beiden kaum je einen Unterschied zu machen.
In diesem Betreff wird unsre Disziplin genötigt sein, strenger zu
unterscheiden.
Dass nun in der That — wie oben S. 578 behauptet — unsre
Substitution auch das relative Produkt ihrer elementefremden »Cyklen«
sein muss — wofern diese »Cyklen« — im Sinne der mathematischen
Substitutionentheorie — sämtlich als Substitutionen aufgefasst werden,
d. h. genauer gesagt: dass eine Substitution, definirt als Summe von
lauter elementefremden Cyklen in deren Gesamtheit jedoch alle Elemente
des Denkbereichs vertreten sind, einerlei sein muss mit dem relativen
Produkt der zugehörigen Zirkularsubstitutionen — dies lässt sich un-
schwer durch (relatives) Ausmultipliziren der letztern gemäss 4) des
§ 6 aufgrund von 30) und 31) S. 440 einsehn und beweisen wie folgt.
Stellt c einen (wirklichen, oder „nackten“) Cyklus vor, so ist c ; 1 das
System der Zeilen und 1 ; c das System der Kolonnen in welchen über-
haupt Augen dieses Cyklus stehen, m. a. W. c ; 1 ist das System der Relate,
1 ; c das Systemkonvers der Korrelate unsres Cyklus. Mithin wird der
Ausdruck
(c ; 1 + 1 ; c)1'
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 583. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/597>, abgerufen am 29.09.2024.
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