Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 30. Propädeutisches über Abbildung von Elementen.

Für die umgekehrte Subsumtion, die unsrer zweiten Form, erhält man
zwar auch die Reihe von Äquivalenzen:
(a ; j ⋹ i) = (a ɟ j̄ ⋹ i) = (ī ⋹ ā ; j) = (ī ⋹ ā ɟ j̄) = (ă ; ī ⋹ j̄) = (j ⋹ ā̆ ɟ i)
wo die vierte und die letzte Aussage auch unmittelbar gewinnbar aus der
ersten.

Allein da gemäss 25) S. 419: a ɟ i ⋹ a ; ī, (ĭ ɟ a ⋹ ī̆ ; a) blos als Sub-
sumtion gilt, so lässt sich dies bei der vorletzten Aussage nicht zu äqui-
valenter Transformation benutzen, gibt vielmehr nur a fortiori die Kon-
klusion: ă ɟ i ⋹ j̄ oder j ⋹ ā̆ ; ī was sich eben wegen ā̆ ɟ i ⋹ ā̆ ; i aus der
letzten Aussage ohnehin mitversteht.

Ein Gegenstück zu δ) gilt daher für die umgekehrten Subsumtionen,
die unsrer zweiten Form, nicht. Vielmehr sieht man leicht, dass die Sub-
sumtionen:
ε) (a ; j ⋹ i) = (aj̆ ; 1 ⋹ i) = (aj̆ ⋹ i ɟ 0) = (aj̆ ⋹ i) und (ă ; i ⋹ j) = (aĭ ⋹ j)
differiren müssen, wie denn die Polynome aīj̆ und aĭj̄ der rechts auf 0
gebrachten sich unterscheiden.

Allerdings ist für sie mit dem unterwegs gefundnen Satze:
ζ) (a ; j ⋹ i) = (ă ; ī ⋹ j̄), woneben (a ; j̄ ⋹ i) = (ă ; ī ⋹ j)
noch gestellt werden könnte, eine Möglichkeit der Umstellung oder Isolirung
von Termen gewährleistet. Allein es führt solche Umformung aus dem Kreise
der uns vorzugsweise interessirenden obigen Subsumtionsformen heraus.

Zudem ist dieser Satz ζ) nur ein Sonderfall des für Systeme b = b ; 1,
c = c ; 1 bei beliebigem a geltenden Satzes:
η) (a ; b ⋹ c) = (ă ; c̄ ⋹ b̄) oder (a ; b̄ ⋹ c) = (ă ; c̄ ⋹ b),
der sich als eine bemerkenswerte Anwendung des ersten Inversionstheorems
erweist, insofern — vergl. S. 451 —
(a ; b̄ ⋹ c) = (a ⋹ c ɟ b̆ = c ɟ 0 ɟ b̆ = c ɟ 0 + 0 ɟ b̆ = c + b̆) =
= (ă ⋹ c̆ + b = b ɟ c̆) = (ă ; c̄ ⋹ b).

Innerhalb des Kreises der uns interessirenden Subsumtionsformen ist
dagegen für die Subsumtionen der zweiten Form noch folgender Satz von
Wichtigkeit:
θ) (a ; j ⋹ i) = (a ; j = 0) + (a ; j = i),
wonach die Subsumtion die Kraft einer Gleichung haben muss, sobald ihr
Subjekt nicht verschwindet, sobald es also ein a-Bild von j gibt.

Dieser Satz ist augenscheinlich nur ein Sonderfall des allgemeineren:
ι) (c ; 1 ⋹ i) = (c ; 1 = 0) + (c ; 1 = i),
wonach für jedes System c ; 1 = c gelten muss:
κ) (c ⋹ i) = (c = 0) + (c = i).

Um diese Aussagenäquivalenz, die sich als Subsumtion rückwärtig von
selbst versteht, als eine solche auch vorwärtig zu beweisen, erinnern wir
daran, dass nach S. 461 für jedes System c gelten muss