Zwölfte Vorlesung. Theorie der Abbildung. Ihre 15 Arten. Eindeutigkeit bei Zuordnungen und Gleichmächtigkeit von Systemen.
§ 30. Direkt sowie umgekehrt nie undeutige und nie mehrdeutige Zuordnung. Funktion, Argument und Substitution (Permutation) als Relative.
Im weitesten Sinne des Worts "Abbildung" kann jedes binäre Relativ a als eine Abbildung hingestellt werden, nämlich als eine eventuell bald "undeutige", bald "eindeutige", bald auch "mehrdeutige" Zuordnung (-- Begriffe, die wir demnächst erst näher zu erläutern haben). Wenn wir aber das Wort im engeren Sinne gebrauchen wollen, so wird von einem Relativ a, damit es als eine "Abbildung" bezeichnet werden dürfe, hinfort zu verlangen sein, dass sei es a selber, sei es auch seine Umkehrung a, mindestens eine der beiden Anforde- rungen erfülle: niemals undeutig, und niemals mehrdeutig zu sein.
Zur Motivirung der fraglichen Unterscheidungen bringe man sich folgendes zum Bewusstsein.
Jedes Relativ a genommen von einem Systeme b(= b ; 1) liefert wieder ein System, sintemal dann a ; b = a ; (b ; 1) = (a ; b) ; 1 ersichtlich System sein muss. Auch im weitesten Sinne des Worts "Bild" gilt sonach:
Das a-Bild eines Systems ist stets ein System.
Da ein Element i = i ; 1 ebenfalls System ist, so muss also ebenso auch gelten:
Das a-Bild eines Elementes muss allemal ein System sein: a ; i = (a ; i) ; 1. Es kann sich nur fragen, ob dieses System ein leeres ist, "verschwindet", oder ob es blos aus einem oder gar aus mehrern Elementen besteht.
Im ersten der drei Fälle "versagt" die Abbildung a für unser Element i, ist a ; i(= 0) nichtsbedeutend, sinnlos und u überhaupt als Abbildung "eventuell undeutig" zu nennen; im zweiten ist sie "eventuell eindeutig", nämlich zum mindesten so bei Anwendung auf unser i; im dritten ist sie "eventuell mehrdeutig": es kann dann a ; i als Name einer Gattung ge- braucht werden, der sich jedes Element dieses Systems a ; i einordnet -- sodass letztres System als "das a-Bild von i" gegenübersteht (und wohl zu unterscheiden sein wird von) seinen Elementen, deren jedes auch -- mit dem unbestimmten Artikel -- "ein a-Bild von i" genannt werden darf.
Zwölfte Vorlesung. Theorie der Abbildung. Ihre 15 Arten. Eindeutigkeit bei Zuordnungen und Gleichmächtigkeit von Systemen.
§ 30. Direkt sowie umgekehrt nie undeutige und nie mehrdeutige Zuordnung. Funktion, Argument und Substitution (Permutation) als Relative.
Im weitesten Sinne des Worts „Abbildung“ kann jedes binäre Relativ a als eine Abbildung hingestellt werden, nämlich als eine eventuell bald „undeutige“, bald „eindeutige“, bald auch „mehrdeutige“ Zuordnung (— Begriffe, die wir demnächst erst näher zu erläutern haben). Wenn wir aber das Wort im engeren Sinne gebrauchen wollen, so wird von einem Relativ a, damit es als eine „Abbildung“ bezeichnet werden dürfe, hinfort zu verlangen sein, dass sei es a selber, sei es auch seine Umkehrung ă, mindestens eine der beiden Anforde- rungen erfülle: niemals undeutig, und niemals mehrdeutig zu sein.
Zur Motivirung der fraglichen Unterscheidungen bringe man sich folgendes zum Bewusstsein.
Jedes Relativ a genommen von einem Systeme b(= b ; 1) liefert wieder ein System, sintemal dann a ; b = a ; (b ; 1) = (a ; b) ; 1 ersichtlich System sein muss. Auch im weitesten Sinne des Worts „Bild“ gilt sonach:
Das a-Bild eines Systems ist stets ein System.
Da ein Element i = i ; 1 ebenfalls System ist, so muss also ebenso auch gelten:
Das a-Bild eines Elementes muss allemal ein System sein: a ; i = (a ; i) ; 1. Es kann sich nur fragen, ob dieses System ein leeres ist, „verschwindet“, oder ob es blos aus einem oder gar aus mehrern Elementen besteht.
Im ersten der drei Fälle „versagt“ die Abbildung a für unser Element i, ist a ; i(= 0) nichtsbedeutend, sinnlos und u überhaupt als Abbildung „eventuell undeutig“ zu nennen; im zweiten ist sie „eventuell eindeutig“, nämlich zum mindesten so bei Anwendung auf unser i; im dritten ist sie „eventuell mehrdeutig“: es kann dann a ; i als Name einer Gattung ge- braucht werden, der sich jedes Element dieses Systems a ; i einordnet — sodass letztres System als „das a-Bild von i“ gegenübersteht (und wohl zu unterscheiden sein wird von) seinen Elementen, deren jedes auch — mit dem unbestimmten Artikel — „ein a-Bild von i“ genannt werden darf.
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Zuordnung. Funktion, Argument und Substitution (Permutation)
als Relative.
Im weitesten Sinne des Worts „Abbildung“ kann jedes binäre
Relativ a als eine Abbildung hingestellt werden, nämlich als eine
eventuell bald „undeutige“, bald „eindeutige“, bald auch „mehrdeutige“
Zuordnung (— Begriffe, die wir demnächst erst näher zu erläutern
haben). Wenn wir aber das Wort im engeren Sinne gebrauchen
wollen, so wird von einem Relativ a, damit es als eine „Abbildung“
bezeichnet werden dürfe, hinfort zu verlangen sein, dass sei es a selber,
sei es auch seine Umkehrung ă, mindestens eine der beiden Anforde-
rungen erfülle: niemals undeutig, und niemals mehrdeutig zu sein.
Zur Motivirung der fraglichen Unterscheidungen bringe man sich
folgendes zum Bewusstsein.
Jedes Relativ a genommen von einem Systeme b(= b ; 1) liefert wieder
ein System, sintemal dann a ; b = a ; (b ; 1) = (a ; b) ; 1 ersichtlich System
sein muss. Auch im weitesten Sinne des Worts „Bild“ gilt sonach:
Das a-Bild eines Systems ist stets ein System.
Da ein Element i = i ; 1 ebenfalls System ist, so muss also ebenso
auch gelten:
Das a-Bild eines Elementes muss allemal ein System sein: a ; i = (a ; i) ; 1.
Es kann sich nur fragen, ob dieses System ein leeres ist, „verschwindet“,
oder ob es blos aus einem oder gar aus mehrern Elementen besteht.
Im ersten der drei Fälle „versagt“ die Abbildung a für unser Element i,
ist a ; i(= 0) nichtsbedeutend, sinnlos und u überhaupt als Abbildung
„eventuell undeutig“ zu nennen; im zweiten ist sie „eventuell eindeutig“,
nämlich zum mindesten so bei Anwendung auf unser i; im dritten ist sie
„eventuell mehrdeutig“: es kann dann a ; i als Name einer Gattung ge-
braucht werden, der sich jedes Element dieses Systems a ; i einordnet —
sodass letztres System als „das a-Bild von i“ gegenübersteht (und wohl
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. [553]. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/567>, abgerufen am 23.11.2024.
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