Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 29. Rückschluss von den Koeffizienten auf die Relative.

aus a, b, c, … durch die 6 Spezies incl. Σ, Π aufgebauten Relatives,
einer „Relativfunktion“ X, und wird damit x = X gefunden sein.

Letzteres gelingt auch praktisch immer, zum wenigsten unter Bei-
hülfe von Summen und Produktformen erster Stufe, die sich blos über
den Denkbereich 1¹ der Elemente erstrecken — wie wir nachher bei
einer letzten Aufgabe noch zu zeigen gedenken.

Zumeist jedoch scheitert der Versuch praktisch an der vorher-
gehenden Auflage — und bleibt darum die Methode gewisslich noch
weitrer Ausgestaltung bedürftig.

Aufgabe 25. Gesucht sei
114) [Formel 1]
wobei h nicht als Elementbuchstabe gelten soll — sodass unser Π acht
beliebige Relative als Parameter aufweist.

Man findet unschwer durch das Exhaustionsverfahren:
115) x_{i j} = Σ_ke_{i k}h_{k j}Π_l(b_{i l}Σ_ma_{i m}c_{l m}d_{m j} + f_{i l} + g_{l k})
und kommt es jetzt noch darauf an, den Ausdruck zu „verdichten“, d. h. auf-
grund dieser Koeffizientenbeziehung das Relativ x selbst durch die acht
Parameter auszudrücken. Dies gelingt, wenn wir schliesslich die laufenden
Zeiger k, l durch j, i ersetzen, in der Gestalt:
116) x = Σ_je{(b + f) ɟ g} ; j · j̆ ; h · Π_i{a ; (c̆ ; i)d + f ; i + ĭ ; g ; j}
— ein Resultat, aus welchem sich die meisten unsrer frühern Ergebnisse,
z. B. für a = 1, d = 1' unter Buchstabenvertauschung das 113), als Sonder-
fälle in schätzbarer Kontrole richtig ableiten lassen.

Behufs Herleitung von 116) — woraus ein Stück Methode zu abs-
trahiren — formen wir um: c_{l m} = c̆_{m l} = (c̆ ; l)_{m j} — vergl. S. 423 —
worauf sich die Σ_m in {a ; (c̆ ; l)d}_{i j} verwandelt. Wir zerlegen ferner das
Π_l in einesteils Π_l(b_{i l} + f_{i l} + g_{l k}) = {(b + f) ɟ g}_{i k} was sich noch mit dem
Faktor e_{i k} zu [e{(b + f) ɟ g}]_{i k} zusammenziehen wird — was kürzehalber r_{i k}
für den Augenblick heissen möge, und andernteils: Π_l{a ; (c̆ ; l)d + f ; l + l̆ ; g ; k}_{i j}.
Wird nun noch r_{i k}h_{k j} äquivalent in (r ; k · k̆ ; h)_{i j} umgeschrieben, so kann
man rechts in 115) das Suffix ij gänzlich heraussetzen, und es hernach in
Gemässheit der Festsetzung (14) Korollar, S. 33, sintemal die Gleichung 115)
unter der Herrschaft des Zeichens Π_{i j} zu denken war, beiderseits weglassen.
So wird aus 115) das Resultat 116) gewonnen sein.

Durch geeignete Benutzung der Formeln 34) bis 36) des § 25 wird
sich solche „Verdichtung“, Zusammenziehung, jederzeit verwirklichen lassen.

Es ist also nur das Ausmerzungs-, oder Exhaustionsverfahren, worin
noch unbewältigte Schwierigkeiten zutage treten können.

Solche wird der Forscher alsbald gewahren, wenn er z. B. das
[Formel 2] zu ermitteln versucht. —