Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 29. Sichtbarmachen von Termen behufs Produktevaluation.

Das dual Entsprechende für die Σ zu statuiren überlassen wir
zumeist dem Leser.

Als Problem kann daher nur die Ermittelung solcher Π, Σ ein
Interesse bieten, bei denen im allgemeinen Term f(u) neben u oder ŭ
auch ū oder ū̆ wesentlich vorkommt.

Aufgaben dieser Art haben wir in 1) und 6) gelöst. Dieselben
lassen sich durch nachher zur Kenntniss zu nehmende Methoden noch-
mals verallgemeinern zu dem Satze
111) [Formel 1] ,
worin die Summen nach ϰ und λ sich über irgendwelche Reihen oder
Gebiete von Suffixwerten, wie 1, 2, 3, … erstrecken.

Allgemeinern Erörterungen über die Methode wollen wir noch ein
paar konkrete Beispiele vorausschicken, die nach Herleitung und Re-
sultat von Interesse.

Aufgabe 22. Beim Anblick von 5) drängt sich als Gegenstück
die Frage auf nach dem Werte der nächstfolgenden Produkte Π, hinter
die wir aber sogleich die sie beantwortende Wertangabe setzen:
112) [Formel 2]
— wobei das zweite Ergebniss sich auch durch Buchstabenvertauschung
mit Rücksicht auf 109) aus dem ersten ableiten lässt.

Behufs Herleitung und Beweises nennen wir x das gesuchte erste Π,
und U dessen allgemeinen Faktor, so ist:
[Formel 3] U_{i j} = Σ_ha_{i h}b_{h j}u_{i h} + Σ_kc_{i k}d_{k j}ū_{k j}.

Diesen Ausdruck „entwickeln“ wir nun nach u_{i j}, indem wir letztres
(und sein Negat) sozusagen „prominent machen“ oder „in Evidenz bringen“.
Zu dem Ende ist nämlich erforderlich und ausreichend, dass man die Glieder
oder Terme, in welchen u oder ū mit diesem bestimmten Suffixe ij behaftet
ist, überall wo sie sich finden können, hervor- oder heraustreten lasse.

Dies kann rein rechnerisch gemacht werden, in unserm Falle: indem
man das allgemeine Glied der Σ_h mit (1 =)(1'_{h j} + 0'_{h j}), das der Σ_k mit
(1 =)(1'_{k i} + 0'_{k i}) multiplizirt, dann zerlegt, und auf die ersten Teile das
Schema 12_×) von S. 121 anwendet. So kommt in der That:
U_{i j} = a_{i j}b_{j j}u_{i j} + c_{i i}d_{i j}ū_{i j} + Σ_h0'_{h j}a_{i h}b_{h j}u_{i h} + Σ_k0'_{i k}c_{i k}d_{k j}ū_{k j},
wo nun also in den beiden letzten Summen nur von einander und von u_{i j}
verschieden bezeigerte u-Koeffizienten vorkommen. Diese werden im [Formel 4]

Schröder, Algebra der Relative. 35