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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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Elfte Vorlesung.
108) x = Pia ; inb = Piain ; b
gelungen ist. Über dies letztre Problem erster Stufe, mit dem wir wieder zu
dem Hauptthema unsres Paragraphen zurückkehren, und das -- schon für
b = 0' -- noch nicht gelöst werden konnte, liesse zwar sich bereits viel Inter-
essantes sagen; doch müssen wir uns bescheiden, und sei dasselbe als nächst-
einfaches unter den bislang ungelösten Problemen zu weitern Forschungen
empfohlen.


Bei der Wichtigkeit, ja der für den Vollzug von Eliminationen, für
das Schliessen überhaupt, ganz fundamentalen Bedeutung, welche indess
das Summirungs- resp. Produktirproblem zweiter Stufe am Ende des
§ 28 gewann, seien zum Schlusse nunmehr diesem noch einige Betrach-
tungen gewidmet. Es wird sich in (praktisch unerheblicher) Modifi-
kation des S. 468 Gesagten zeigen, dass unsre Algebra allerdings auch
über Methoden zur Lösung dieses Problemes verfügt, welche theoretisch
von allgemeiner Anwendbarkeit sind, deren versuchte Anwendung jedoch
praktisch zumeist in anscheinend unüberwindliche technische Schwierig-
keiten oder rechnerische Komplikationen verwickelt.

Wenn die Erstreckung der P, S die absolute (über den ganzen
Denkbereich 12) ist, so kann als selbstverständlich gelten, dass
109) [Formel 1]
und ähnlich für S -- wonach denn auch die Produktationsvariable
durch jedes ihrer verwandten Relative ersetzbar wäre. Denn nimmt u
jeden Wert an, so auch un, u etc.

Wenn ferner im Ausdrucke von f(u) nach gehöriger Reduktion
desselben als namentlich Ausführung aller Negationen an zusammen-
gesetzten Ausdruckteilen (neben irgendwelchen Parameterrelativen sive
Konstanten hinsichtlich u) blos u und u vorkommt, nicht aber un und un
(oder umgekehrt), so ist von vornherein
[Formel 2] bekannt, was auch einfacher schon darstellbar ist durch
110) [Formel 3] .

Dann haben wir nämlich f(0) als minimalen und in allen übrigen ent-
haltenen Faktor in unserm P, wofür der Nachweis durch kombinirte An-
wendung von den Sätzen u0 uv, u + 0 u + v, u ; 0 u ; v, u j 0 u j v
und von deren konjugirten, mithin wesentlich des Theorems 1) des § 6 mit
Rücksicht auf 0 v, auch detaillirter noch geliefert werden könnte. So hat
man beispielsweise sogleich
[Formel 4] .


Elfte Vorlesung.
108) x = Πia ; īb = Πiaī̆ ; b
gelungen ist. Über dies letztre Problem erster Stufe, mit dem wir wieder zu
dem Hauptthema unsres Paragraphen zurückkehren, und das — schon für
b = 0' — noch nicht gelöst werden konnte, liesse zwar sich bereits viel Inter-
essantes sagen; doch müssen wir uns bescheiden, und sei dasselbe als nächst-
einfaches unter den bislang ungelösten Problemen zu weitern Forschungen
empfohlen.


Bei der Wichtigkeit, ja der für den Vollzug von Eliminationen, für
das Schliessen überhaupt, ganz fundamentalen Bedeutung, welche indess
das Summirungs- resp. Produktirproblem zweiter Stufe am Ende des
§ 28 gewann, seien zum Schlusse nunmehr diesem noch einige Betrach-
tungen gewidmet. Es wird sich in (praktisch unerheblicher) Modifi-
kation des S. 468 Gesagten zeigen, dass unsre Algebra allerdings auch
über Methoden zur Lösung dieses Problemes verfügt, welche theoretisch
von allgemeiner Anwendbarkeit sind, deren versuchte Anwendung jedoch
praktisch zumeist in anscheinend unüberwindliche technische Schwierig-
keiten oder rechnerische Komplikationen verwickelt.

Wenn die Erstreckung der Π, Σ die absolute (über den ganzen
Denkbereich 12) ist, so kann als selbstverständlich gelten, dass
109) [Formel 1]
und ähnlich für Σ — wonach denn auch die Produktationsvariable
durch jedes ihrer verwandten Relative ersetzbar wäre. Denn nimmt u
jeden Wert an, so auch ū, ŭ etc.

Wenn ferner im Ausdrucke von f(u) nach gehöriger Reduktion
desselben als namentlich Ausführung aller Negationen an zusammen-
gesetzten Ausdruckteilen (neben irgendwelchen Parameterrelativen sive
Konstanten hinsichtlich u) blos u und ŭ vorkommt, nicht aber ū und ū̆
(oder umgekehrt), so ist von vornherein
[Formel 2] bekannt, was auch einfacher schon darstellbar ist durch
110) [Formel 3] .

Dann haben wir nämlich f(0) als minimalen und in allen übrigen ent-
haltenen Faktor in unserm Π, wofür der Nachweis durch kombinirte An-
wendung von den Sätzen u0 ⋹ uv, u + 0 ⋹ u + v, u ; 0 ⋹ u ; v, u ɟ 0 ⋹ u ɟ v
und von deren konjugirten, mithin wesentlich des Theorems 1) des § 6 mit
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man beispielsweise sogleich
[Formel 4] .


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[544/0558] Elfte Vorlesung. 108) x = Πia ; īb = Πiaī̆ ; b gelungen ist. Über dies letztre Problem erster Stufe, mit dem wir wieder zu dem Hauptthema unsres Paragraphen zurückkehren, und das — schon für b = 0' — noch nicht gelöst werden konnte, liesse zwar sich bereits viel Inter- essantes sagen; doch müssen wir uns bescheiden, und sei dasselbe als nächst- einfaches unter den bislang ungelösten Problemen zu weitern Forschungen empfohlen. Bei der Wichtigkeit, ja der für den Vollzug von Eliminationen, für das Schliessen überhaupt, ganz fundamentalen Bedeutung, welche indess das Summirungs- resp. Produktirproblem zweiter Stufe am Ende des § 28 gewann, seien zum Schlusse nunmehr diesem noch einige Betrach- tungen gewidmet. Es wird sich in (praktisch unerheblicher) Modifi- kation des S. 468 Gesagten zeigen, dass unsre Algebra allerdings auch über Methoden zur Lösung dieses Problemes verfügt, welche theoretisch von allgemeiner Anwendbarkeit sind, deren versuchte Anwendung jedoch praktisch zumeist in anscheinend unüberwindliche technische Schwierig- keiten oder rechnerische Komplikationen verwickelt. Wenn die Erstreckung der Π, Σ die absolute (über den ganzen Denkbereich 12) ist, so kann als selbstverständlich gelten, dass 109) [FORMEL] und ähnlich für Σ — wonach denn auch die Produktationsvariable durch jedes ihrer verwandten Relative ersetzbar wäre. Denn nimmt u jeden Wert an, so auch ū, ŭ etc. Wenn ferner im Ausdrucke von f(u) nach gehöriger Reduktion desselben als namentlich Ausführung aller Negationen an zusammen- gesetzten Ausdruckteilen (neben irgendwelchen Parameterrelativen sive Konstanten hinsichtlich u) blos u und ŭ vorkommt, nicht aber ū und ū̆ (oder umgekehrt), so ist von vornherein [FORMEL] bekannt, was auch einfacher schon darstellbar ist durch 110) [FORMEL]. Dann haben wir nämlich f(0) als minimalen und in allen übrigen ent- haltenen Faktor in unserm Π, wofür der Nachweis durch kombinirte An- wendung von den Sätzen u0 ⋹ uv, u + 0 ⋹ u + v, u ; 0 ⋹ u ; v, u ɟ 0 ⋹ u ɟ v und von deren konjugirten, mithin wesentlich des Theorems 1) des § 6 mit Rücksicht auf 0 ⋹ v, auch detaillirter noch geliefert werden könnte. So hat man beispielsweise sogleich [FORMEL].

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 544. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/558>, abgerufen am 23.11.2024.