Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 29. Determination des dritten Inversionsproblems.

— worin nämlich der unterwellte Term auch unterdrückbar — als Ausdruck
der gesuchten Bedingung. Dieser kann aber jetzt nicht mehr für sich, sondern
erst in Verbindung mit der ersten Subsumtion 103), welche uns c = a ver-
bürgte, „hinreichend“ genannt werden. Die hinreichende oder volle Bedingung
drückte 105) allein noch aus, falls man c für a restituirte und dann für c
seinen Wert a ; b ɟ b̄̆ einsetzte. In den Koeffizienten stellt sich die letzte Forde-
rung 105) einfachst dar als:
105⁰) a_{h k}Π_m{(ā ɟ b̄)_{h m} + Σ_la_{h l}0'_{k l}b_{l m}} = 0.

Aus 105) können manche Folgerungen gezogen werden. Die Forderung
muss nämlich a fortiori bestehen, wenn man hinter dem Π_i irgendwelche
Glieder unterdrückt, ev. auch Faktoren zufügt.

So muss z. B. gelten: aΠ_i{(ā ɟ b̄) ; i + ĭ ; b̄̆} = 0, d. h. nach 14)
a(ā ɟ b̄ ɟ b̄̆) = 0 oder a ⋹ a ; b ; b̆
in Bestätigung der zweiten Subsumtion 103). Ebenso folgt dies aus der
letzten Form von 105) sofort, imgleichen wie: a(ā ɟ b̄ ɟ 0) = 0 oder a ⋹ a ; b ; 1,
was sich durch 104) bestätigt. Etc.

Ferner muss sein aΠ_i(ī̆ + a ; īb ɟ 0) = 0. Nach 7) des § 6 ist aber a ; (īb ɟ 0) ⋹
⋹ a ; īb ɟ 0 und hier das Subjekt gleich a ; (ī ɟ 0)(b ɟ 0) = a ; ī(b ɟ 0) = a(0 ɟ b̆) ; ī,
folglich a fortiori aΠ_i{a(0 ɟ b̆) ; ī + ī̆} = 0, was nach 18) gibt: a · a(0 ɟ b̆) ; 0'
oder
106) a · a ; 0'(b ɟ 0) = 0
als eine fernere notwendige Bedingung.

Nun kann man zwar der ersten Subsumtion 103) für sich auf die all-
gemeinste Weise genügen durch den Ansatz: a = α ; b ɟ b̄̆, wie schon in 4⁰)
des § 19) gezeigt; der zweiten für sich durch den Ansatz a = α · α ; b ; b̆.
Beiden Forderungen 103) zugleich, die auch 104) involvirten, lässt sich, wie
ich durch eine mühsamere Untersuchung fand, auf allgemeinste Weise in un-
abhängigen Parametern α, β genügen durch die unschwer zu verifizirenden
Ansätze:
107) a = α ; (β̄ ɟ 0) + α ; β ɟ 0 + (α ; β ɟ β̄̆) · 1 ; β̆, b = β̄ ɟ 0 + β,
und so könnte man vielleicht noch fortfahren, durch weitre Bestimmung der
Parameter auch fernern Teilforderungen oder Unter-Bedingungen des Problemes
— wie 106) — nach und nach Genüge zu leisten.

Allein solange man nicht die Produkte Π_i in 105) in geschlossener
Form auszuwerten vermag, indem man dieselben äquivalent in Funktionen
von a und b transformirt, die sich lediglich vermittelst der 6 Spezies aus
diesen Argumenten und vielleicht den Moduln aufbauen, ist wenig Aussicht
vorhanden, dass man auf diesem Wege zur völligen Lösung dieser unsrer
schwierigen „Determinationsaufgabe“ (zum dritten Inversionsprobleme) ge-
langen wird.

Es muss deshalb das Problem hier stehn gelassen werden.

Versuchte Auswertung jener Π_i ferner dürfte kaum Erfolg versprechen,
solange sie nicht bei soviel einfacheren Produkten wie: