§ 29. Partikularfälle des dritten Inversionsproblems.
Lösungen, die sich selbständig für ebendiese Partikularfälle finden liessen und nicht immer mit den durch die Partikularisirung ge- wonnenen wesentlich übereinstimmen.
Erstens. Sei b System, oder besser gesagt: es stehe b ; 1 (bei wiederum beliebig anzunehmendem b) an Stelle von b, mithin bn j 0 für bn, 1 ; b für b, 0 j bn für bn. So wird: c = a ; b ; 1 j 0 j bn = a ; b ; 1 + 0 j bn, cn = (an j bn j 0) · 1 ; b, un + cn = (un + an j bn j 0)(un + 1 ; b), woran nun mit j bn j 0 zu operiren ist. Der zweite Faktor wird alsdann (un + 1 ; b) j bn j 0 = un j (bn j 0 + b ; 1) = un j 1 = 1, cf. 10) des § 27, das Ganze mithin gleich dem ersten Faktor, d. h. das (un + cn) j bn des Schema's 64) wird = un j bn j 0 + an j bn j 0, und (a ; b){(un + cn) j bn} wird a ; b ; 1 · (un j bn j 0). Dies ist mit dem frühern b, also 1 ; b, wonicht mit 1, relativ nachzumulti- pliziren, wodurch entsteht: (un j bn j 0) · a ; b ; 1 ; b, worin jedoch der Faktor 1 ; b auch durch 1 ; 1, = 1, ersetzbar, mithin unterdrückbar. Darnach ergibt sich leicht: 78)
[Formel 1]
als die allgemeine Wurzel der Gleichung x ; b ; 1 = a ; b ; 1. Bei Unterdrückung des als unterdrückbar erwiesenen unterwellten Faktors stimmt dies Ergebniss völlig überein mit dem, welches ich lange vor 22) selbständig gefunden hatte, indem ich die Koeffizientenforderung: Pi {Shxi h(b ; 1)h = Shai h(b ; 1)h} nach dem Schema von Bd. 2, § 51, Aufg. 21 systematisch auflöste.
Für das etwa durch die Fortlassung des unterwellten Terms vereinfachte Ergebniss gelingt es unschwer auch die beiden Proben zu leisten, wobei zu Probe 1 nur zu beachten ist, dass a ; b ; 1 · 1 ; b ; 1 = a ; b ; 1, sowie nach 10) des § 27: u(0 j bn) ; b ; 1 = u ; (bn j 0)(b ; 1) = u ; 0 = 0 ist, und sich dann x ; b ; 1 gleich a ; b ; 1 mal un j bn j 0 + u ; b ; 1, welches = 1 ist, ergibt. Probe 2 betreffend ist zu zeigen, dass, sooft x ; b ; 1 = a ; b ; 1 ist, die Gleichung 78) für u = x zutrifft. Darin verschwindet aber rechts das erste Glied wegen a ; b ; 1 x ; b ; 1, und bleibt blos xa ; b ; 1 + 0 j bn zu zeigen, was aus x ; b ; 1 a ; b ; 1 zunächst in der Gestalt xa ; b ; 1 j 0 j bn nach dem ersten Inversionstheoreme durch Hinüberwerfen des relativen Faktors b ; 1 in der That folgt, q. e. d.
Speziell b durch i ersetzend erhalten wir nun auch die Lösung: x = (un j in) · a ; i + a ; i · u + u(0 j in) und haben noch etwas vereinfachend im Hinblick auf 29) S. 420 etc. den Satz: 79)
[Formel 2]
und ähnlich auch: 80)
[Formel 3]
.
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§ 29. Partikularfälle des dritten Inversionsproblems.
Lösungen, die sich selbständig für ebendiese Partikularfälle finden liessen und nicht immer mit den durch die Partikularisirung ge- wonnenen wesentlich übereinstimmen.
Erstens. Sei b System, oder besser gesagt: es stehe b ; 1 (bei wiederum beliebig anzunehmendem b) an Stelle von b, mithin b̄ ɟ 0 für b̄, 1 ; b̆ für b̆, 0 ɟ b̄̆ für b̄̆. So wird: c = a ; b ; 1 ɟ 0 ɟ b̄̆ = a ; b ; 1 + 0 ɟ b̄̆, c̄ = (ā ɟ b̄ ɟ 0) · 1 ; b̆, ū + c̄ = (ū + ā ɟ b̄ ɟ 0)(ū + 1 ; b̆), woran nun mit ɟ b̄ ɟ 0 zu operiren ist. Der zweite Faktor wird alsdann (ū + 1 ; b̆) ɟ b̄ ɟ 0 = ū ɟ (b̄ ɟ 0 + b ; 1) = ū ɟ 1 = 1, cf. 10) des § 27, das Ganze mithin gleich dem ersten Faktor, d. h. das (ū + c̄) ɟ b̄ des Schema’s 64) wird = ū ɟ b̄ ɟ 0 + ā ɟ b̄ ɟ 0, und (a ; b){(ū + c̄) ɟ b̄} wird a ; b ; 1 · (ū ɟ b̄ ɟ 0). Dies ist mit dem frühern b̆, also 1 ; b̆, wonicht mit 1, relativ nachzumulti- pliziren, wodurch entsteht: (ū ɟ b̄ ɟ 0) · a ; b ; 1 ; b̆, worin jedoch der Faktor 1 ; b̆ auch durch 1 ; 1, = 1, ersetzbar, mithin unterdrückbar. Darnach ergibt sich leicht: 78)
[Formel 1]
als die allgemeine Wurzel der Gleichung x ; b ; 1 = a ; b ; 1. Bei Unterdrückung des als unterdrückbar erwiesenen unterwellten Faktors stimmt dies Ergebniss völlig überein mit dem, welches ich lange vor 22) selbständig gefunden hatte, indem ich die Koeffizientenforderung: Πi {Σhxi h(b ; 1)h = Σhai h(b ; 1)h} nach dem Schema von Bd. 2, § 51, Aufg. 21 systematisch auflöste.
Für das etwa durch die Fortlassung des unterwellten Terms vereinfachte Ergebniss gelingt es unschwer auch die beiden Proben zu leisten, wobei zu Probe 1 nur zu beachten ist, dass a ; b ; 1 · 1 ; b ; 1 = a ; b ; 1, sowie nach 10) des § 27: u(0 ɟ b̄̆) ; b ; 1 = u ; (b̄ ɟ 0)(b ; 1) = u ; 0 = 0 ist, und sich dann x ; b ; 1 gleich a ; b ; 1 mal ū ɟ b̄ ɟ 0 + u ; b ; 1, welches = 1 ist, ergibt. Probe 2 betreffend ist zu zeigen, dass, sooft x ; b ; 1 = a ; b ; 1 ist, die Gleichung 78) für u = x zutrifft. Darin verschwindet aber rechts das erste Glied wegen a ; b ; 1 ⋹ ⋹ x ; b ; 1, und bleibt blos x ⋹ a ; b ; 1 + 0 ɟ b̄̆ zu zeigen, was aus x ; b ; 1 ⋹ a ; b ; 1 zunächst in der Gestalt x ⋹ a ; b ; 1 ɟ 0 ɟ b̄̆ nach dem ersten Inversionstheoreme durch Hinüberwerfen des relativen Faktors b ; 1 in der That folgt, q. e. d.
Speziell b durch i ersetzend erhalten wir nun auch die Lösung: x = (ū ɟ ī) · a ; i + a ; i · u + u(0 ɟ ī̆) und haben noch etwas vereinfachend im Hinblick auf 29) S. 420 etc. den Satz: 79)
[Formel 2]
und ähnlich auch: 80)
[Formel 3]
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§ 29. Partikularfälle des dritten Inversionsproblems.
Lösungen, die sich selbständig für ebendiese Partikularfälle finden
liessen und nicht immer mit den durch die Partikularisirung ge-
wonnenen wesentlich übereinstimmen.
Erstens. Sei b System, oder besser gesagt: es stehe b ; 1 (bei wiederum
beliebig anzunehmendem b) an Stelle von b, mithin b̄ ɟ 0 für b̄, 1 ; b̆ für b̆,
0 ɟ b̄̆ für b̄̆. So wird:
c = a ; b ; 1 ɟ 0 ɟ b̄̆ = a ; b ; 1 + 0 ɟ b̄̆, c̄ = (ā ɟ b̄ ɟ 0) · 1 ; b̆,
ū + c̄ = (ū + ā ɟ b̄ ɟ 0)(ū + 1 ; b̆), woran nun mit ɟ b̄ ɟ 0 zu operiren ist. Der
zweite Faktor wird alsdann
(ū + 1 ; b̆) ɟ b̄ ɟ 0 = ū ɟ (b̄ ɟ 0 + b ; 1) = ū ɟ 1 = 1, cf. 10) des § 27,
das Ganze mithin gleich dem ersten Faktor, d. h. das (ū + c̄) ɟ b̄ des Schema’s 64)
wird = ū ɟ b̄ ɟ 0 + ā ɟ b̄ ɟ 0, und (a ; b){(ū + c̄) ɟ b̄} wird a ; b ; 1 · (ū ɟ b̄ ɟ 0).
Dies ist mit dem frühern b̆, also 1 ; b̆, wonicht mit 1, relativ nachzumulti-
pliziren, wodurch entsteht: (ū ɟ b̄ ɟ 0) · a ; b ; 1 ; b̆, worin jedoch der Faktor 1 ; b̆
auch durch 1 ; 1, = 1, ersetzbar, mithin unterdrückbar. Darnach ergibt sich
leicht:
78) [FORMEL]
als die allgemeine Wurzel der Gleichung x ; b ; 1 = a ; b ; 1. Bei Unterdrückung
des als unterdrückbar erwiesenen unterwellten Faktors stimmt dies Ergebniss
völlig überein mit dem, welches ich lange vor 22) selbständig gefunden hatte,
indem ich die Koeffizientenforderung:
Πi {Σhxi h(b ; 1)h = Σhai h(b ; 1)h}
nach dem Schema von Bd. 2, § 51, Aufg. 21 systematisch auflöste.
Für das etwa durch die Fortlassung des unterwellten Terms vereinfachte
Ergebniss gelingt es unschwer auch die beiden Proben zu leisten, wobei zu
Probe 1 nur zu beachten ist, dass a ; b ; 1 · 1 ; b ; 1 = a ; b ; 1, sowie nach 10)
des § 27: u(0 ɟ b̄̆) ; b ; 1 = u ; (b̄ ɟ 0)(b ; 1) = u ; 0 = 0 ist, und sich dann
x ; b ; 1 gleich a ; b ; 1 mal ū ɟ b̄ ɟ 0 + u ; b ; 1, welches = 1 ist, ergibt. Probe 2
betreffend ist zu zeigen, dass, sooft x ; b ; 1 = a ; b ; 1 ist, die Gleichung 78) für
u = x zutrifft. Darin verschwindet aber rechts das erste Glied wegen a ; b ; 1 ⋹
⋹ x ; b ; 1, und bleibt blos x ⋹ a ; b ; 1 + 0 ɟ b̄̆ zu zeigen, was aus x ; b ; 1 ⋹ a ; b ; 1
zunächst in der Gestalt x ⋹ a ; b ; 1 ɟ 0 ɟ b̄̆ nach dem ersten Inversionstheoreme
durch Hinüberwerfen des relativen Faktors b ; 1 in der That folgt, q. e. d.
Speziell b durch i ersetzend erhalten wir nun auch die Lösung:
x = (ū ɟ ī) · a ; i + a ; i · u + u(0 ɟ ī̆) und haben noch etwas vereinfachend
im Hinblick auf 29) S. 420 etc. den Satz:
79) [FORMEL]
und ähnlich auch:
80) [FORMEL].
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 531. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/545>, abgerufen am 24.08.2024.
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