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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 29. Diskussion des P der Wurzeln des Inversionsproblems.
58) [Formel 1] .

Beweis. Schreibt man die erste Zeile als L = M = R, so ist L = M
bereits mit der letzten Gleichung 53) gegeben; denn indem man dort a ; b
für a schreibt, wird sich der Faktor b ; 1 des nunmehr dritten relativen
Faktors konvertirt als 1 ; b zum zweiten b schlagen lassen und in diesem
eingehen. Bleibt also noch M = R zu beweisen, wo
Mi j = Sh kai hbh kPl(bnl k + 1'l j), Ri j = ai jSkPl(bnl k + 1'l j)bj k.

In Mi j verschwindet aber in der That jedes Glied der Sh worin h j
ist, weil dann in ihm bh k mit einem effektiven Faktor bnh k des Pl zu-
sammentrifft, q. e. d.

Sonach erhalten wir an Stelle von 54) und 55):
59) [Formel 2] ,
60) [Formel 3]

Seiner Wichtigkeit halber wollen wir auch diesen letztern Satz noch-
mals -- selbständig -- beweisen.

Aus der Prämisse folgt:
ax ; b j bn, also a · 1 ; (bn j 1')b (x ; b j bn) · 1 ; (bn j 1')b
und wird die Behauptung a fortiori erwiesen sein, sofern sich zeigen lässt,
dass dieses Prädikat selber x sein muss. Nach 58), ferner 3) des § 19,
und wieder 58) haben wir in der That:
xn · (x ; b j bn) · 1 ; (bn j 1')b = xn · (x ; b j bn) ; b ; (bn j 1') = xn · x ; b ; (bn j 1') =
= xn · x · 1 ; (bn j 1')b xnx = 0.

Sehr wichtig ist nun aber die Bemerkung, dass der durch 60)
[oder 55)] verbürgte Schluss von der Voraussetzung oder linken Seite
der Aussagensubsumtionen auf die Behauptung oder rechte Seite der-
selben, nicht umkehrbar ist. M. a. W. Die Gemeinheit P aller Wurzeln x
der Subsumtion a ; b x ; b ist selbst im Allgemeinen keine Wurzel
derselben!

Die Aussagensubsumtionen 55), 60) haben also nicht die Kraft
von Gleichungen, oder: Durch äquivalente Transformation kann ein
relativer Faktor des Prädikats einer Subsumtion nicht isolirt werden
(sei es als Subjekt sei es) als Prädikat, sondern solches ist nur mittelst
Schlusses a fortiori (d. i. im abgeschwächten, besser: in abschwächendem

§ 29. Diskussion des Π der Wurzeln des Inversionsproblems.
58) [Formel 1] .

Beweis. Schreibt man die erste Zeile als L = M = R, so ist L = M
bereits mit der letzten Gleichung 53) gegeben; denn indem man dort a ; b
für a schreibt, wird sich der Faktor b̆ ; 1 des nunmehr dritten relativen
Faktors konvertirt als 1 ; b zum zweiten b schlagen lassen und in diesem
eingehen. Bleibt also noch M = R zu beweisen, wo
Mi j = Σh kai hbh kΠl(b̄l k + 1'l j), Ri j = ai jΣkΠl(b̄l k + 1'l j)bj k.

In Mi j verschwindet aber in der That jedes Glied der Σh worin h ≠ j
ist, weil dann in ihm bh k mit einem effektiven Faktor b̄h k des Πl zu-
sammentrifft, q. e. d.

Sonach erhalten wir an Stelle von 54) und 55):
59) [Formel 2] ,
60) [Formel 3]

Seiner Wichtigkeit halber wollen wir auch diesen letztern Satz noch-
mals — selbständig — beweisen.

Aus der Prämisse folgt:
a⋹x ; b ɟ b̄̆, also a · 1 ; (b̄̆ ɟ 1')b̆ ⋹ (x ; b ɟ b̄̆) · 1 ; (b̄̆ ɟ 1')b̆
und wird die Behauptung a fortiori erwiesen sein, sofern sich zeigen lässt,
dass dieses Prädikat selber ⋹ x sein muss. Nach 58), ferner 3) des § 19,
und wieder 58) haben wir in der That:
x̄ · (x ; b ɟ b̄̆) · 1 ; (b̄̆ ɟ 1')b̆ = x̄ · (x ; b ɟ b̄̆) ; b ; (b̄̆ ɟ 1') = x̄ · x ; b ; (b̄̆ ɟ 1') =
= x̄ · x · 1 ; (b̄̆ ɟ 1')b̆ ⋹ x̄x = 0.

Sehr wichtig ist nun aber die Bemerkung, dass der durch 60)
[oder 55)] verbürgte Schluss von der Voraussetzung oder linken Seite
der Aussagensubsumtionen auf die Behauptung oder rechte Seite der-
selben, nicht umkehrbar ist. M. a. W. Die Gemeinheit Π aller Wurzeln x
der Subsumtion a ; b ⋹ x ; b ist selbst im Allgemeinen keine Wurzel
derselben!

Die Aussagensubsumtionen 55), 60) haben also nicht die Kraft
von Gleichungen, oder: Durch äquivalente Transformation kann ein
relativer Faktor des Prädikats einer Subsumtion nicht isolirt werden
(sei es als Subjekt sei es) als Prädikat, sondern solches ist nur mittelst
Schlusses a fortiori (d. i. im abgeschwächten, besser: in abschwächendem

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[525/0539] § 29. Diskussion des Π der Wurzeln des Inversionsproblems. 58) [FORMEL]. Beweis. Schreibt man die erste Zeile als L = M = R, so ist L = M bereits mit der letzten Gleichung 53) gegeben; denn indem man dort a ; b für a schreibt, wird sich der Faktor b̆ ; 1 des nunmehr dritten relativen Faktors konvertirt als 1 ; b zum zweiten b schlagen lassen und in diesem eingehen. Bleibt also noch M = R zu beweisen, wo Mi j = Σh kai hbh kΠl(b̄l k + 1'l j), Ri j = ai jΣkΠl(b̄l k + 1'l j)bj k. In Mi j verschwindet aber in der That jedes Glied der Σh worin h ≠ j ist, weil dann in ihm bh k mit einem effektiven Faktor b̄h k des Πl zu- sammentrifft, q. e. d. Sonach erhalten wir an Stelle von 54) und 55): 59) [FORMEL], 60) [FORMEL] Seiner Wichtigkeit halber wollen wir auch diesen letztern Satz noch- mals — selbständig — beweisen. Aus der Prämisse folgt: a⋹x ; b ɟ b̄̆, also a · 1 ; (b̄̆ ɟ 1')b̆ ⋹ (x ; b ɟ b̄̆) · 1 ; (b̄̆ ɟ 1')b̆ und wird die Behauptung a fortiori erwiesen sein, sofern sich zeigen lässt, dass dieses Prädikat selber ⋹ x sein muss. Nach 58), ferner 3) des § 19, und wieder 58) haben wir in der That: x̄ · (x ; b ɟ b̄̆) · 1 ; (b̄̆ ɟ 1')b̆ = x̄ · (x ; b ɟ b̄̆) ; b ; (b̄̆ ɟ 1') = x̄ · x ; b ; (b̄̆ ɟ 1') = = x̄ · x · 1 ; (b̄̆ ɟ 1')b̆ ⋹ x̄x = 0. Sehr wichtig ist nun aber die Bemerkung, dass der durch 60) [oder 55)] verbürgte Schluss von der Voraussetzung oder linken Seite der Aussagensubsumtionen auf die Behauptung oder rechte Seite der- selben, nicht umkehrbar ist. M. a. W. Die Gemeinheit Π aller Wurzeln x der Subsumtion a ; b ⋹ x ; b ist selbst im Allgemeinen keine Wurzel derselben! Die Aussagensubsumtionen 55), 60) haben also nicht die Kraft von Gleichungen, oder: Durch äquivalente Transformation kann ein relativer Faktor des Prädikats einer Subsumtion nicht isolirt werden (sei es als Subjekt sei es) als Prädikat, sondern solches ist nur mittelst Schlusses a fortiori (d. i. im abgeschwächten, besser: in abschwächendem

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 525. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/539>, abgerufen am 23.11.2024.