Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 29. Diskussion des Π der Wurzeln des Inversionsproblems.

Auflösung. Als allgemeine Lösung der Subsumtion a · c ; b ⋹ xc ; b
haben wir nach 11) des § 19:
x = u + a(c ; b){(ū + c̄) ɟ b̄} ; b̆,
worin das b̆ auch durch 1 ersetzbar. Hiervon das Π nach u genommen
gibt — mit Rücksicht auf die letzte Bemerkung — nach den Schemata 48):
51_a) [Formel 1]
sintemal ĭ ; 1 = 1 ist.

Hervorragendes Interesse bietet uns der Fall c = 1, wo wir für die
allgemeine Wurzel x der Subsumtion des zweiten Inversionsproblems
a · 1 ; b ⋹ x ; b nach den Ergebnissen des § 18 [unter Meidung der dem
Fehlerverzeichniss verfallenen Formel 26)] die Ausdrucksformen haben:
52) [Formel 2]
deren drei erste nach Schema 27) des § 25 auf je eine der zwei letzten
(und somit zum Teil auch aufeinander) zurückführbar sind.

Demgemäss ergeben sich nun auch für die Gemeinheit y jener Wurzeln
nach 5) die Ausdrücke:
53) [Formel 3]
bezüglich deren Ähnliches zu bemerken wäre. Die Gleichheit der beiden
letzten von diesen beruht auf dem Satze 15) S. 210, wonach wir, b̆ mit b
vertauschend, haben: a ; (b̄ ɟ 1')(b ; 1) = a ; (b̄ ɟ 1')b, weil eben (b̄ ɟ 1') · b ; 1 =
= (b̄ ɟ 1')b. Für Letztres, was zeilenrechnerisch leicht zu erweisen, kann
man auch den Beweis per Koeffizientenevidenz geben mit:
L_{i j} = Π_k(b̄_{i k} + 1'_{k j})Σ_lb_{i l}, R_{i j} = Π_k(b̄_{i k} + 1'_{k j})b_{i j}.
Da im Π_k nun k ≠ j sein muss, so gibt bei l ≠ j uns k = l einen effek-
tiven Faktor, wobei in L_{i j} sich b̄_{i l} mit b_{i l} vernichtet, und bleibt sonach
von der Σ_l in jenem nur das Glied mit l = j stehen, worauf L_{i j} mit R_{i j}
übereinstimmt, q. e. d.

Unser Ergebniss ist also, dass:
54) [Formel 4] .

Da dieses Πx jedem der x eingeordnet sein muss, so wird sich
nun auch der Satz zu bewahrheiten haben:
55) [Formel 5]