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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 29. Produkte und Summen zweiter Stufe.

Nach der letzten Formel 12) ist damit gefunden:
x = 0 j (a + b)
-- was merkwürdigerweise symmetrisch ist inbezug auf a und b.

Nimmt man a = 1' an und sagt dann a für b, so ist insbesondre
gefunden:
[Formel 1] .
[Nähme man dagegen, u und un vertauschend, b = 0' an, so würde man
das Resultat der Aufgabe 8 in etwas andrer Gestalt, als 0 j (a + 0') wieder
erhalten.]

Als Korollar zum vorstehenden Ergebnisse kennen wir nun auch:
[Formel 2] ,
was ähnlich wie oben daraus abzuleiten.

Ganz nach derselben Methode lässt sich auch lösen die, eine Erweite-
rung der vorigen vorstellende

Aufgabe 10. Gesucht [Formel 3] .
[Formel 4] = Pi(b ; i + i ; c + 1 ; ai) = Pi{b ; i + i ; (c + a)} = b j (a + c)
nach 14), 4) und 14). Insbesondre ist damit gefunden:
[Formel 5] .
Wie in 1) durch eine S nach u, so können wir also jetzt a j (b + c)
-- der Form nach allerdings unsymmetrisch -- auch durch ein P nach u
darstellen.

Aufgabe 11. Gesucht [Formel 6] .

Dies Problem nach Art der beiden vorigen zur Lösung zu bringen,
gelingt nicht, da wir das relative Produkt im zweiten Glied des allgemeinen
Faktors nicht als ein Pi, sondern nur als eine Si gemäss 14) darzustellen
vermögen, ein S aber von hinter einem P nicht vor dasselbe darf ge-
schoben werden. Im Falle b = 0' jedoch könnte man sich auf 18) berufen.
Darnach muss in der That -- um nur den einfachsten Fall zu erledigen --
sein:
[Formel 7] gemäss 7) und Aufg. 8 -- was wir übrigens auch schon S. 494 aus Peirce's
Formel 1) eingesehen haben. Nun ist aun ; b0' un ; 0', mithin auch
[Formel 8] .
Zerlegt man jetzt (bei x) b = 0'b + 1'b und berücksichtigt dass nach 24)
des § 22 ist aun ; b1' = aun · 1 ; b1', so zerfällt
u + aun ; b = u + aun ; b0' + a · 1 ; b1',

§ 29. Produkte und Summen zweiter Stufe.

Nach der letzten Formel 12) ist damit gefunden:
x = 0 ɟ (a + b)
— was merkwürdigerweise symmetrisch ist inbezug auf a und b.

Nimmt man a = 1' an und sagt dann a für b, so ist insbesondre
gefunden:
[Formel 1] .
[Nähme man dagegen, u und ū vertauschend, b = 0' an, so würde man
das Resultat der Aufgabe 8 in etwas andrer Gestalt, als 0 ɟ (a + 0') wieder
erhalten.]

Als Korollar zum vorstehenden Ergebnisse kennen wir nun auch:
[Formel 2] ,
was ähnlich wie oben daraus abzuleiten.

Ganz nach derselben Methode lässt sich auch lösen die, eine Erweite-
rung der vorigen vorstellende

Aufgabe 10. Gesucht [Formel 3] .
[Formel 4] = Πi(b ; i + ĭ ; c + 1 ; ai) = Πi{b ; i + ĭ ; (c + a)} = b ɟ (a + c)
nach 14), 4) und 14). Insbesondre ist damit gefunden:
[Formel 5] .
Wie in 1) durch eine Σ nach u, so können wir also jetzt a ɟ (b + c)
— der Form nach allerdings unsymmetrisch — auch durch ein Π nach u
darstellen.

Aufgabe 11. Gesucht [Formel 6] .

Dies Problem nach Art der beiden vorigen zur Lösung zu bringen,
gelingt nicht, da wir das relative Produkt im zweiten Glied des allgemeinen
Faktors nicht als ein Πi, sondern nur als eine Σi gemäss 14) darzustellen
vermögen, ein Σ aber von hinter einem Π nicht vor dasselbe darf ge-
schoben werden. Im Falle b = 0' jedoch könnte man sich auf 18) berufen.
Darnach muss in der That — um nur den einfachsten Fall zu erledigen —
sein:
[Formel 7] gemäss 7) und Aufg. 8 — was wir übrigens auch schon S. 494 aus Peirce’s
Formel 1) eingesehen haben. Nun ist aū ; b0' ⋹ ū ; 0', mithin auch
[Formel 8] .
Zerlegt man jetzt (bei x) b = 0'b + 1'b und berücksichtigt dass nach 24)
des § 22 ist aū ; b1' = aū · 1 ; b1', so zerfällt
u + aū ; b = u + aū ; b0' + a · 1 ; b1',

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[509/0523] § 29. Produkte und Summen zweiter Stufe. Nach der letzten Formel 12) ist damit gefunden: x = 0 ɟ (a + b) — was merkwürdigerweise symmetrisch ist inbezug auf a und b. Nimmt man a = 1' an und sagt dann a für b, so ist insbesondre gefunden: [FORMEL]. [Nähme man dagegen, u und ū vertauschend, b = 0' an, so würde man das Resultat der Aufgabe 8 in etwas andrer Gestalt, als 0 ɟ (a + 0') wieder erhalten.] Als Korollar zum vorstehenden Ergebnisse kennen wir nun auch: [FORMEL], was ähnlich wie oben daraus abzuleiten. Ganz nach derselben Methode lässt sich auch lösen die, eine Erweite- rung der vorigen vorstellende Aufgabe 10. Gesucht [FORMEL]. [FORMEL] = Πi(b ; i + ĭ ; c + 1 ; ai) = Πi{b ; i + ĭ ; (c + a)} = b ɟ (a + c) nach 14), 4) und 14). Insbesondre ist damit gefunden: [FORMEL]. Wie in 1) durch eine Σ nach u, so können wir also jetzt a ɟ (b + c) — der Form nach allerdings unsymmetrisch — auch durch ein Π nach u darstellen. Aufgabe 11. Gesucht [FORMEL]. Dies Problem nach Art der beiden vorigen zur Lösung zu bringen, gelingt nicht, da wir das relative Produkt im zweiten Glied des allgemeinen Faktors nicht als ein Πi, sondern nur als eine Σi gemäss 14) darzustellen vermögen, ein Σ aber von hinter einem Π nicht vor dasselbe darf ge- schoben werden. Im Falle b = 0' jedoch könnte man sich auf 18) berufen. Darnach muss in der That — um nur den einfachsten Fall zu erledigen — sein: [FORMEL] gemäss 7) und Aufg. 8 — was wir übrigens auch schon S. 494 aus Peirce’s Formel 1) eingesehen haben. Nun ist aū ; b0' ⋹ ū ; 0', mithin auch [FORMEL]. Zerlegt man jetzt (bei x) b = 0'b + 1'b und berücksichtigt dass nach 24) des § 22 ist aū ; b1' = aū · 1 ; b1', so zerfällt u + aū ; b = u + aū ; b0' + a · 1 ; b1',

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 509. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/523>, abgerufen am 23.11.2024.