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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

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§ 29. Produkt- und Summenformeln erster Stufe.

Dagegen fasst 27) wesentlich dreierlei Gespanne zusammen, deren
erstes sich links, die beiden andern rechts von dem die Seitenmitte ein-
nehmenden Ausdruck finden.

Jenes beweist sich mit Sa ; i · in = S0'a ; i = 0'a ; Si = 0'a ; 1 aus 31)
des § 25. Von diesen findet sich:
Sa ; i · i = Sa ; 0' ; i · i = 1'(a ; 0') ; 1, S(a j i)i = S(a j 1') ; i · i = 1'(a j 1') ; 1
nach 25) und 26) zunächst auf die rechts angegebnen Werte zurück-
geführt. Diese aber kommen sodann auf diejenigen in 27) zurück auf-
grund des Satzes:
30) [Formel 1]
-- woraus wegen 1'b = 1'b sogleich mit folgt:
1'(0' ; a) ; 1 = 0'a ; 1, etc. --
und dessen Beweis aus der Koeffizientenevidenz sehr leicht zu liefern ist.

Nach 25) kommt jetzt auch zu 29) die Ermittelung von S(a j i)in =
= S(a j 1') ; i · in auf den ersten Satz von 27) zurück.

Zur Rechtfertigung von 28) aber haben wir ähnlich: Sa ; in · in =
= Sa ; 0' ; i · in = 0'(a ; 0') ; 1, was sich aber noch vereinfacht aufgrund des
Satzes:
31) [Formel 2]
zu dessen Beweis die Koeffizientenevidenz anzurufen ist mit:
Li j = Sh k0'i hai k0'k h = Skai kSh0'i h0'h k = Ri j.

Anstatt noch mehr der Formeln aufzustellen, wollen wir jetzt an
einer Reihe von kleinen Aufgaben zu zeigen suchen, auf welche Weise
mittelst der bisherigen Sätze schon zahlreiche und in mannigfacher
Art gegebene Produkte oder Summen ermittelt werden können. Wir
halten uns dabei vorwiegend an Produkte und verzichten auf die Voll-
ständigkeit der Gespanne. Aus unsrer Behandlung der Beispiele schon
hier -- und noch mehr im nächstfolgenden Abschnitte -- wird der
Leser wenigstens ein Stück Methode zu abstrahiren imstande sein.

Aufgabe 1. Gesucht sei x = Pi(a ; i + in ; b).

Wir haben: x = Pi(a ; 1 · i + in ; b) = Pi(a ; 1 + in ; b)(i + in ; b) =
= (a ; 1 + Piin ; b)Pi(i + i ; 0' ; b) = (a ; 1 + 0 j 0' ; b)Pii ; (1' + 0' ; b) nach
13), mithin endlich: x = (a ; 1 + 0 j 0' ; b){0 j (1' + 0' ; b)}.

Aufgabe 2. Gesucht x = Pi(a ; i + in ; b).

Lösung. x = Pi(a ; 1 · i + in · 1 ; b) = (a ; 1 + 1 ; b)(a ; 1 + Piin)(Pii + 1 ; b)Pi(i + in) =
= a ; 1 · 1 ; b · Pi(0' ; i + i ; 1') = a ; 1 ; b · (0' j 1'), also x = 1' · a ; 1 ; b.


§ 29. Produkt- und Summenformeln erster Stufe.

Dagegen fasst 27) wesentlich dreierlei Gespanne zusammen, deren
erstes sich links, die beiden andern rechts von dem die Seitenmitte ein-
nehmenden Ausdruck finden.

Jenes beweist sich mit Σa ; i · ī = Σ0'a ; i = 0'a ; Σi = 0'a ; 1 aus 31)
des § 25. Von diesen findet sich:
Σa ; i · i = Σa ; 0' ; i · i = 1'(a ; 0') ; 1, Σ(a ɟ i)i = Σ(a ɟ 1') ; i · i = 1'(a ɟ 1') ; 1
nach 25) und 26) zunächst auf die rechts angegebnen Werte zurück-
geführt. Diese aber kommen sodann auf diejenigen in 27) zurück auf-
grund des Satzes:
30) [Formel 1]
— woraus wegen 1'b = 1'b̆ sogleich mit folgt:
1'(0' ; a) ; 1 = 0'ă ; 1, etc. —
und dessen Beweis aus der Koeffizientenevidenz sehr leicht zu liefern ist.

Nach 25) kommt jetzt auch zu 29) die Ermittelung von Σ(a ɟ i)ī =
= Σ(a ɟ 1') ; i · ī auf den ersten Satz von 27) zurück.

Zur Rechtfertigung von 28) aber haben wir ähnlich: Σa ; ī · ī =
= Σa ; 0' ; i · ī = 0'(a ; 0') ; 1, was sich aber noch vereinfacht aufgrund des
Satzes:
31) [Formel 2]
zu dessen Beweis die Koeffizientenevidenz anzurufen ist mit:
Li j = Σh k0'i hai k0'k h = Σkai kΣh0'i h0'h k = Ri j.

Anstatt noch mehr der Formeln aufzustellen, wollen wir jetzt an
einer Reihe von kleinen Aufgaben zu zeigen suchen, auf welche Weise
mittelst der bisherigen Sätze schon zahlreiche und in mannigfacher
Art gegebene Produkte oder Summen ermittelt werden können. Wir
halten uns dabei vorwiegend an Produkte und verzichten auf die Voll-
ständigkeit der Gespanne. Aus unsrer Behandlung der Beispiele schon
hier — und noch mehr im nächstfolgenden Abschnitte — wird der
Leser wenigstens ein Stück Methode zu abstrahiren imstande sein.

Aufgabe 1. Gesucht sei x = Πi(a ; ĭ + ī̆ ; b).

Wir haben: x = Πi(a ; 1 · ĭ + ī̆ ; b) = Πi(a ; 1 + ī̆ ; b)(ĭ + ī̆ ; b) =
= (a ; 1 + Πiī̆ ; b)Πi(ĭ + ĭ ; 0' ; b) = (a ; 1 + 0 ɟ 0' ; b)Πiĭ ; (1' + 0' ; b) nach
13), mithin endlich: x = (a ; 1 + 0 ɟ 0' ; b){0 ɟ (1' + 0' ; b)}.

Aufgabe 2. Gesucht x = Πi(a ; ĭ + ī ; b).

Lösung. x = Πi(a ; 1 · ĭ + ī · 1 ; b) = (a ; 1 + 1 ; b)(a ; 1 + Πiī)(Πiĭ + 1 ; b)Πi(ĭ + ī) =
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[503/0517] § 29. Produkt- und Summenformeln erster Stufe. Dagegen fasst 27) wesentlich dreierlei Gespanne zusammen, deren erstes sich links, die beiden andern rechts von dem die Seitenmitte ein- nehmenden Ausdruck finden. Jenes beweist sich mit Σa ; i · ī = Σ0'a ; i = 0'a ; Σi = 0'a ; 1 aus 31) des § 25. Von diesen findet sich: Σa ; i · i = Σa ; 0' ; i · i = 1'(a ; 0') ; 1, Σ(a ɟ i)i = Σ(a ɟ 1') ; i · i = 1'(a ɟ 1') ; 1 nach 25) und 26) zunächst auf die rechts angegebnen Werte zurück- geführt. Diese aber kommen sodann auf diejenigen in 27) zurück auf- grund des Satzes: 30) [FORMEL] — woraus wegen 1'b = 1'b̆ sogleich mit folgt: 1'(0' ; a) ; 1 = 0'ă ; 1, etc. — und dessen Beweis aus der Koeffizientenevidenz sehr leicht zu liefern ist. Nach 25) kommt jetzt auch zu 29) die Ermittelung von Σ(a ɟ i)ī = = Σ(a ɟ 1') ; i · ī auf den ersten Satz von 27) zurück. Zur Rechtfertigung von 28) aber haben wir ähnlich: Σa ; ī · ī = = Σa ; 0' ; i · ī = 0'(a ; 0') ; 1, was sich aber noch vereinfacht aufgrund des Satzes: 31) [FORMEL] zu dessen Beweis die Koeffizientenevidenz anzurufen ist mit: Li j = Σh k0'i hai k0'k h = Σkai kΣh0'i h0'h k = Ri j. Anstatt noch mehr der Formeln aufzustellen, wollen wir jetzt an einer Reihe von kleinen Aufgaben zu zeigen suchen, auf welche Weise mittelst der bisherigen Sätze schon zahlreiche und in mannigfacher Art gegebene Produkte oder Summen ermittelt werden können. Wir halten uns dabei vorwiegend an Produkte und verzichten auf die Voll- ständigkeit der Gespanne. Aus unsrer Behandlung der Beispiele schon hier — und noch mehr im nächstfolgenden Abschnitte — wird der Leser wenigstens ein Stück Methode zu abstrahiren imstande sein. Aufgabe 1. Gesucht sei x = Πi(a ; ĭ + ī̆ ; b). Wir haben: x = Πi(a ; 1 · ĭ + ī̆ ; b) = Πi(a ; 1 + ī̆ ; b)(ĭ + ī̆ ; b) = = (a ; 1 + Πiī̆ ; b)Πi(ĭ + ĭ ; 0' ; b) = (a ; 1 + 0 ɟ 0' ; b)Πiĭ ; (1' + 0' ; b) nach 13), mithin endlich: x = (a ; 1 + 0 ɟ 0' ; b){0 ɟ (1' + 0' ; b)}. Aufgabe 2. Gesucht x = Πi(a ; ĭ + ī ; b). Lösung. x = Πi(a ; 1 · ĭ + ī · 1 ; b) = (a ; 1 + 1 ; b)(a ; 1 + Πiī)(Πiĭ + 1 ; b)Πi(ĭ + ī) = = a ; 1 · 1 ; b · Πi(0' ; i + ĭ ; 1') = a ; 1 ; b · (0' ɟ 1'), also x = 1' · a ; 1 ; b.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 503. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/517>, abgerufen am 23.11.2024.