Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895.

§ 29. Produkt- und Summenformeln erster Stufe.

In den 32 Formeln 10) und 16) bis 20) wird man die Σ und Π
vertreten finden von allen (binären identischen) Produkten und Summen,
die aus a ; i oder a ; ī, sowie aus a ɟ ī oder a ɟ i, und ĭ oder ī̆ selbst,
gebildet werden können, etc. — soferne wenigstens solche Π, Σ, welche
auf den ersten Blick sich auf 0 oder 1 reduziren, nicht mit berück-
sichtigt werden.

Formeln solcher Art aber, in deren allgemeinem Terme statt a ; i oder
a ; ī etwa a ; ĭ oder a ; ī̆ aufträte, etc., würden, weil letztres ja in a ; 1 · ĭ
resp. a ; 1 · ī̆ zerfällt, ohnehin leicht auf schon Bekanntes zurückzuführen
sein; sie stünden nicht auf gleicher Rangstufe mit den bisherigen und ver-
dienten nicht, gleich ihnen registrirt zu werden.

Von den angeführten Formeln erscheinen die 18) besonders merk-
würdig deshalb, weil sie gewisse relative Produkte wie a ; 0' als iden-
tische Produkte darzustellen lehren, während sonst das nur in Form
einer identischen Summe gelingt.

Behufs Begründung der Sätze ist bei 16) auf 30) des § 25 und
auf 7) zu verweisen.

Die 17) gehn als Partikularfälle aus unserm Th. 14) hervor, indem
z. B. rechts Π_i(a ; i + ĭ) = Π_i(a ; i + ĭ ; 1') = a ɟ 1' sein muss.

Bei 18) transformire man identisch rechnend: a ; ī + ī̆ = a ; ī · ĭ + ī̆ =
= a ; 0' · ĭ + ī̆ = a ; 0' + ī̆ gemäss 30) des § 25, wo dann Π_i(a ; 0' + ī̆) =
= a ; 0' + Π_iī̆ = a ; 0' + 0 nach 7) sein muss.

Bei 19) und 20) rekurrire man auf die Koeffizientenevidenz, wonach
links resp. ist:
L_{h k} = Σ_i(a ; ī)_{h k}ī̆_{h k} = Σ_iΣ_la_{h l}ī_{l k}ī_{k h} = Σ_la_{h l}Σ_i0'_{l i}0'_{i k} = (a ; 0' ; 0')_{h k},
L_{h k} = Σ_iΠ_l(a_{h l} + i_{l k})ī_{k h} = Σ_iΠ_l(a_{h l} + 1'_{l i})0'_{i k} = R_h, q. e. d.

Als Gegenstücke und Ergänzungen zu den Formeln 14), 15) sind
ebenso anzuführen die Sätze, welche auch als Verallgemeinerungen
der obigen 16) bis 20) angesehen werden können:
21)

Σ_i(a ɟ i)(ĭ ɟ b) = (a ɟ 1') ; (1' ɟ b)

Π_i(a ; ī + ī̆ ; b) = a ; 0' ɟ 0' ; b,

22)

Σ_i(a ɟ i)(ī̆ ɟ b) = Σ_i(a ɟ i) · ĭ ; b = (a ɟ 1') ; b	Π_i(a ; ī + ĭ ; b) = Π_i(a ; ī + ī̆ ɟ b) = a ; 0' ɟ b
Σ_i(a ɟ ī)(ĭ ɟ b) = Σ_ia ; i · (ĭ ɟ b) = a ; (1' ɟ b)	Π_i(a ; i + ī̆ ; b) = Π_i(a ɟ ī + ī̆ ; b) = a ɟ 0' ; b,

23)

[Tabelle]

24)*

Σ_ia ; ī · ī̆ ; b = a ; 1 ; b

Π_i(a ɟ i + ĭ ɟ b) = a ɟ 0 ɟ b.