des a liefern. Wenn hinsichtlich des laufenden Zeigers, als welcher i zu denken, a als konstant vorausgesetzt wird, so gilt: 11)
[Formel 1]
12)
[Formel 2]
, 13)
[Formel 3]
Behufs Beweises von 11) beachte man -- z. B. rechts vom Mittel- striche -- dass i ; a = i · 1 ; a nach 21) des § 25 ist, somit Pi ; a = 1 ; a · Pi, was nach 7) verschwindet. Etc.
Bei 12) braucht auch nur 7), wonach Sa ; i = a ; Si = a ; 1, P(a j i) = a j Pi = a j 0 ist, und schliesslich a ; i = a j in aus 22) des § 25, berücksichtigt zu werden. Einen Teil dieser Formeln wird man jedoch auch so, wie (wegen i ; 1 = 1): Sia ; i = Sia ; i · i ; 1 = a ; 1, Pia ; i = Pi(a ; i + i ; 0) = a j 0, aus einem folgenden allgemeinern Satze 14) ableiten können.
Demnach bedürfen von diesen Formeln nur die letzten 13) noch einer Rechtfertigung, welche für die erste rechts durch den Hinweis erbracht wird, dass Lh k = Pi(a ; in)h k sich von Rh k -- im Hinblick auf den zu 28) des § 25 gegebenen Beweis -- nur durch die Bezeichnung des laufenden Produktzeigers (mit i statt m) unterscheidet.
Hervorragend einfach und wichtig ist, wie mir scheint, das folgende Gespann von Sätzen: 14)
von welchen man gut thut den ersten links und rechts zu memoriren. Dieselben lehren: ein relatives Produkt in eine identische Summe, eine relative Summe in ein identisches Produkt aufzubrechen.
Der Beweis folgt am schnellsten kraft 32) des § 25, wonach wir haben: Sia ; i · i ; b = Sia ; ib = a ; bSi = a ; b1 = a ; b wegen 7). Etc.
32*
§ 29. Produkt- und Summenformeln erster Stufe.
des a liefern. Wenn hinsichtlich des laufenden Zeigers, als welcher i zu denken, a als konstant vorausgesetzt wird, so gilt: 11)
[Formel 1]
12)
[Formel 2]
, 13)
[Formel 3]
Behufs Beweises von 11) beachte man — z. B. rechts vom Mittel- striche — dass i ; a = i · 1 ; a nach 21) des § 25 ist, somit Πi ; a = 1 ; a · Πi, was nach 7) verschwindet. Etc.
Bei 12) braucht auch nur 7), wonach Σa ; i = a ; Σi = a ; 1, Π(a ɟ i) = a ɟ Πi = a ɟ 0 ist, und schliesslich a ; i = a ɟ ī aus 22) des § 25, berücksichtigt zu werden. Einen Teil dieser Formeln wird man jedoch auch so, wie (wegen ĭ ; 1 = 1): Σia ; i = Σia ; i · ĭ ; 1 = a ; 1, Πia ; i = Πi(a ; i + ĭ ; 0) = a ɟ 0, aus einem folgenden allgemeinern Satze 14) ableiten können.
Demnach bedürfen von diesen Formeln nur die letzten 13) noch einer Rechtfertigung, welche für die erste rechts durch den Hinweis erbracht wird, dass Lh k = Πi(a ; ī)h k sich von Rh k — im Hinblick auf den zu 28) des § 25 gegebenen Beweis — nur durch die Bezeichnung des laufenden Produktzeigers (mit i statt m) unterscheidet.
Hervorragend einfach und wichtig ist, wie mir scheint, das folgende Gespann von Sätzen: 14)
a ; b = Σia ; i · ĭ ; b = Σi(a ɟ ī)(ī̆ ɟ b) =
a ɟ b = Πi(a ; i + ĭ ; b) = Πi(a ɟ ī + ī̆ ɟ b) =
= Σiĭa ; 1 ; bi = Σi{(ī̆ + a) ɟ 0}{0 ɟ (b + ī)}
von welchen man gut thut den ersten links und rechts zu memoriren. Dieselben lehren: ein relatives Produkt in eine identische Summe, eine relative Summe in ein identisches Produkt aufzubrechen.
Der Beweis folgt am schnellsten kraft 32) des § 25, wonach wir haben: Σia ; i · ĭ ; b = Σia ; ib = a ; bΣi = a ; b1 = a ; b wegen 7). Etc.
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§ 29. Produkt- und Summenformeln erster Stufe.
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11) [FORMEL]
12) [FORMEL],
13) [FORMEL]
Behufs Beweises von 11) beachte man — z. B. rechts vom Mittel-
striche — dass i ; a = i · 1 ; a nach 21) des § 25 ist, somit Πi ; a = 1 ; a · Πi,
was nach 7) verschwindet. Etc.
Bei 12) braucht auch nur 7), wonach
Σa ; i = a ; Σi = a ; 1, Π(a ɟ i) = a ɟ Πi = a ɟ 0
ist, und schliesslich a ; i = a ɟ ī aus 22) des § 25, berücksichtigt zu werden.
Einen Teil dieser Formeln wird man jedoch auch so, wie (wegen ĭ ; 1 = 1):
Σia ; i = Σia ; i · ĭ ; 1 = a ; 1, Πia ; i = Πi(a ; i + ĭ ; 0) = a ɟ 0,
aus einem folgenden allgemeinern Satze 14) ableiten können.
Demnach bedürfen von diesen Formeln nur die letzten 13) noch einer
Rechtfertigung, welche für die erste rechts durch den Hinweis erbracht
wird, dass Lh k = Πi(a ; ī)h k sich von Rh k — im Hinblick auf den zu 28)
des § 25 gegebenen Beweis — nur durch die Bezeichnung des laufenden
Produktzeigers (mit i statt m) unterscheidet.
Hervorragend einfach und wichtig ist, wie mir scheint, das folgende
Gespann von Sätzen:
14) a ; b = Σia ; i · ĭ ; b = Σi(a ɟ ī)(ī̆ ɟ b) = a ɟ b = Πi(a ; i + ĭ ; b) = Πi(a ɟ ī + ī̆ ɟ b) =
= Σiĭa ; 1 ; bi = Σi{(ī̆ + a) ɟ 0}{0 ɟ (b + ī)} = Πi{(ī̆ + a) ɟ 0 ɟ (b + ī)} = Πi(ĭa ; 1 + 1 ; bi),
von welchen man gut thut den ersten links und rechts zu memoriren.
Dieselben lehren: ein relatives Produkt in eine identische Summe, eine
relative Summe in ein identisches Produkt aufzubrechen.
Der Beweis folgt am schnellsten kraft 32) des § 25, wonach
wir haben: Σia ; i · ĭ ; b = Σia ; ib = a ; bΣi = a ; b1 = a ; b wegen 7). Etc.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 3, Abt. 1. Leipzig, 1895, S. 499. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik03_1895/513>, abgerufen am 18.02.2025.
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